函数的基本性质(教案)

［课題h第一章集合与函数概念函数的基本性质
主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）
［课标.大纲.考纲内容］:
【教材与学情分析】
学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要如强。

学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定艾理解透彻。

［教学目标］:
［教学重难点］:
1、重点：理解函数的单调性.最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性
的定艾，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定艾，研究基本函数的单调性和奇偶性。

［课的类型.教具.教法、教时］:
第1课时1.3.1单调性与最大(小)值(1)【教学目标】
1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定狡及其几何意爻；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 会用定艾证明函数的单调性
【教学重难点】
教学重点：理解函数的单调性的含狡及其几何意艾.
教学难点：用定爻证明函数的单调性.
【教学过程】
一、引入课題
1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
O能否看出函数的最大、灵小值
2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1 ・ f (x) = X
O从左至右图象上升还是下降___________
O在区间 ______________ 上，随着X的增
大，f(x)的值随着____________ ・
O必须是对于区间D内的任意两个自变量的值Xχ X2:当
×1<×2时，总有f（Xi） <f（X2）・
2. 函数的单调性定义
如果函数y=f（X）在区间D上是增函数或减函
数，那么就说函数y=f（X）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y=f （x）的单调区间：
3. 判断函数单调性的方法步探
利用定狡证明函数f（x）在给定的区间D上的单调
性的一般步骤：
O 任取Xi, ×2∈D,且X KX2；
O 作差f（XI）—f（X2）:
O变形（通常是因式分解和配方）；
O定号（即判断差f （χ1）-f （X2）的正负）：
O下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）・（二）典型例题
例1.（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性.
解：（略）
巩固练习：课本P32练习第3题
例2.（教材P29例2）根据函数单调性定狡证明函数的单调性.
解：（略）
巩固练习：
O课本P32练习第4题；
O证明函数y = x +丄在（1, +8）上为增函数.
X
思考：画出反比例函数y =丄的图象.
X
O这个函数的定狡域是什么
O它在定狡域/上的单调性怎样证明你的结论.
三、归纳小结.强化思想
函数的单调性一般是先根損图象判斷，再利用定狡证明.求函数的单调区间时必须要注意函数的定狡域，单调性的证明一般分五步：
取值T作差T变形T定号T下结论
四、作业布置
课本P的习题1・3 （A组）第仁2题.
五、教学反思：利用定爻证明函数的单调性的变形过程是难点。

第2课时1.3.1单调性与最大（小）值（2）
【教学目标】
1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质：
【教学重难点】
教学莹点：函数的最大(小)值及其几何意艾.
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.
【教学过程】
一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问題：
O 说出y=f(X)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
O指出图象的爺商点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征
(1) f(x) = -2x+3(2) /(x) = -2x÷3 x∈［l,2］
(4) /(X)= X2+2X÷1 X∈[0,2]
(3) /(X)=X2+2X÷1
二、新课教学
(-)函数最大(小)值定狡
1. 最大值
一般地，设函数y=f (x)的定狡域为/,如果存在实数M满足：
(1) 对于任意的x∈∕,都有f (x)≤M:
(2) 存在X0∈/,使得f (xo) = M
那么，称M是函数y=f (x)的最大值(MaXimUm Value).
思考：仿照函数最大值的定狡，给出函数y=f (x)的最小值(MinimUnl ValUe)的定狡・(学生活动) 注意：O函数置大(小)首先应该是某一个函数值，即存在xo∈Λ使得f(x°) = M：
O 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈∕,都有f(x) ≤M (f(X)≥M).
2. 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
O利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
O利用图象求函数的灵大(小)值
O利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f (x)在区间［a, b］上单调递增，在区间［b, c］上单调递减則函数y=f (x)在x=b处有罠大值f(b):
如果函数y=f (×)在区间［a, b］上单调递城，在区间［b, c］上单调递增则函数y=f (x)在x=b处有爺小值f⑹：
(二)典型例题
例1・(教材P50例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解：(略)
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审淸题意.适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的罠大(小)值.
巩固练习：如因，把截面半径为25Cm的圆形木头锯成矩
形木料，如果矩形一边长为X t面积为y 试将y表示成X
的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使
得截面面积最大例2.(新題讲解)
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经
营，经理得到一些定价和住房率的数据如下:
房价(元)住房率(%)
16055
14065
欲使每天的的营业额就高，应如何定价
解：根据已知数据，可假设该客房的最鬲价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.
设y为旅馆一天的客房总收入，X为与房价160相比降低的房价，因此当房价为（16O-X）元
时，住房率为（55+彩∙∙10）%,于是得
y=15O ・（160-x）・（55 +讦・10）% =.
由于（55+ —∙∙10）% ≤1,可知O≤x≤90・
20
因此问题转化为：当O≤x≤90吋，求y的最大值的问題.
将y的两边同除以一个常数.得）*一/+50尤+17600・
由于二次函数八在X =25吋取得最大值，可知y也在X =25时取得最大值，此时房价定位应是160-25=135 （元），相应的住房率为％,最大住房总收入为（元）・所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例3・（教材P3∣例4）求函数J = ^-在区间［2, 6］上的罠大值和置小值・
X-I
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的就大（小）值的方法与格式.
巩固练习：（教材P32练习5）
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根扌居图象判断，再利用定狡证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定狡域，单调性的证明一般分五步：
取值T作差T变形T定号T下结论
四、作业布置
课本P M习題1・3 A组第5题.B组第1题
五、教学反思：函数单调性可以从三个方面理解：（1）图形刻画：函数图象在给定区间从左向右连续上升则函数是增函数。

