上海市重点中学高二数学上学期期末考试试题

1 | AF |
2
，∴ | OB|=| BF| ，
点 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为 (1， 2 2 )，∴ k 2 2 0 2 2 ，∴选 (D)。▋ 1 ( 2) 3
三、解答题： 本大题共 5 题，满分 48 分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。 17、 （本题满分 8 分）
已知直线 l： x 3 y 2 0 与 x 轴交于点 A；以 O 为圆心，过 A 的圆记为圆 O。求圆 O
P(2，1) ，直线 PA1 与 PA2 （ A1 ， A2 为双曲
线 C 的两个顶点）的斜率之积
k k PA1
PA2
1 ，求双曲线 C 的标准方程。
解：（ 1）当双曲线的焦点位于
x 轴上时，设
C：
x2
2
a
y2 2 1， b
所以 A1( a，0) ， A2 (a，0) ， k PA1 kPA2
11 2 a2a
4 米；下午 2
解：设抛物线方程为 x 2 2 py ，其过点 (2， 2) ，
所以 p 1 ， x2 2y ，当 y 3 时， x
6 ，所以桥下的水面宽 2 6 米。▋
8、 直线 l 1 ： y 3x 1 绕原点逆时针旋转 90 的直线 l2 ，则 l1 与 l 2 的交点坐标为 _______。
(
)
(A) [ 1，1 2 2]
(B) [1 2 2，1 2 2]
(C) [1 2 2，3]
(D) [1 2，3]
解：曲线方程可化简为 ( x 2)2 ( y 3) 2 4 （ 1≤ y ≤ 3 ），即表示圆心为 (2，3) ，半径为
2 的半圆。 依据数形结合，直线 y x b 与此半圆相切，即圆心 (2，3) 到直线 y x b 距离等于 2，
当 k 3 时，二直线分别为 l 1 ： y 1 0 ， l2 ： 2 y 3 0 ，平行； 当 k 5 时，二直线分别为 l 1 ： 2 x y 1 0 ， l2 ： 4 x 2y 3 0 ，平行。▋
4、 直线 l 的一个方向向量 d (1，2) ，则 l 与 x y 0 的夹角大小为 __________ 。（用反三角 函数表示）
解： l 2 ： y
1 ( x 1) ，与 y
3x 1 联立，解得交点为
( 2 ，1 ) 。▋
3
55
9、 已知方程 ax2 ( a2 2) y 2 (a 2) x (2 a2 2) y 3a 4 0 表示圆，则 a ___________。
解：令 a a 2 2 ，解得 a 1 或 a 2 。
（1）当 a
（Ⅰ） AP 3PB ，求直线 l 的方程；
（Ⅱ）求当 AP PB 取得最小值时直线 l 的方程。
解：显然直线 l 的斜率 k 存在且 k 0 ，
设 l： y
k(x
4)
2 ，得 A(4
2 ，0) ， B(0，2 4k) 。
k
因为 P 位于 AB 两点之间，所以 4 2 4 且 2 4k 2 ，所以 k 0 。 k
截 l 所得弦 AB 的长。
解：在 x 3 y 2 0 中，令 y 0 ，得 A(2，0) ，所以圆 C 的半径 r 2， …… 2 分
圆心 O 到直线 l 的距离 d | 0 0 2 | 1 。 13
所以弦长 | AB | 2 22 12 2 3 。▋
…… 3 分 …… 3 分
18、 （本题满分 8 分） 已知双曲线 C 关于两条坐标轴都对称，且过点
2
2
2
| PF1 | | PF2 | 4c
12、 已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线， A、B 为切点，那么 PA PB 的最小值
为_____________ 。
解：设 PA PB x （ x 0 ）， APO ，则 APB 2 ，
所以 PO 1 x2 ， sin PA PB | PA | | PB | cos 2
| FA | 2 | FB | ，则 k
(
)
1 (A)
3
2 (B)
3
2 (C)
3
22 (D)
3
解：设抛物线 C： y 2 8x 的准线为 x 2 ，直线 y=k(x+2)（ k>0）恒过定点 P( 2，0) 。
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如图过 A、 B 分别作 AM⊥ l 于 M ，BN⊥ l 于 N，
由| FA|=2| FB| ，则| AM|=2| BN| ，点 B为 AP的中点。连结 OB，则 |OB |
解得 b 1 2 2 （舍）或 b 1 2 2 。
当直线过 (0，3) 时，解得 b 3 ，故 1 2 2 ≤ b ≤ 3 ，所以选 (C)。▋
15、 给出下列 3 个命题：①在平面内，若动点 M 到 F1( 1，0) 、 F2(1，0) 两点的距离之和等于
