光纤光学原理及应用-第5章

(5.8)
积分式(5.8)并由归一化要求Pt =1，得到：
E0
=
U V
⋅
K0 (W ) K1(W )
⋅
2 μ0 = W ⋅ J0 (U ) ⋅ π a2n1 ε0 V J1(U )
2 μ0 π a2n1 ε0
(5.9)
由式(5.5)分析可得, 场的纵向分量与横向分量之比
约为 U / (ak0n1) , 场的纵向分量几乎可以忽略, 可认为
U～Ｖ和U1～V关系曲线是分析、确定LP01模
场分布的基础, 在实用中也可根据下式近似求得
W ≈ 1.1428V -0.9960 ≈ 2.7484 λc − 0.9960 (5.14) λ
与图5.5中的精确解(实线)相比,在 1.5 ≤ V ≤ 2.5范 围内, 其相对误差小于0.1%; 而在1 ≤ V ≤ 3范围内, 其相对误差增加到1%;当V<0.9时,该近似法失效。
W 值后，由式(5.5a)可求出LP01模的场分布。 在零光频 (λ → ∞) 时，光
纤截面内场分布是均匀的；
在无限大光频 (λ → 0) 时, 场 完全被束缚在纤芯内，因为
J0(2.405)=0;在中等光频时,场 分布在光纤轴上达到极大值，
且随半径的增加而平滑减弱。
图5.4 LP01模和LP11模的U∼Ｖ关系曲线
⎡⎢⎣1 −
2Δf
⎛ ⎝⎜
r a
⎞⎤ ⎠⎟⎦⎥
(5.24)
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其中
Δ = n12 − n22 ≈ n1 − n2
(5.16)
改变参数 s, η 可达到最大值
s0 (模场半径)。由图可见, 在通
常λ / λc范围(0.8~1.8)内,η > 96% 。
在0.8 ≤ λ λc ≤ 2范围, s0 a可用
下式近似表示为
s0
=
−3
0.65 +1.619V 2
+ 2.879V −6
a
(5.17) 图5.6 归一化模斑半径、耦合效率分
单模光纤是指在一定工作波长下，只传输基 本模式HE11或LP01的光纤。
利用单模光纤的结构、物化、传输等特性， 可以研制出光纤耦合器、光纤偏振器、光纤滤 波器等光无源器件。
利用其非线性，还可研制光纤激光器、光纤 放大器等光有源器件。
3
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5.1.1 单模光纤的主要特点
(1)芯径、折射率差均很小
K
0
⎛ ⎜⎝
W⋅ a
r
⎞ ⎟⎠
≈
πa
−W ⋅r
⋅e a
2W ⋅ r
(5.18)
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采用式(5.18) 计算消逝场值不确定度小于5%, 消
逝场实际上衰减得比高斯近似法估计的要慢得多。
因此, 在讨论与消逝场有关的波导现象(耦合、弯曲 等)时, 必须利用其他方法(如格林函数法)进行修正。
截止波长: 当波长大于此
截止波长时,λ > λc。给定
光纤变为单模光纤, 光波 传输成为单模传输，即
n2
图5.1 不同截止波长λc的 δ n
与2a之间的关系曲线
V = 2.405 λc , λ
λc
=
Vλ
2.405
(5.4)
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根据第4章第2节分析可知，阶跃折射率分布的光 纤满足弱导近似条件时, 基模HE11场分布可表示为：
⋅
⎪J ⎨ ⎪⎪WK1
0 (U ) ⎛W ⋅ ⎜⎝ a
r
⎞ ⎟⎠
(0 ≤ r ≤ a) (r > a)
(5.5c)
如果Ex=0,
⎪⎩ K0(W )
式中Ez、Hz分别取
⎛ ⎜ ⎝
sin θ cosθ
⎞ ⎟ ⎠
、⎛⎜
⎝
cosθ sin θ
⎞ ⎟
中的第
⎠
一个因子; 如果 Ey=0, 则分别取第二个因子。
U、W须同时满足如下归一化频率和基模本征值方程：
(5.10)
其中,
[x,
y]和
⎡cosθ
⎢ ⎣
sin
θபைடு நூலகம்
⎤ ⎥ ⎦
有四种可能组合,
U
和W
应满足：
V 2 = U 2 +W 2
U1
J2 (U ) J1(U )
=
W1
K2 (W ) K1(W )
(5.11)
(5.12)
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为使总功率满足归一化条件，应有：
E1 =
2 μ0 ⋅ U1 ⋅ π a2n1 ε0 V
LP01模的高斯场分布为
Ey =
2 e−⎛⎜⎝
r s
⎞2 ⎟⎠
πs
(5.15a)
Hx
=
2 s
n1 ⋅
π
ε e 0
−⎛⎜⎝
r s
⎞2 ⎟⎠
μ0
(5.15b)
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将高斯场传输的总功率归一化为1, 耦合效率为
∫ ∫ η
=
⎡1
⎢ ⎣
2
2π
0
∞ 0
Ey H xrdrdθ
⎤2 ⎥ ⎦
高斯近似法具有较好的准确度，该曲线还给出了 泄漏到包层中的功率随波长而增加的情况，即导模 所携带的功率是如何扩展进包层的。
(2)给定半径内的功率比
