射影变换
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第二章 射影变换
本章地位 平面射影几何的核心内容之一
本章内容
在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上，系统学习一 维、二维射影变换及其一些特 殊情形，对一些射影性质进行 初步研究.
§ 2.1 交比
交比 — 最根本的射影不变量
一、点列中四点的交比
1、定义 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 一个交比 定义为 交比. 交比 λ ( P P2 , P3 P4 ) = 1 . 1 (2.1) λ2 称P1, P2为基点对 P3, P4为分点对 基点对， 分点对. 基点对 分点对 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
' ( P2 P3 , Q1'Q1 ) = k1 , ( P3 P , Q2Q2 ) = k 2 , ( P P2 , Q3' Q3 ) = k3 . 1 1
' ' 求证：(1). Q1' , Q2 , Q3共线 ⇔ k1k 2 k3 = 1. ' (2). P Q1' , P2Q2 , P3Q3' 共点 ⇔ k1k 2 k3 = −1. 1
λ1 ( P P2 , Q1Q2 ) = = −1. 1 λ2
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 定理2.4 设 Pi ∈ l ( P) (i = 1,2,3,4), 并已知
( P P2 , P3 P4 ) = k 1
1 1 1 r r, , 1 − ; 1 − r, , . r r 1− r r −1
此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一 这四点中有 某二点相同. 证明 可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验 证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 4、调和比 4 调和点组(列 调和点组 点组P1,P2,P3,P4为调和点组 列) 点偶P ,P ,与P ,P (相互)调和分离 调和分离 1 2 3 4 定义 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则称 调和共轭 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭 点P 为P ,P ,P 的第四调和点 第四调和点 4 1 2 3 这四点
( P P2 , P3 P4 ) = 1 (λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) . (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
(2.2)
§ 2.1 交比
证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设 a+λ1b=a', a+λ2b=b'. 从中解出a, b, 得 a' λ2 − b' λ1 b'−a' a= , b= . λ2 − λ1 λ2 − λ1 于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 λ2 − λ3 λ3 − λ1 λ2 − λ4 λ4 − λ1 a ' , b' , a '+ b' , a '+ b' λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ −λ λ −λ 即 a' , b' , a'+ 3 1 b' , a'+ 4 1 b'. λ2 − λ3 λ2 − λ4 由交比的定义，有 (λ − λ )(λ − λ4 ) ( P P2 , P3 P4 ) = 1 3 2 . 1 (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 ) 注：定理2.1可以作为交比的一般定义.
2
称p1, p2为基线偶 p3, p4为分线偶 基线偶， 分线偶. 基线偶 分线偶 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
(λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) = . (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
(2.6)
推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比 的6个交比值只有3个： 1
− 1, 2 , 2.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 2、性质 调和比是最重要的交比！ 3、特殊情况 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有 PP P P ( P P2 , P3 P4 ) = 1 3 ⋅ 2 4 = −1. 1 P2 P3 P P4 1 PP PP ∞ P4 = P∞ , 则可合理地认为 2 ∞ = = 1. 于是 1 3 = −1. 此时, 若 P P∞ ∞ P2 P3 1 这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点. P∞为此直线上的无穷远 点.则P为P1P2的中点 ⇔ ( P P2 , PP∞ ) = −1. 1 注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系
注
上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.
§ 2.1 交比
今日作业 P.53: 1; 4
源自文库
再见！ 再见！
课件作者：南师大数科院周兴和
x
P = P* ↔ x = ∞
无穷远点 P = P0 ↔ x = 0 分别相当于拓广直线上的 原点 单位点 P = P ↔ x =1 1
从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
例5 (P.47, 例2.3)一直线依次交三点形P1P2P3的三边P2P3, P3P1, P1P2于Q1, Q2, Q3.在此三边上另取点Q1', Q2', Q3', 使
(k ≠ 0,1, ∞).
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例4 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 解：设 P3 = P + λ1 P2 , P4 = P + λ2 P2 . 则显然λ2 = 1, 由 1 1 可得 λ1 = 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 此步不可省！若不共线则交比无定义！ (1). 由坐标求交比 例3 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 ρ i Qi = P1 + λi P2 . i=1,2. 对于i=1, 利用P.17例1.3, 有 λ1 = 3. 同理, 对于i=2, 可求得 λ2 = −3. 于是，
(2.2)
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离，即 P P3 ⋅ P2 P4 ( P P2 , P3 P4 ) = 1 . (2.3) 1 P2 P3 ⋅ P P4 1 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54).
(λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) ( P P2 , P3 P4 ) = 1 (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
13 ⋅ 24 14 ⋅ 25 15 ⋅ 23 (1) (12,34)(12, 45)(12,53) = = 1. 23 ⋅14 24 ⋅15 25 ⋅13 13 ⋅ 24 15 ⋅ 26 13 ⋅ 26 15 ⋅ 24 (2).(12,34)(12,56) = = (12,36)(12,54) 23 ⋅14 25 ⋅16 23 ⋅16 25 ⋅14
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 定义2.3 设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐 次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构 成的一个交比 定义为 交比. 交比 λ ( p1 p2 , p3 p4 ) = 1 . (2.5) λ
注1：
本例：§1.2齐次坐标的5对结论、对偶原则、交比 的性质与计算综合性演习.
注2：
任务：请自学，并认真研究、体会.
注3：
由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何 中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为 a + λb λ ∈ R. 称a, b为基线 λ为参数 基线, 参数. 基线 参数 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义？不易说清楚！容易看出 λ=0 ↔ a; λ=1 ↔ a+b; λ=∞ ↔ b 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 注2 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比. 课件作者：南京师大数科院周兴和
λ1 λ1 ( P P2 , P3 P4 ) = = = 2. 1 λ2 1
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 例4 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的 方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 例2. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 2、性质 3、特殊情况
(12,34) = r
已知四点相异
r r (14,32) = 由题设 r = r 2 = 2r r −1 r −1 (13, 24) = 1 − r = −1. r=2 r≠0
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 推论4 设 P0 , P , P* 为点列l(P)中取定的相异三点. 则 1
( P* P0 , P P ) a 1
为点列l(P)与 R 之间的一个双射. 其中
P3 = P + λ1 P2 , P4 = P + λ2 P2 . 1 1
则显然 λ1 = 1,
由
λ1 1 ( P P2 , P3 P4 ) = = = r. 1 λ2 λ2
可得 λ2 = 1/ r , 从而P4的坐标为(r,1,0). 注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1). 交比的初等几何意义 (2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序 时，交比值变化规律如下：
换两对 (1). 不变 r→r 两对同换 1 换一对 r → (2). 改变 r 换中间或首尾 r → 1 − r. 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值：
本章地位 平面射影几何的核心内容之一
本章内容
在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上，系统学习一 维、二维射影变换及其一些特 殊情形，对一些射影性质进行 初步研究.
§ 2.1 交比
交比 — 最根本的射影不变量
一、点列中四点的交比
1、定义 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 一个交比 定义为 交比. 交比 λ ( P P2 , P3 P4 ) = 1 . 1 (2.1) λ2 称P1, P2为基点对 P3, P4为分点对 基点对， 分点对. 基点对 分点对 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
' ( P2 P3 , Q1'Q1 ) = k1 , ( P3 P , Q2Q2 ) = k 2 , ( P P2 , Q3' Q3 ) = k3 . 1 1
' ' 求证：(1). Q1' , Q2 , Q3共线 ⇔ k1k 2 k3 = 1. ' (2). P Q1' , P2Q2 , P3Q3' 共点 ⇔ k1k 2 k3 = −1. 1
λ1 ( P P2 , Q1Q2 ) = = −1. 1 λ2
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 定理2.4 设 Pi ∈ l ( P) (i = 1,2,3,4), 并已知
( P P2 , P3 P4 ) = k 1
1 1 1 r r, , 1 − ; 1 − r, , . r r 1− r r −1
此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一 这四点中有 某二点相同. 证明 可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验 证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 4、调和比 4 调和点组(列 调和点组 点组P1,P2,P3,P4为调和点组 列) 点偶P ,P ,与P ,P (相互)调和分离 调和分离 1 2 3 4 定义 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则称 调和共轭 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭 点P 为P ,P ,P 的第四调和点 第四调和点 4 1 2 3 这四点
( P P2 , P3 P4 ) = 1 (λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) . (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
(2.2)
§ 2.1 交比
证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设 a+λ1b=a', a+λ2b=b'. 从中解出a, b, 得 a' λ2 − b' λ1 b'−a' a= , b= . λ2 − λ1 λ2 − λ1 于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 λ2 − λ3 λ3 − λ1 λ2 − λ4 λ4 − λ1 a ' , b' , a '+ b' , a '+ b' λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ2 − λ1 λ −λ λ −λ 即 a' , b' , a'+ 3 1 b' , a'+ 4 1 b'. λ2 − λ3 λ2 − λ4 由交比的定义，有 (λ − λ )(λ − λ4 ) ( P P2 , P3 P4 ) = 1 3 2 . 1 (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 ) 注：定理2.1可以作为交比的一般定义.