2，则动点 M 的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点 F1( 5，0) 、 F2(5，0) ，若动点 P 满足
解： tan
cos
[ 1，1] ，所以倾角
的取值范围是 [0， ]
3 [
，
) 。▋
44
3、 已知直线 l1 ： ( k 3) x (4 k ) y 1 0 与 l 2 ： 2(k 3)x 2 y 3 0 平行，则 k 的值是 ____________。
解： k 3 4 k 2(k 3)(k 5) 0 ，所以 k 3 或 k 5 。 2(k 3) 2
4 1 a2
1，
解得
2
a
3 （舍去）。
综上，所求双曲线
2
C的标准方程为 x 3
2
y 1 。▋ 3
…… 2 分 …… 2 分 …… 2 分
…… 2 分
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19、 （本题满分 10 分） 过点 P(4，2) 作直线 l 交 x 轴于 A 点、交 y 轴于 B 点，且 P 位于 AB 两点之间。
解：（Ⅰ）根据题意知， C 上每一点到点 F(1，0)的距离等于它到直线 x 1的距离。
所以，曲线 C 上每一点在开口向右的抛物线上，
…… 2 分
其中 p 2 ，所以抛物线方程为 y 2 4 x 。
又因为曲线 C 在 y 轴的右边，所以，曲线 C 的方程为 y2 4 x （ x 0 ）。 …… 2 分 （Ⅱ）设 A(x1 ， y1)，B(x2， y2)，∴ D(x1， -y1)，l 的方程为 x my 1 （ m≠ 0）。 将 x my 1 代人 y2 4 x ，整理得 y 2 4my 4 0 ，
1
2
4a
1，
解得 a2 3 。
将 a2
3 ， P(2，1) 代入双曲线方程，得
4
1
2
1 ，解得 b2
3。
3b
2
2
所以双曲线 C 的标准方程为 x
y 1。
33
（2）当双曲线的焦点位于
y 轴上时，设 C： y 2 a2
x2 b2
1，
所以 A1(0， a) ， A2(0，a) ， k PA1 kPA2
22 1 a1 a
每题填写正确得 4 分，否则得 0 分。
13、 （2009 海南宁夏秋季高考文科第 5 题）
已知圆 C1 ： ( x
2
1)
2
( y 1)
1 ，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x
y1
0 对称，则圆 C2 的方程
为
(
)
2
2
(A) (x 2) ( y 2) 1
2
2
(B) (x 2) ( y 2) 1
(C) (x 2) 2 ( y 2) 2 1
∴从而 y1 y2 4m ， y1y2 4 。 直线 BD 的方程为 y y2 y2 ( y1) ( x x2 ) ，
x2 x1
…… 2 分
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即 y y2
解： y2
2 px 的焦点为
p F ( ，0) ，设 A(0，a) （ a
pa 0 ），所以 M ( ， ) ，
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42
将 M ( p ，a ) 代入 y2 2 px ，得 a 42
2p，
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所以直线的斜率 k
a0 p
0
2
2a 2 2 。▋ p
11、 （2009 上海市秋季高考文科第 12 题）
解： d1 (1，1) ，所以夹角 满足 cos
12
3 10 ，所以夹角为
3 arccos
10
。▋
5 2 10
10
5、 已知圆 C与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切， 圆心在直线 x y 0 上，则圆 C 的方程 为________________________ 。
解： (x 1)2 ( y 1)2 2 。▋
…… 3 分
20、 （本题满分 10 分） 已知曲线 C 在 y 轴右边， C 上每一点到点 F(1， 0)的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 。
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）过点 K(-1， 0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D。证明：
点 F 在直线 BD 上；
