9-1特殊函数常微分方程

d2R d2
x
dR d
x2 m2
R 0(25)
（25）是谓 m 阶阿贝塞尔方程，我们也将用级数法来求解之。
（3）u<0，此时可令 u 2 ，则方程（c）变为 Z '' 2 z 0 ， 其解为
方程（e）变为
Z C cos z D sin z
d2R d2
1
dR d
2
m2 2
R
0
令 x ，作变量代换，即可将上式化为
1 sin
sin
1 sin2
2
2
l l
1
0 (11)
1 sin
d d
sin
d d
sin2
d 2 d 2
l l 1
0 (12)
把两边同乘以 sin2 ，再同除以 ，化简得：
sin
d d
sin
d d
l
l
1
sin
2
1
d 2 d 2
(13)
两边必须同时等于一个常数，等号才可能成立，设此常数为 ，这样我们就将(7)式分解为
0(4)
两边同乘以 r 2 ，再同除以 RY，可将上式化简为：
1 R
d dr
r
2
dR dr
1 sin Y
sin
Y
1 Y
1 sin2
2Y 2
(5)
上式左边只有 R，右边只有 Y，只有两边同时为常数时等号才可能成立，设此常数为 l l 1 ，
这样，方程(5)就被分解成两个方程
三、波动方程、亥姆霍兹方程
考虑二维波动方程
utt a22u 0(27)
的分离变量 解：设 ,
，代入原方程，得
T ''v a2T 2v 0 T ''v a2T 2v T '' 2v k 2
a2T v
{为什么不是+k2，因为会得到零解（结合一定边界条件）}，由此得到两个方程
（28）很容易求解：
两个方程：
d 2 d 2
0 (14)
sin
d d
sin
d d
l
l
1sin2
0 (15)
方程（14）也是很容易求解的，其通解为
Acos B sin
设 m2 ，则 Acos m B sin m (16)
注 意 ， 在 xy 平 面 内 的 极 坐 标 下 的 极 角 ， 加 上 2 ， 应 当 不 变 ， 即
小结：我们把球坐标下的 Laplace 方程用分离变量法分解为三个方程（8）（14）（15），（8） （14）很容易求解，（15）可化成（17）（18），我们将在后面的课程中用级数法来解之。
例 1， 将极坐标下的二维拉普拉斯方程 ∆ 解：极坐标下，Laplace 方程为
0 分离变量。
1
u
1 2
T '' k 2a2T 0(28) 2v k 2v 0(29)
T
t
C
cos
kat D sin kat C Dtk 0
k
0
但方程(29)的求解并不简单，它是所谓“亥姆霍兹方程”；对于二维情况，我们考虑在极坐标 下将其分离变量：(29）可明确的写为
1 r
r
r
v r
1 r2
2v 2
2 ，这就是所谓的“自然边界条件”，在极坐标、球坐标、柱坐标下求解微
分方程，常用到该条件。将自然边界条件应用到（16）式中，
Acos m 2 B sin m 2 Acos m B sin m
Acos m 2m B sin m 2m Acos m B sin m
d2R dr 2
d dr
dR dr
d dx
dR dx
1 r
dx dr
1 r
d dx
dR dx
1 r
1 r
d2R dx2
1 r
dR dx
d1 r
dx
1 r
d2R dx2
1 r
1 r
dR dx
注意
r
ex
1 r
ex
d1 r
dx
e x
1 r
1 r2
d2R dx2
u
2
R
0 (e)
这三个方程中，（c）（d）很容易求解，（d）和自然边界条件构成本征值问题，其解为
Acos m B sin m, m 0,1, 2..., m2
方程（c）要分情况讨论： （1） u=0，方程（c）的解为
Z C Dz
方程（e）变为
d 2R 1 dR m2 R 0 d2 d 2
1 R
R
1 2
2 2
1 Z
2Z z 2
u
得到两个方程：
Z "(z) uZ (z) 0(20)
1 R
R
1 2
2 2
u(21)
我们暂不求解（20），先将（21）再进一步分离变量，在（21）式两边同乘以 2 ，得
R
R
1
2 2
u 2
R
R
u
2
1
2 2
R
0(a)
"() () 0(b)
方程（b）的解我们已经很熟悉了， Acos m B sin m, m 0,1, 2...