在半径为 r0 的圆柱内, 由式(5.19), 采用高斯近似， 可得到
⎛ −2⎜
r0
⎞2 ⎟
p ≈ 1− e c
⎝ s0 ⎠
pt
(5.22)
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pc pt
=
1
−
⎛ ⎜⎝
U V
⎞2 ⎟⎠
⋅
⎡ ⎢1 ⎢⎣
−
⎛ ⎜ ⎝
K0 K0
(W (W
) )
⎞2 ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
(5.20)
用高斯近似代替精确的场
分布表达式，得
pc
⎛ −2⎜
a
⎞2 ⎟
≈ 1 − e ⎝ s0 ⎠
pt
(5.21)
图5.7 纤芯内LP01模的功率关系曲线
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(5.9), 得到消逝场近似关系为
pc pt
≈
π
2
⎡U ⎢⎣VWK1
(W
)
⎤ ⎥ ⎦
2
e−2⎛⎜⎝
W ⋅r1 a
⎞2 ⎟⎠
(5.23)
在Wr1 / a > 1.5 范围内，该 近似关系给出的结果误差小
于10%，如图5.9所示。
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图5.9 给定半径外 LP01 模的功率关系曲线
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5.2.3 功率分布分析
(1)纤芯内的功率比 利用式(5.8)，得到纤芯内的功率比为：
a 2π
GG
∫ ∫ pc ∫ ∫ pt
=
00 ∞ 2π
Re ⎡⎣(Ey G
Re ⎡⎣(Ey
×
H
* x
)
⋅
eˆz
rdrdθ
⎤⎦
G
×
H
* x
)
⋅
eˆz
rdrdθ
⎤⎦
00
(5.19)
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利用J0、J1、K0和K1以及式(5.7)之间的递推关系， 可得
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第五章 单模光纤的性质及分析
南开大学 张伟刚教授
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第 5 章 单模光纤的性质及分析
5.1 引 言 5.2 均匀单模光纤分析 5.3 渐变单模光纤分析 5.4 单模光纤的双折射
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5.1 引 论
⎜ ⎝
cosθ
⎞ ⎟ ⎠
⋅
⎪J ⎨ ⎪⎪WK1
0 (U ) ⎛W ⋅ ⎝⎜ a
r
⎞ ⎠⎟
⎪ ⎩
K0 (W )
(0 ≤ r ≤ a) (r > a)
(5.5b)
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Hz
=
−
iE0 k0a
⎧
⎪ ⎪
UJ
1
⎛ ⎜⎝
U⋅ a
r
⎞ ⎟⎠
ε0 μ0
⎛ cosθ ⎝⎜ sinθ
⎞ ⎠⎟
这种模具有线偏振性质的横向偏振模, 即LP01模。
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图5.2给出了沿ox偏振的LP01模的电场和磁场分布。
图5.2 沿ox偏振的LP01模的电场E和磁场H分布示意图
(2)场的二阶模分析 当光纤结构满足 2.405<V<3.832 时, 出现相邻
的第二阶模LP11模 (包括TE01、TM01和HE21)。
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同样, 弱导光纤的纵向分量可忽略, 其场分布可表示为：
⎧ ⎪ ⎪
J1
⎛ ⎜⎝
U1 ⋅ a
r
⎞ ⎟⎠
eiθ
Ey(x)
=
E1
⎡cosθ
⎢ ⎣
sin
θ
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎪ ⎨ ⎪ ⎪
J1 (U1 )
K1
⎛ ⎜⎝
W1 ⋅ a
r
⎪ ⎩
K1 (W1 )
⎞ ⎟⎠
eiθ
(0 ≤ r ≤ a) (r > a)
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(2)高斯近似法 由图5.5可见, 基模LP01模的分布形状类似高斯
分布, 可考虑用高斯函数对精确的场分布进行近 似，该函数是不截尾抛物线折射率分布的LP01模 精确场的分布函数。
采用使LP01模达到最大耦合效率的高斯场分布 来近似实际的精确场分布。利用式(5.5a)和式(5.9),
K1 (W1 ) K0 (W1)K2 (W1)
(5.13)
图5.3给出了沿ox偏振的奇、偶LP11模的电场分布。
(a)坐标系
(b)奇模(sinθ)
(c)偶模(cosθ)
图5.3 沿ox偏振的奇、偶LP11模的电场分布示意图
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(3)模场的分布
