圆度误差评定与测量不确定度计算
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The Evaluation of Circularity Error and the Computation of Measurements
Uncertainty
PAN Jun, WEN Xiu-lan
School of Automation and Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167 China
到该算法圆度误差和三坐标测量仪给出的圆度误差作对比，三坐标测量仪给出的结果是根据最小二乘法
计算得出，见表 2。
测量点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
X 261.2164 259.1387 256.8648 254.4811 252.0435 249.6312 247.3200 245.1640 243.2516 241.6060 240.2934 239.4034 238.9108 238.8374 239.1801 239.9528 241.1103 242.6341
度，也不需要设置交叉和变异概率。混合交叉产生子代的方法为：
（1） 从种群中随机选择两个父代 v1，v2。
（2） 子代向量 的每个元素 的值在均匀分布的区间[
]内随机产生
2
（1）
本算法采用最小代沟 Minimal Generation Gap（MGG）模型，在实数编码的遗传算法中它是保证种 群多样性的有效方法。在最小代沟模型里，将一代种群随机选择一对父代使用交叉算子产生子代，在父 代和子代中选择最优和次优的个体代替原来的父代。当迭代次数达到设置的次数时则停止。 1.3 圆度误差目标函数建立
确定变量 xz,yz,, x1,y1,x2,y2 的期望值和方差值。 （4）根据模型中各输入量的分布用蒙特卡罗方法产生各输入量的随机数序列
以 xz,yz, x1,y1,x2,y2 的期望和方差值生成 6 维的随机数组来模拟圆度误差测量值，样本的容量为 M，
3
通常采用大样本来进行圆度误差测量不确定度评定。
域法建立的圆度误差评定的数学模型，由于其目标函数是非线性、不可微等原因，使得根据不确定度传
递模型用解析法求解变得复杂而又困难，甚至不能用解析法得到不确定度的传递函数，因此采用蒙特卡
洛法来计算。蒙特卡罗方法（Monte Carlo），也称为计算机随机模拟(random simulation)方法，有时也称
3.1 圆度误差评定实例
改进遗传算法优化结果主要受种群大小和子代大小影响，因为实际生产零件的圆度误差非常小,生成
初始种群是接近(甚至包括)中心,当种群模数和子代模数设置为 20 和 20,遗传算法可以找到最小区域法的 最优解，因此分别将种群模数和子代模数设为 20 和 20，得到改进遗传算法的误差进化过程如图 2。并得
评定理论、解算方法等问题的研究，依然是精密计量测试领域研究的热点。
1 改进遗传算法圆度误差评定
遗传算法搜索最优解的方法是模仿生物的进化过程，即通过选择与染色体之间的交叉和变异来完成
的。遗传算法主要使用选择算子、交叉算子与变异算子来模拟生物进化，从而产生一代又一代的种群。
1.1 标准遗传算法
在标准遗传算法中，一个染色体由一串二进制字符串表示，字符串的一位叫做基因，每个基因有着不
（2）确定圆度误差不确定度计算模型及其公式
设 圆 上 的 任 一 测 量 点 为 pi （ xi,yi ） (i=1,2,3, „ ,n) , 其 中 n 为 测 量 点 个 数 , 圆 方 程 为 ,圆度的数学模型包括变量和目标函数。
设计变量为： ， ；
目标函数为：
(3)
其中：
(4)
假设取样点中对于最小区域拟合圆心距离的两个峰值点分别为距离最大点：（x1,y1），距离最小点： （x2,y2）。 （3）计算或估计模型中各输入量的期望值与方差
定量表示测量结果可信程度的建议。根据现代测量误差理论，在测量零件的实际尺寸时，不仅要得到尺
寸的测量结果，而且也要包含结果的不确定度。所以，在进行圆度误差评定时，也应当给出评定结果的
不确定度。在新一代 GPS（Geometrical Product Specification）里的测量不确定度的核心就是不确定度的 评定。测量不确定度表述指南（GUM）和 ISO 标准给出了测量不确定度的评定方法 [4]。本文用最小区
圆度误差评定与测量不确定度计算
潘俊，温秀兰
(南京工程学院自动化学院,江苏 南京，211167)
摘要：为了更准确地评定圆度误差及测量不确定度，根据圆度特点，提出实数编码改进遗传算法求圆度误差最小区域解， 基于蒙特卡洛法评定测量不确定度。通过对零件实测计算结果表明采用实数编码的改进遗传算法，不仅省去了重复的编码 解码，而且算法简单优化效率高，蒙特卡洛法计算不确定度与传统 GUM 方法相比不受直接测量量相关性的限制,而且受问 题条件限制的影响小,使不确定度评定简单化。采用改进遗传算法和蒙特卡洛法能够更加准确高效的评定圆度误差和测量 不确定度。 关键词：圆度；改进遗传算法；不确定度；蒙特卡洛法
