高考数学复习数列模拟题

数列高考及模拟题

1设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1

221n n n S a +=-+，*n N ∈，且1a ，25a +，3a 成

等差数列。

（1） 求1a 的值；

（2） 求数列{}n a 的通项公式。 （3） 证明：对一切正整数n ，有

123

111132

n a a a a ++++

<. 【解答】（1）11a =；（2）32n n

n a =-；

（3）当3n ≥时

32(12)2n n n n n a =-=+-

1221

1122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅

2222(1)n C n n >⋅=-

又因为2522(21)a =>⨯⨯- 所以，2(1),2n a n n n >-≥ 所以，

11111

()2(1)21n a n n n n <=--- 所以，

123

1111111111113

1(1)1(1)2234

122n a a a a n n n ++++

<+-+-++

-=+-<-

2 已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =++

+，231()n B n a a a +=+++，

342()n C n a a a +=+++，1,2,

.n =

（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*

n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求

数列{}n a 的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*

n N ∈，三个

数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

【解析】

解（１）对任意N n *

∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 ()()()(),B n A n C n B n -=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=

故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *

∈，有

1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是

12)2311212(......(),()......n n n n

q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++

231)

342231231

(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即

()()B n A n ＝()()

C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *

∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则

()(),()B n q A n C n q B n

==， 于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 212.n n a qa a a ++-=-

由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以

22

11

n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数

(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

3、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. （Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列1

10{lg }n

a a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.

[解析]取n=1,得,2a 211212a a s s a +=+= ① 取n=2,得,22212

2a a a += ② 又②-①，得 2122)(a a a a =- ③ （1）若a 2=0, 由①知a 1=0,

(2)若a 21012=-≠a a ，易知, ④ 由①④得：;22,1221+=+=

a a ;22,2121-=-=a a …………………5分

（2）当a 1>0时,由（I ）知，;22,1221+=+=

a a

当n n s s a n +=+≥2222）时，有（ , (2+2)a n-1=S 2+S n-1 所以，a n =)2(21≥-n a n

所以111)2()12()2(--⋅+==n n n a a 令1112

100

lg 21)2lg(1,10lg

--=-==n n n n n b a a b 则 所以，数列{b n }是以2lg 21

-

为公差，且单调递减的等差数列. 则 b 1>b 2>b 3>…>b 7=01lg 8

10

lg =>

当n≥8时，b n ≤b 8=128100lg 2101lg 2

1

=<

所以，n=7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7=

2lg 2

21

72771-=+）（b b …………………………12分 [点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

4 函数2

()23f x x x =

--。定义数列

{}

n x 如下：

11

2,n x x +=是过两点

(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线

n

PQ 与x 轴交点的横坐标。