图5.4给出了U∼Ｖ和Ｕ1∼Ｖ的关系曲线。求出U、
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别与归一化波长的关系曲线
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利用式(5.17)计算求解，其不确定度小于1%， 与精确结果比较， 对于两端的V 值，其高斯场 近似差别很大，但耦合效率较高。
高斯近似法的主要限制是不能对远离纤芯－包 层交界面的消逝场进行有效的估算。对于包层区 域消逝场分布, Ey(x) ∝ K0(Wr a)。当Wr a > 2 ,消逝 场分布近似表示为：
Ey(x)
=
1 n
⎧ ⎪ ⎪
J0
⎛U ⋅ ⎜⎝ a
r
⎞ ⎟⎠
μ0 ε0
H x( y)
=
E0
⋅
⎪ ⎨ ⎪ ⎪
J0 (U )
K0
⎛ ⎜⎝
W⋅ a
r
⎞ ⎟⎠
⎪ ⎩
K0 (W )
(0 ≤ r ≤ a) (r > a)
(5.5a)
⎧ ⎪ ⎪
UJ1
⎛ ⎜⎝
U⋅ a
r
⎞ ⎟⎠
Ez
=
−
iE0 k0an1
⎛ sinθ
V 2 = U 2 +W 2
U J1(U ) = W K1(W ) J0 (U ) K0 (W )
(5.6) (5.7)
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式(5.5a) 中的E0可由沿光纤所传输的总功率Pt(即
功率流)关系式求得：
∫ Pt
=
1 2
s
Re
G ⎡⎣ E ( x,
y) ×
G H *(x,
y)⎤⎦ ⋅ eˆzdS
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图5.5给出了不同V 值时导模的相对总功率 I(r)的关 系曲线，其中假设LP01模和LP11模传输相同的功率， 并且是在非相干光照射。
图5.5 V 不同值时导模的相对总功率 I(r)的关系曲线
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5.2.2 模场近似分析
(1)U和U1的近似解
单模光纤结构：
n2
(r)
=
⎧ ⎪⎨n12
⎡ ⎢1 − ⎢⎣
2Δ
⎛ ⎜⎝
r a
⎞g ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎪ ⎩
n22
(0 ≤ r ≤ a) (r > a)
(5.2)
当 g = ∞,2,1 时，分别对应于阶跃折射率分布、
平方律分布和三角分布的光纤。
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5.2 均匀单模光纤分析
5.2.1 模场的精确分析 (1)场的基模分析
从图5.8可见,当λ / λc = 1,
高斯近似法有较好的准确
度。当λ / λc > 1.2, 存在高 斯近似的转折点。
当r0 a > 2.4时，采用高斯
近似法计算的消逝场值则过 高了。
图5.8 给定半径内LP01模的 功率关系曲线
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(3)给定半径外的功率比 利用式(5.18)、式(5.5a)和式
5.3 渐变单模光纤分析
基本分析思路：单模光纤折射率因制作工艺及 材料等原因,其实际折射率并非理想阶跃型分 布, 而是呈渐变分布。渐变单模光纤中的LP01 模对折射率分布不敏感, 而多模光纤高阶模对 折射率则很敏感。无论单模光纤的纤芯折射率 如何分布, 其场分布沿径向 r 的分布都接近于 贝塞尔函数, 而贝塞尔函数又接近于高斯分布。 于是，实际用的单模光纤可用 g = ∞ (阶跃型)、 g = 2 (平方律)型光纤进行等效。
均匀单模光纤是指折射率呈理想阶跃型分布的 光纤这种光纤中只能传输两个HE11模，这两种模 式具有相同的传输常数，是完全简并的。
V = ak0n1 2Δ ≈ ak0n1 2δ n
(5.3)
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图 5.1 给 出 了 各 种 波 长
的折射率差 δ n 与纤芯直
径 2a 之间的关系曲线。
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5.3.1 等效阶跃型光纤法 等效阶跃型光纤(ESF)法的基本思想是：寻找
一条适当的阶跃型光纤对实际的渐变型光纤进行 等效。由于阶跃型光纤的场解是已知的，于是可 得到等效的渐变型光纤的场解。
(1)等效光纤的意义 实际渐变型光纤的折射率分布可表示为：
n2(r)
=
n12
V = ak0 n12 − n22 ≤ 2.405
(5.1)
单模光纤的纤芯直径约为 10μm。
(2)色散效应低 由于单模光纤只传输基模，几乎没有模失
真，因此其模间色散比多模要小得多(约1∼2 个数量级)。
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(3)双折射现象 单模光纤包含两个相互正交的偏振模，因而
模式的偏振态在传输过程中的变化极为重要。