所以求解圆度误差就变为寻找 ， 的值，使目标函，其中数 f 为最小。
2 蒙特卡洛法不确定度计算
蒙特卡洛法的基本思想是:为了计算数学、工程技术等方面的问题，首先建立一个与所求解相关的概
率模型，使所求问题的解正好是所建模型的数学期望或其他有关特征量；然后通过对模型的观察或抽样
试验来计算所求参数的统计特征；利用建立的概率模型，求出要估计的参数；再次对模拟结果进行分析
适用于处理传统搜索算法难以理解的复杂和非线性问题，可广泛用于组合优化，机器学习，自适应控制，
规划设计和人工生命等领域，它已逐渐成为 21 世纪计算智能的关键技术之一[3]。
在实际的测量过程中，测量仪器，测量方法，以及测量结果都是存在着一定的误差，所以我们在使
用这些数据进行误差计算时是不准确的。因此，国际上早在 20 世纪 60 年代就提出了用“不确定度”来
按最小区域法评定圆度误差实际上是寻找包容被测实际圆的两个同心圆且相距最短。设实际圆上的 测 量 点 为 pi （ xi,yi ） (i=1,2,3, „ ,n), 其 中 n 为 测 量 点 个 数 ， 设 根 据 最 小 区 域 确 定 的 圆 方 程 为
，其中（xz,yz）为圆心坐标。由圆度误差定义知，其计算公式为： （2）
同的值。一群单独的染色体叫做种群，基本遗传算子包括选择、交叉和变异。
标准遗传算法步骤如下：（1）定义一个表明解决方法适应度的目标函数。（2）选择合适的编码和相应
的遗传算子。（3）随机产生 N 个个体的初始种群。（4）计算每个个体的适应度。（5）分配给每个染色体
的繁殖概率。（6）根据分配的繁殖概率生成一个新的种群中选择的个体。通过设定的交叉和变异概率使
为随机抽样（random sampling）技术或者统计试验(Statistical testing)方法。它一种基于随机数的计算方法， 它以概率统计理论为主要理论基础，以随机抽样为主要手段[5]。
目前人们对圆度误差评定数学模型与算法的研究仍然在不断深入和加强，各种新模型与算法不断出
现，然而准确、高效、可靠的算法仍然是寻求的目标之一[6,7]。因而对回转体零件形状误差的评定方法、
基金项目：国家自然科学基金项目（51075198），江苏省自然科学基金项目(BK2010479)，江苏省“333 人才工程”和“六大人才高峰”项目。 作者简介：潘俊（1989—）男，硕士，研究方向测试计量技术。 E-mail：njitpanjun@163.com。
于 1975 年首次提出，是一类通过模拟生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。遗传算法特别
0 引言
圆度误差是机械零件常见的形状误差之一，其反映的是实际圆轮廓对其理想圆的变动量，其值的大 小是从一特定圆心算起，以包容实际轮廓的两个同心圆的半径差来衡量的。国标规定的评定圆度误差有 4 种方法：最小二乘法、最小区域圆法、最大内切圆法和最小外接圆法[1]。其中，最小二乘法有具体的公 式算法最为简单评定结果稳定，但是在要求精度较高的零件加工时评定结果可能存在争议。最小区域法 是按圆度误差的国标定义和 ISO 定义来评定圆度误差值的，评定出的结果可作为仲裁的依据。因此，用 最小区域法评定圆度误差才是严格的正确的评定方法，也是唯一的仲裁方法，应尽可能采用这种方法， 以使评定的结果更准确和更具客观性[2]。圆度误差按最小区域法进行计算的本质是一个复杂的非线性最 优化问题，本文就是用改进遗传算法来进行计算。遗传算法(GA,Genetic algorithm)由美国 J.-Holand 教授
总结，验证该系统的某些特性[9]。
本文采用三坐标测量仪进行圆度测量，对三坐标测量机进行不确定度来源分析，从而得到圆度误差
测量过程中所产生的测量不确定度[10]。
圆度误差评定过程中测量不确定度的计算步骤：
（1）分析圆度误差测量不确定度的来源，判断其分布类型及分布区间，通常不确定度来源主要有坐标点
Hale Waihona Puke Baidu
测量不确定度，示值误差引起的不确定度，环境因素等引起的不确定度。
选择的个体产生后代。（7）如果达到终止条件，则停止，否则跳到步骤（4）。
1.2 改进遗传算法
改进遗传算法实现实数编码和优化变量的浮点数表示。和标准遗传算法相比，改进遗传算法的时间
更短，因为它不需要编码和解码的过程。考虑到圆度误差优化，改进遗传算法采用混合交叉
[9]，
它通过结合父代信息产生子代并且具有良好的搜索能力。而且，它不需要计算种群中的每个个体的适应