2
称p1, p2为基线偶 p3, p4为分线偶 基线偶， 分线偶. 基线偶 分线偶 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
(λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) = . (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
(2.6)
推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比 的6个交比值只有3个： 1
− 1, 2 , 2.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 2、性质 调和比是最重要的交比！ 3、特殊情况 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有 PP P P ( P P2 , P3 P4 ) = 1 3 ⋅ 2 4 = −1. 1 P2 P3 P P4 1 PP PP ∞ P4 = P∞ , 则可合理地认为 2 ∞ = = 1. 于是 1 3 = −1. 此时, 若 P P∞ ∞ P2 P3 1 这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点. P∞为此直线上的无穷远 点.则P为P1P2的中点 ⇔ ( P P2 , PP∞ ) = −1. 1 注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系
注
上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.
§ 2.1 交比
今日作业 P.53: 1; 4
源自文库
再见！ 再见！
课件作者：南师大数科院周兴和
x
P = P* ↔ x = ∞
无穷远点 P = P0 ↔ x = 0 分别相当于拓广直线上的 原点 单位点 P = P ↔ x =1 1
从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
例5 (P.47, 例2.3)一直线依次交三点形P1P2P3的三边P2P3, P3P1, P1P2于Q1, Q2, Q3.在此三边上另取点Q1', Q2', Q3', 使
(k ≠ 0,1, ∞).
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例4 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 解：设 P3 = P + λ1 P2 , P4 = P + λ2 P2 . 则显然λ2 = 1, 由 1 1 可得 λ1 = 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 此步不可省！若不共线则交比无定义！ (1). 由坐标求交比 例3 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 ρ i Qi = P1 + λi P2 . i=1,2. 对于i=1, 利用P.17例1.3, 有 λ1 = 3. 同理, 对于i=2, 可求得 λ2 = −3. 于是，
(2.2)
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离，即 P P3 ⋅ P2 P4 ( P P2 , P3 P4 ) = 1 . (2.3) 1 P2 P3 ⋅ P P4 1 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54).
(λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) ( P P2 , P3 P4 ) = 1 (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
13 ⋅ 24 14 ⋅ 25 15 ⋅ 23 (1) (12,34)(12, 45)(12,53) = = 1. 23 ⋅14 24 ⋅15 25 ⋅13 13 ⋅ 24 15 ⋅ 26 13 ⋅ 26 15 ⋅ 24 (2).(12,34)(12,56) = = (12,36)(12,54) 23 ⋅14 25 ⋅16 23 ⋅16 25 ⋅14
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 定义2.3 设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐 次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构 成的一个交比 定义为 交比. 交比 λ ( p1 p2 , p3 p4 ) = 1 . (2.5) λ
注1：
本例：§1.2齐次坐标的5对结论、对偶原则、交比 的性质与计算综合性演习.
注2：
任务：请自学，并认真研究、体会.
注3：
由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何 中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为 a + λb λ ∈ R. 称a, b为基线 λ为参数 基线, 参数. 基线 参数 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义？不易说清楚！容易看出 λ=0 ↔ a; λ=1 ↔ a+b; λ=∞ ↔ b 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 注2 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比. 课件作者：南京师大数科院周兴和
λ1 λ1 ( P P2 , P3 P4 ) = = = 2. 1 λ2 1
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 例4 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的 方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
4、调和比 例2. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 2、性质 3、特殊情况
(12,34) = r
已知四点相异
r r (14,32) = 由题设 r = r 2 = 2r r −1 r −1 (13, 24) = 1 − r = −1. r=2 r≠0
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 推论4 设 P0 , P , P* 为点列l(P)中取定的相异三点. 则 1
( P* P0 , P P ) a 1
为点列l(P)与 R 之间的一个双射. 其中
P3 = P + λ1 P2 , P4 = P + λ2 P2 . 1 1
则显然 λ1 = 1,
由
λ1 1 ( P P2 , P3 P4 ) = = = r. 1 λ2 λ2
可得 λ2 = 1/ r , 从而P4的坐标为(r,1,0). 注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1). 交比的初等几何意义 (2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序 时，交比值变化规律如下：
换两对 (1). 不变 r→r 两对同换 1 换一对 r → (2). 改变 r 换中间或首尾 r → 1 − r. 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值：