运动辅助圆解决问题 (2)

九年级中考复习练习3 辅助圆——不太熟悉但很重要的辅助线(

添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．

（1）在同一平面内，如果四个点与某定点的距离都相等，那么这四点共圆．

（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．

（3）如果四边形的一个外角等于它的内对角，则此四边形的四个顶点共圆．

（4）如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．

一、根据圆的定义作辅助圆

例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．

例2 如图，PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．

二、作三角形的外接圆

例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．

例4如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．

三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆

例5 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

例7 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．

五、四点共圆

例8如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE．

例9如图等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点．

例10 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14，求PB的长．

例11（江西省2013年）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．

例12（2013成都市）如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，C90

A

∠=∠=，BD BE

⊥，AD=BC.（1）求证：AC=AD+CE;（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ DP

⊥，交直线BE于点Q.i)若点P与A,B两点不重合，求

DP

PQ

的值；ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答）。

C

B

R

C