Abstract：In order to more accurately compute the result of circularity error and measurement uncertainty, using the minimum zone method of improved genetic algorithm in real-code to evaluate the circularity error and the Monte Carlo method to calculate the uncertainty by the characteristics of circularity. Through the results of the calculation of actual parts it shows that the improved genetic algorithm in real-code, not only saves the duplication of code decoding, and simple algorithm for optimization of high efficiency. The uncertainty by Monte Carlo method compared with the traditional method of GUM department is not only restricted by direct measurement quantity correlation but also under the influence of small problem constraint, and simplify the evaluation of uncertainty. With the improved genetic algorithm and Monte Carlo method can be more accurate and efficient evaluation of circularity error and uncertainty. Key words: Circularity error; Improved genetic algorithm; Uncertainty; Monte Carlo
（5）根据各输入量的随机数计算测量结果 把以上随机序列代入圆度误差模型，求得 M 个圆度误差 f 的值。根据这组 f 的值，构造一个概率分
布，判断其分布类型，求出其期望和方差，期望值即为圆度误差的值，方差的值即为所要求的圆度误差
测量的标准不确定度。
3 实例验证
本文的测量数据来源于型号为 NC454 的三坐标测量仪（CMM）测量圆柱体的零件，如图 1 所示。 取任一横截面测得圆上点的坐标，见表 1。
Uncertainty
PAN Jun, WEN Xiu-lan
School of Automation and Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167 China
到该算法圆度误差和三坐标测量仪给出的圆度误差作对比，三坐标测量仪给出的结果是根据最小二乘法
计算得出，见表 2。
测量点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
X 261.2164 259.1387 256.8648 254.4811 252.0435 249.6312 247.3200 245.1640 243.2516 241.6060 240.2934 239.4034 238.9108 238.8374 239.1801 239.9528 241.1103 242.6341
度，也不需要设置交叉和变异概率。混合交叉产生子代的方法为：
（1） 从种群中随机选择两个父代 v1，v2。
（2） 子代向量 的每个元素 的值在均匀分布的区间[
]内随机产生
2
（1）
本算法采用最小代沟 Minimal Generation Gap（MGG）模型，在实数编码的遗传算法中它是保证种 群多样性的有效方法。在最小代沟模型里，将一代种群随机选择一对父代使用交叉算子产生子代，在父 代和子代中选择最优和次优的个体代替原来的父代。当迭代次数达到设置的次数时则停止。 1.3 圆度误差目标函数建立
确定变量 xz,yz,, x1,y1,x2,y2 的期望值和方差值。 （4）根据模型中各输入量的分布用蒙特卡罗方法产生各输入量的随机数序列
以 xz,yz, x1,y1,x2,y2 的期望和方差值生成 6 维的随机数组来模拟圆度误差测量值，样本的容量为 M，
3
通常采用大样本来进行圆度误差测量不确定度评定。
域法建立的圆度误差评定的数学模型，由于其目标函数是非线性、不可微等原因，使得根据不确定度传
递模型用解析法求解变得复杂而又困难，甚至不能用解析法得到不确定度的传递函数，因此采用蒙特卡
洛法来计算。蒙特卡罗方法（Monte Carlo），也称为计算机随机模拟(random simulation)方法，有时也称
3.1 圆度误差评定实例