（2）定性刻画：函数在给定区间y随X的增大而增大，则是函数是增函数，y随X的增大而减小，则函数是减函数（3）定量刻画：利用定义证明。

第3课时1.3.1单调性与最大（小）值（3）
【教学目标】
1. 通过习题训练进一步理解函数的单调性和黃大（小）值及其几何意艾：
2. 运用函数图象理解和研究函数的性质；
【教学重难点】
教学重点：函数的单调性和罠大（小）值及其几何意乂.
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值.
【教学过程】
—、复习回顾：
1. 证明函数单调性的步腺：
①任取Xt, X2∈D,且Xl＜X2：
②作差f（Xi）— f（X2）:
③变形（通常是因式分解和配方）：
④定号（即判斷差f（xι）-f（x2）的正负）；
⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.
2. 求函数单调区间的方法：根据图象判斷。

3. 求函数最大（小）值的方法：
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
②利用图象求函数的最大（小）值
③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
二、习题训练：（学生训练，提问学生，先学生讲评，后教师点评）
1. 函数y = x2-6x的单调递减区间是—（一oo,3］ _____________ .
2. 定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a,b,总有J则必有（C ）
a—b
A. 函数f（x）先增后减
B. 函数f（x）先减后增
C. 函数f（x）是R上的增函数
D. 函数f（x）是R上的减函数
3. 下列说法中正确的有（A ）
①若x l, X2∈ /,当X］＜ x2⅛, /（x1）＜ /（X2）, W = /（X）在 2 上是增函数；
②函数丿=兀2在R上是增函数；
③函数y=-丄在定狡域上是增函数；
X
④y =丄的单调区间是（-∞,0）∪（0,+oo）.
X
个个 C. 2个个
k
4. 若函数y = —伙＞0）在［2,4］ JI的最小值为5,則k的值为—20—・
X
5. 判断函数f（x）=√7-X在区间［l,+∞）上的单调性.（减函数）
6. 判断函数f（x）=x i + 3x在R上的单调性..（增函数）
7. 已知f（x）是定51在［-1,1］上的增函数，且f（χ-1）＜f（1-3x）,求X的取值范围.（OSArv丄）
2
三、易错点反思：（提问学生做错的原因）
四、教学反思：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

学生对最大（小）值槪念的理解往往忽視定狡域的限制。

2. f(×) = -2x+1
O 从左至右图象上升还是下降 __________
O在区间 _______________ 上，随着X的增
大，f(χ)的值随着____________ .
3. f (x) = X2 3
O在区间 ______________ 上，f(x)的值随
着X的增大而 _________ ・
O在区间 _______________ 上，f(x)的值随
着X的增大而 _________ ・
二、新课教学
(-)函数单调性定义
1. 增函数
一般地，设函数y=f (x)的定狡域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xι,x2,当xKx2时，都有f (xι)<f (X2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).
思考：仿照增函数的定艾说出城函数的定艾.(学生活动)
注意：
O 函数的单调性是在定艾域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;。