方程（a）也是欧拉型常微分方程，它可化为：
2R'' R' m2R 0( m2 )
其解为： R Crm Drm
二、柱坐标系下的拉普拉斯方程
柱坐标系下的拉普拉斯方程为：
将 u r, , R r Y , 代入原方程，得：
1 r2
r
r
2
RY
r
1 r2 sin
sin
RY
1 r2 sin2
2 RY
2
0 (3)
注意，R 中不含 , ；Y 中不含 r，
Y r2
r
r
2
R r
R r2 sin
sin
Y
R r2 sin2
2Y 2
ห้องสมุดไป่ตู้
dR dx
将
d2R dr 2
,
dR dr
的表达式代入欧拉方程（8）得：
d2R dx2
dR dx
l
l
1
R
0 (9)
此方程对应的本征值方程为 2 l l 1 0 ； 即 l, l 1
R
Celx
Del 1 x
Crl
D
1 r l1
(10)
（7）式是球函数方程，可以进一步分离变量，设Y , ，代入（7）中，
1
u
1 2
2u 2
2u z 2
0 (19)
设 u ,, z R Z z 代入其中得：
1
RZ
1 2
2
RZ
2
2
RZ
z 2
0
Z
R
RZ 2
2 2
R
2Z z 2
0
两边同除以 RZ ，得
1 R
R
1 2
2 2
1 Z
2Z z 2
0
" 0(22)
得到两个方程：
R
R
u
2
0 (23)
（23）式可进一步化简为：
d2R d2
1
dR d
u
2
R
0 (24)
小结：到此为止，我们将方程（19）分离变量成了三个方程（20）、（22）、（24）：
Z '' uZ 0(c) " 0(d )
d2R d2
1
dR d
d
dx
1
x2
d d
l
l
1
1
m2 x2
0
即：
1 x2
d 2 dx2
2x
d dx
l
l
1
m2 1 x2
0 (17)
当 m=0，得
1 x2
d 2 dx2
2x
d dx
l
l
1
0 (18)
（18）式叫勒让德方程，（17）叫连带勒让德方程。这两个方程的求解不是很容易，下一节 我们将用级数解法来求解（18）。
m 必须为整数，即 m 0, 1, 2, ; 但 m=1 和 m= -1 时其实是一样的，方程的解也一
样，故一般情况下，只取 m=0,1,2….。
对于方程（16），可作变量代换 x cos ar cos x ，将其化为 x 的方程（注：x
不是直角坐标系里的那个“x”，它就代表 cos ）
如下：
三维亥姆霍兹方程，也可在球坐标系或柱坐标系下分离变量，方法与拉普拉斯方程的分离变 量类似，不再赘述。
作业：课本 P190，第 3 题.
2u 2
0
（请留意它与柱坐标下三维拉普拉斯方程的区别）
设 u , R , 带入上式得：
1
R
1 2
2 R
2
0
R
R 2
2 2
0
两边同乘以 R ，再同除以 2 ，得：
R
R
1
2 2
0
R
R
1
2 2
得到两个方程：
d d
dR d
§9.1 特殊函数常微分方程
一、 球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量
球坐标下的拉普拉斯方程为：
1 r2
r
r
2
u r
r2
1 sin
sin
u
r2
1 sin2
2u 2
0(1)
设 u r, , R r Y , (2)
其中Y , 称球函数，在量子力学的角动量问题中有很多的应用；
k2v
0 (30)
令 v r, R r 代入上式得：
1 r
r
r
R
r
1 r2
2 R
2
k 2R
0
两边同除以 R ，得：
可得两个方程：
1 rR
r
r
R r
1 r 2
2 2
k2
0
r R
r
r
R r
1
2 2
k 2r 2
0
r R
r
r
R r
k 2r 2
1
2 2
这也是欧拉型常微分方程，其解为
R
E
m
E
F F
ln
m
(m
m
1,
0)
2, 3....
（2）u>0,方程（c）变为
Z '' 2 z 0 ， 其中 u
其解为
Z Cez Dez
此时方程（e）变为
d2R d2
1
dR d
2
m2 2
R
0
通过变量代换 x ，可将其化简为
x2
R 0(33)
是为 m 阶贝塞尔方程。
小结 二维波动方程（1），在极坐标下，分离变量成为（28）（31）（33）即
T '' k 2a2T 0
'' 0
x2
d2R dx2
x
dR dx
x2 m2
R0
前两个方程很好解，波动方程仍可很容易地分解为方程（28）及亥姆霍兹方程 v k 2v 0 ；
" 0(31)
r R
r
r
R r
k
2r2
0 (32)
（31）的解为
Acos m B sin m, m 0,1, 2..., m2
（32）可化简为
d2R dr 2
1 r
dR dr
k2
m2 r2
R
0
令 x=kr，作变量代换，可得：
x2
d2R dx2
x
dR dx
x2 m2
d dr
r
2
dR dr
l
l
1
R
0 (6)
1 sin
sin
Y
1 sin2
2Y 2
l l
1 Y
0(7)
（6）式是径向方程，它很容易化为
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
l
l
1
R
0 (8)
这是欧拉型常微分方程，设 r ex ，得： x ln r dx 1 ， dR dR dx dR 1 ，以及 dr r dr dx dr dx r
x2
d2R d2
x
dR d
x2 m2
R 0(26)
（26）是谓虚宗贝塞尔方程，因为若将（25）式中 x 换为虚数 ix，则（25）式变为（26）。 我们也将用级数法求解（26）。
小结，柱坐标下的 Laplace 方程（18），可分离变量成为 3 个方程，（c）（d）（e）。（c）（d） 很容易求解，（e）可化为贝塞尔方程（25）或虚宗贝塞尔方程（26），可以用级数法求解之。