改进遗传算法优化结果主要受种群大小和子代大小影响，因为实际生产零件的圆度误差非常小,生成
初始种群是接近(甚至包括)中心,当种群模数和子代模数设置为 20 和 20,遗传算法可以找到最小区域法的 最优解，因此分别将种群模数和子代模数设为 20 和 20，得到改进遗传算法的误差进化过程如图 2。并得
评定理论、解算方法等问题的研究，依然是精密计量测试领域研究的热点。
1 改进遗传算法圆度误差评定
遗传算法搜索最优解的方法是模仿生物的进化过程，即通过选择与染色体之间的交叉和变异来完成
的。遗传算法主要使用选择算子、交叉算子与变异算子来模拟生物进化，从而产生一代又一代的种群。
1.1 标准遗传算法
在标准遗传算法中，一个染色体由一串二进制字符串表示，字符串的一位叫做基因，每个基因有着不
（2）确定圆度误差不确定度计算模型及其公式
设 圆 上 的 任 一 测 量 点 为 pi （ xi,yi ） (i=1,2,3, „ ,n) , 其 中 n 为 测 量 点 个 数 , 圆 方 程 为 ,圆度的数学模型包括变量和目标函数。
设计变量为： ， ；
目标函数为：
(3)
其中：
(4)
假设取样点中对于最小区域拟合圆心距离的两个峰值点分别为距离最大点：（x1,y1），距离最小点： （x2,y2）。 （3）计算或估计模型中各输入量的期望值与方差
定量表示测量结果可信程度的建议。根据现代测量误差理论，在测量零件的实际尺寸时，不仅要得到尺
寸的测量结果，而且也要包含结果的不确定度。所以，在进行圆度误差评定时，也应当给出评定结果的
不确定度。在新一代 GPS（Geometrical Product Specification）里的测量不确定度的核心就是不确定度的 评定。测量不确定度表述指南（GUM）和 ISO 标准给出了测量不确定度的评定方法 [4]。本文用最小区
圆度误差评定与测量不确定度计算
潘俊，温秀兰
(南京工程学院自动化学院,江苏 南京，211167)
摘要：为了更准确地评定圆度误差及测量不确定度，根据圆度特点，提出实数编码改进遗传算法求圆度误差最小区域解， 基于蒙特卡洛法评定测量不确定度。通过对零件实测计算结果表明采用实数编码的改进遗传算法，不仅省去了重复的编码 解码，而且算法简单优化效率高，蒙特卡洛法计算不确定度与传统 GUM 方法相比不受直接测量量相关性的限制,而且受问 题条件限制的影响小,使不确定度评定简单化。采用改进遗传算法和蒙特卡洛法能够更加准确高效的评定圆度误差和测量 不确定度。 关键词：圆度；改进遗传算法；不确定度；蒙特卡洛法
所以求解圆度误差就变为寻找 ， 的值，使目标函，其中数 f 为最小。
2 蒙特卡洛法不确定度计算
蒙特卡洛法的基本思想是:为了计算数学、工程技术等方面的问题，首先建立一个与所求解相关的概
率模型，使所求问题的解正好是所建模型的数学期望或其他有关特征量；然后通过对模型的观察或抽样
试验来计算所求参数的统计特征；利用建立的概率模型，求出要估计的参数；再次对模拟结果进行分析
适用于处理传统搜索算法难以理解的复杂和非线性问题，可广泛用于组合优化，机器学习，自适应控制，
规划设计和人工生命等领域，它已逐渐成为 21 世纪计算智能的关键技术之一[3]。
在实际的测量过程中，测量仪器，测量方法，以及测量结果都是存在着一定的误差，所以我们在使
用这些数据进行误差计算时是不准确的。因此，国际上早在 20 世纪 60 年代就提出了用“不确定度”来
按最小区域法评定圆度误差实际上是寻找包容被测实际圆的两个同心圆且相距最短。设实际圆上的 测 量 点 为 pi （ xi,yi ） (i=1,2,3, „ ,n), 其 中 n 为 测 量 点 个 数 ， 设 根 据 最 小 区 域 确 定 的 圆 方 程 为
，其中（xz,yz）为圆心坐标。由圆度误差定义知，其计算公式为： （2）
同的值。一群单独的染色体叫做种群，基本遗传算子包括选择、交叉和变异。
标准遗传算法步骤如下：（1）定义一个表明解决方法适应度的目标函数。（2）选择合适的编码和相应
的遗传算子。（3）随机产生 N 个个体的初始种群。（4）计算每个个体的适应度。（5）分配给每个染色体
的繁殖概率。（6）根据分配的繁殖概率生成一个新的种群中选择的个体。通过设定的交叉和变异概率使
为随机抽样（random sampling）技术或者统计试验(Statistical testing)方法。它一种基于随机数的计算方法， 它以概率统计理论为主要理论基础，以随机抽样为主要手段[5]。
目前人们对圆度误差评定数学模型与算法的研究仍然在不断深入和加强，各种新模型与算法不断出
现，然而准确、高效、可靠的算法仍然是寻求的目标之一[6,7]。因而对回转体零件形状误差的评定方法、
基金项目：国家自然科学基金项目（51075198），江苏省自然科学基金项目(BK2010479)，江苏省“333 人才工程”和“六大人才高峰”项目。 作者简介：潘俊（1989—）男，硕士，研究方向测试计量技术。 E-mail：njitpanjun@163.com。
