一题多解 多题一解 一题多变(顶角是20度的等腰三角形问题)原创

顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较

在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。举例如下：

1、（09年压轴题）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数

解法（一）

解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在

AM上取点P，使PM=MN，

∵∠A=20゜, AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=80° ,

∴∠NBM=60°

∴△BMN为等边三角形，

∵∠CBM=20°

∴∠BMC=∠BCM=80°

∴BC=BM=BN=MN=PM

∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°

∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°

连接CN，

在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80°

∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100°

∴∠PBM=40°，

∵∠CBM=20°

∴∠CBP=60°，

∴点P就是图1中的点D，

∴∠AED=50°

解法二

解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60°

∵∠BCE=50°

∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°

∴BE=BC=BM

∴△BMN为等边三角形，

∴∠BEM=60°

∵∠BMC =80°

∴∠BMD=100°

∵∠DBC =60°，∠CBM=20°

∴∠DBM=40°

在等腰△MDB中

∴∠BDM=180°–100°–40°=40°

A

B C

N

M

P

(图2)

A

B C

D

E

(图1)

A

B C

E

M

D

(图3)

∴DM =BM =EM 在等腰△MDE 中 ∵∠BMD =100°

∴∠MED =∠MDE =70°

∴∠AED =180°-70°-60°=50°

解法三：

解：如图4 作等边三角形AGD 交AE 与F

∴ ∠AGD ＝∠DBC ＝60°∠GAF ＝40° ∵∠A ＝20°AB ＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°

又∵∠DBC ＝60°∴∠BDC ＝40°

∴∠GAF ＝∠BDC ∴∠ABD ＝∠BAC ＝ 20° ∴AG=AD=DB

△ AGF ≌△DBC

∴AF=DC 又∵AB ＝AC

∴BF=AD =DG ………① 又∵∠ABC =80°∠BCE =50゜

∴∠BEC=50゜

∴BE =BC=GF …………..② 由①②得 BF-BE=DG-GF 即：EF ＝FD

又∵∠EFD =∠AFG ＝80°

∴∠AED =（180°－80°）÷2=50° 2、（2004年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB 边上取点M,使BM=AC,则AMC 的大小为

解法一

_ 图 4

_ G

C

解：作∠FAC=20°使AF＝AB 交AC与E 连结BF CF ∠BAF=80°-20°＝60°

可得△BAF为等边三角形，∴BA=BF=AF

∵BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°

∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF

∠CBF=60°-20°=40°BC=BA=AF

∴∠BCF=(180°-40°)÷2=70°

∴∠ACF=80°+70°=150°

∴∠BMC=150°

∠AMC=30°

解法二

解：作BD⊥AC交AC与D ∴∠DBC=10°在BD上取点E 使EA=AC 连结EC

可得△EAC为等边三角形，∴EC=AC=BM

∠BCE=80°-60°＝20°

∴∠BCE=∠CBM BC是公共边

∴△BCE≌△CBM ∠BCM＝∠DBC=10°

∠AMC=∠BCM+∠ABC =30°

解法三

解：如图作等边三角形△BCN 连结MN ∠MBN=60°＋20°＝80°＝∠BAC

∵BM=AC BN=BC

C

∴△NBM ≌△BAC

∠BNM=20° ∠BMN ＝80° ∠MNC=60°-20°=40° ∵NM=BN=NC

∴ ∠NMC=(180°-40°)÷2=70° ∴∠BMC =80°+70°=150° ∴∠AMC=30°

补充练习：

【题1】等腰三角形ABC ，顶角∠C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。

B

A

【题2】已知AB=AC ，∠A=20°，∠ABD=10°，∠BDE=20°，求∠ACE 的度数。

C

B

N

【题3】在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20度。AB的中垂线交AC于E，点D在AB 上，且BD＝BC。求∠DEB的度数。

B

C