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2
2
xy
6、 等轴双曲线 C 与椭圆
1 有公共的焦点，则双曲线 C 的方程为 ____________ 。
10 6
解：椭圆的焦点坐标为 F1 ( 2，0) ， F2 (2，0) 。
由 a2 a2
22
4 ，所以 a 2
x2 2 。所以，双曲线 C 的方程为
y2 1 。▋
22
7、 有一抛物线形拱桥，中午 12 点时，拱顶离水面 2 米，桥下的水面宽 点，水位下降了 1 米，桥下的水面宽 _________ 米。
| PF1 | | PF2 | 8 ，则动点 P 的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点
Q 到点 A(1，0) 和到
直线 2 x y 2 0 的距离相等，则动点 Q 的轨迹是抛物线。其中正确的命题有 (
)
(A) 0 个 解：选 (A)。▋
(B) 1 个
(C) 2 个
(D) 3 个
16、 已知直线 l： y=k(x+2)（ k>0）与抛物线 C： y2 8x 相交于 A、 B 两点， F 为 C 的焦点，若
1， 1 x2 x2 (1 2sin 2 )
x 2( x2 1)
2
x1
令 x 2 1 t ，所以 t ≥ 1 ，所以 PA PB (t 1)(t 2) t 2
t
t
当且仅当 t 2 ，即 t t
2 ，即 x
2 1 时等号成立。
3≥ 3
2 2，
所以 PA PB 的最小值为 3 2 2 。▋
二、选择题： 本大题共 4 题，满分 16 分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。
1、 过点 A(2，3) ，且垂直于 OA 的直线方程为 _______________。 解：一个法向量 n (2，3) ，所以方程为 2( x 2) 3( y 3) 0 ，即 2x 3 y 13 0 。▋
2、 直线 l 的一个法向量 n (cos ，1) （ R ），则直线 l 倾角 的取值范围是 _______。
已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 C： 2
y2 2 1 （ a b 0 ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且
ab
PF1 PF2 0 。若 PF1F2 的面积为 9，则 b _________。
| PF1 | | PF2 | 2a
解：有 | PF1 | | PF2 | 18 ，可得 4c 2 36 4a 2 ，即 a 2 c 2 9 ，故有 b 3 。▋
(D) (x 2) 2 ( y 2)2 1
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解：设圆 C2 的圆心为 (a，b) ，则依题意，有 对称圆的半径不变，为 1，故选 (B)。▋
a1 b 1
2
2
10
a2
，解得：
，
b1 1
b2
a1
14、 （2010 湖北省秋季高考理科第 9 题、文科第 9 题）
若直线 y x b 与曲线 y 3 4x x 2 有公共点，则 b 的取值范围是
1时，方程化为
2
x
2
y
x 1 0 ，方程表示圆；
（ 2）当 a
2 时，方程化为
x2
y2
2x
3y
5
0 ，判别式
2
2
2
3
45
0 ，方程不表
示圆。 所以 a 1。▋
10、 已知过抛物线 C： y 2 2 px （ p 0 ）焦点 F 的直线 l 和 y 轴正半轴交于点 A，并且 l 与 C
在第一象限内的交点 M 恰好为 A、 F 的中点，则直线的斜率 k _____________。
AP
2 ( ，2) ， PB
( 4， 4k) 。
k
（Ⅰ） AP 3PB ，所以 2 3 ( 4) ，所以 k
1 。
k
6
直线 l 的方程为 x 6 y 16 0 。
…… 2 分 …… 2 分 …… 3 分
（Ⅱ） AP PB
8(( k)
1 ( )) ≥ 16 ，当 k
k
1 即k
k
1 时，等号成立。
所以当 AP PB 取得最小值时直线 l 的方程为 x y 6 0 。▋
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上海市某重点高中 2011-2012 学年度第一学期 高二数学期终答案
（满分 100 分， 90 分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上） 一、填空题： 本大题共 12 题，满分 36 分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填
写正确得 3 分，否则一律得 0 分。