于 1975 年首次提出，是一类通过模拟生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。遗传算法特别
0 引言
圆度误差是机械零件常见的形状误差之一，其反映的是实际圆轮廓对其理想圆的变动量，其值的大 小是从一特定圆心算起，以包容实际轮廓的两个同心圆的半径差来衡量的。国标规定的评定圆度误差有 4 种方法：最小二乘法、最小区域圆法、最大内切圆法和最小外接圆法[1]。其中，最小二乘法有具体的公 式算法最为简单评定结果稳定，但是在要求精度较高的零件加工时评定结果可能存在争议。最小区域法 是按圆度误差的国标定义和 ISO 定义来评定圆度误差值的，评定出的结果可作为仲裁的依据。因此，用 最小区域法评定圆度误差才是严格的正确的评定方法，也是唯一的仲裁方法，应尽可能采用这种方法， 以使评定的结果更准确和更具客观性[2]。圆度误差按最小区域法进行计算的本质是一个复杂的非线性最 优化问题，本文就是用改进遗传算法来进行计算。遗传算法(GA,Genetic algorithm)由美国 J.-Holand 教授
总结，验证该系统的某些特性[9]。
本文采用三坐标测量仪进行圆度测量，对三坐标测量机进行不确定度来源分析，从而得到圆度误差
测量过程中所产生的测量不确定度[10]。
圆度误差评定过程中测量不确定度的计算步骤：
（1）分析圆度误差测量不确定度的来源，判断其分布类型及分布区间，通常不确定度来源主要有坐标点
Hale Waihona Puke Baidu
测量不确定度，示值误差引起的不确定度，环境因素等引起的不确定度。
选择的个体产生后代。（7）如果达到终止条件，则停止，否则跳到步骤（4）。
1.2 改进遗传算法
改进遗传算法实现实数编码和优化变量的浮点数表示。和标准遗传算法相比，改进遗传算法的时间
更短，因为它不需要编码和解码的过程。考虑到圆度误差优化，改进遗传算法采用混合交叉
[9]，
它通过结合父代信息产生子代并且具有良好的搜索能力。而且，它不需要计算种群中的每个个体的适应
Abstract：In order to more accurately compute the result of circularity error and measurement uncertainty, using the minimum zone method of improved genetic algorithm in real-code to evaluate the circularity error and the Monte Carlo method to calculate the uncertainty by the characteristics of circularity. Through the results of the calculation of actual parts it shows that the improved genetic algorithm in real-code, not only saves the duplication of code decoding, and simple algorithm for optimization of high efficiency. The uncertainty by Monte Carlo method compared with the traditional method of GUM department is not only restricted by direct measurement quantity correlation but also under the influence of small problem constraint, and simplify the evaluation of uncertainty. With the improved genetic algorithm and Monte Carlo method can be more accurate and efficient evaluation of circularity error and uncertainty. Key words: Circularity error; Improved genetic algorithm; Uncertainty; Monte Carlo
（5）根据各输入量的随机数计算测量结果 把以上随机序列代入圆度误差模型，求得 M 个圆度误差 f 的值。根据这组 f 的值，构造一个概率分
布，判断其分布类型，求出其期望和方差，期望值即为圆度误差的值，方差的值即为所要求的圆度误差
测量的标准不确定度。
3 实例验证
本文的测量数据来源于型号为 NC454 的三坐标测量仪（CMM）测量圆柱体的零件，如图 1 所示。 取任一横截面测得圆上点的坐标，见表 1。