直线与方程经典题型总结(超值)

直线与方程

一、 知识要点： 1、

直线的斜率：倾斜角不是90°的直

线．

它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．

直线的斜率常用k 表示，即 αtan =k 2、

直线的斜率公式：在坐标平面上，

已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是

确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2

和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x 轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q ⊥P2M ，垂足分别是M1、M2、Q ．那么：

α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)

在图甲中：1

21

212tan x x y y Q P QP --==α 在图乙中：

x

x y y QP QP Q P P --==

<-=21

21212tan tan α

如果P 1P 2向下时，用前面的结论课得：x

x y y x x y y --=--=

21

22121tan α 综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

3、直线的点斜式方程：

00()y y k x x -=- ………… ①

其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。

方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜

式方程，简称点斜式。 4、直线斜截式方程：

b kx y += ………… ②

我们把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。

x

y o b

l

5、直线方程的两点式：

),(21211

21

121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标. 6、直线方程的截距式：1=+b

y

a

x ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴

上截距.

7、直线方程的一般形式：Ax+By+C=0 （A 、B 不全为0） 8、两条直线的交点坐标： 设两直线的方程是

l 1： A 1x+B 1y+C 1=0， l 2： A 2x+B 2y+C 2=0．

(2)当A 1B 2-A 2B 1=0时：方程无解，即两直线平行. 9、两点间的距离公式：

思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离。 即：5)2(3=--=AB

A

1 1

2

2

3 3 -1 -1 -2

-

o

• •

B

y x

A

A' 1

1

2 2

3

3 -1 -1 -2

-2

o •

• B

•

y x

（图1） (图2)

思考题2、将图（1）中的A点移到第二象限()2,2

A处。如何

'-

求'A、B间的距离？

思考题3、将图（2）中的B点移到第三象限()2

B处。怎样

'-

,3

（图3） （图4） 在图（4）中构造出一个直角△21QP P

∵12211x x M M Q P -==，12212y y N N Q P -== ∴2122122

22

121)()(y y x x Q P Q P P P -+-=+=

10、点到直线的距离：

例题：过点000(,)P x y 作直线l 的垂线，垂足为Q 。求P 0到直线l 的距离

（1）若直线l ∥x 轴，即：A=0，直线l 的方程0Ax By C ++=为：

C

y B

=-

(∵B ≠0). 点0P 到直线l 的距离0C

d y B

=+

。 （2）若直线l ⊥x 轴，即：B=0，直线l 的方程0Ax By C ++=为：

C

y A

=-

(∵A ≠0). 点0P 到直线l 的距离0C

d x A

=+。

（3）若直线l 不平行x 轴，也不垂直x 轴，则直线l

直线0P Q 的方程为00()B y y x x A

-=-， 即：00Bx Ay Bx Ay -=-。

与直线l 的方程0Ax By C ++=

{

000

Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-

P 0

Q =

。

因此，点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为：

1点A （a,2）到直线l ：3x-4y+3=0的距离为1，求a 的值

2已知平行线0332=-+y x 与2x-3y-9=0，求与它们等距离的平行线的方程

3已知A （1，2），B （3，4），直线l 1：x=0，l 2：y=0和l 3：x+3y ﹣1=0、设P i 是l i （i=1，2，3）上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是 ．

4已知直线(2)(31)1a

y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.

5若直线l ：y ＝kx 2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求