弹性力学第二章习题课

dFs dM Fs q dx dx
积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界
第二章
习题课
（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 σ x中加上一项对平衡 没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定 f (y),并校核梁的左右边界条件。
第二章
习题课
解：本题引用材料力学的弯应力σ x 的解， 作为初步的应力的假设，再按应力法求 解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 S Sσ 上）。
再由上下的边界条件 ( yx ) y h/2 0,
Fs h 得 f1 ( x) , 代入 τ yx , 得 8I
2 2 Fs S y τ yx , 其中 S （h ). I 8 2
2
(c )
将τ yx 代入平衡微分方程的第二式,
σ y xy 0, y x
第二章
条件。
第二章
2
习题课
2
ql x x ( 2 ) ，得 （b）若q为常数，则 M 2 l l 3 6ql 2 x x 2 y y x 3 ( 2 ) y, σ y q( 1 3 2 3 ). 2 2h h h l l 代入相容方程，
24q (σ x σ y ) 3 y 0. h 2 2 6 ql x x 为了满足相容方程，令σ x ( 2 ) y f ( y), 3 h l l
qh 2 20
习题课
o
h/2 h/2 l
ql
x
ql 2 qh 2 ( ) 2 20
y
(l h, 1)
第二章
习题课
解：本题是按应力求解的，在应力法中， 应力分量在单连体中必须满足
（1）平衡微分方程；
（2）相容方程 2 (σ x σ y ) 0 ;
（3）应力边界条件（在S Sσ 上）。
xy Cxy。
第二章
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解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 2 2 （a）相容；
2 x y xy . 2 2 xy y x
（b）须满足B = 0, 2A=C ；
（c）不相容。只有C = 0，则
第二章
习题课
例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分 量是否可能在弹性体中存在：
x
读者可校核这组位移是否满足上述 条件，如满足，则是该问题之解。
第二章
习题课
例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可 能存在 (a) x Axy, y By 3 , xy C Dy 2 ;
(b) x Ay ,
2
y Bx y, xy Cxy;
2
(c) x y 0,
第二章
习题课
例题2 例题1 例题3 例题4 例题5 例题6 例题7
第二章
x q( ) 2 l
习题课
例1 试列出图中的边界条件。
q h/2
M
F
FS
h/2
x
q1
y
l
(l h, 1)
(a)
第二章
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解: (a)在主要边界 y h / 2 应精确满足下列 边界条件：
y h / 2, y h / 2,
b
第二章
习题课
注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。
第二章
习题课
例2 厚度 1 的悬臂梁，受一端的集中力 F的作用。已求得其位移的解答是
Fx 2 y Fy 3 Fy 3 Fl 2 Fh 2 u ( ) y, 2 EI 6 EI 6 IG 2 EI 8IG
Fxy2 Fx3 Fxl2 Fl 3 v 。 2 EI 6 EI 2 EI 3EI
试检查此组位移是否是图示问题的解答。
第二章
习题课
F O
h/2 h/2 l
A
x
y
(l h, 1)
第二章
习题课
解：
此组位移解答若为图示问题的解答， 则应满足下列条件:
(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式2－18）;
4Φ 0.
第二章
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例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作 用，试用下列应力表达式求解其应力，
q 2 3 x 3 (6 x y 4 y ), h 2q 3 y 3 y C1 y C2 , h
(a )
xy
6qxy C1 x。 3 h
2
第二章
q
第二章
习题课
例5 若 f ( x, y) 是平面调和函数，即满足拉 4 普 Φ0 拉斯方程
f ( x, y )
f 0. f , xf , yf , ( x y ) f
2 2 2
试证明函数 都满足重调和方程，因 而都可以作为 应力函数使用。
第二章
习题课
解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），
第二章 由此得
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3 q h3 h 2 1 3 y y σ y ( y y )q( 1 3 2 3 ). (d ) I 24 8 6 2 2h h
h 微分方程及 y 的边界条件；但一般不 2
上述解答σ x 及式(c),(d)已经满足平衡
满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界
第二章
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M ( x) y 代入平衡微 （a）不计体力，将 σ x I 分方程第一式， σ x yx 0, x y
得:
yx d M y Fs y . y dx I I
两边对y积分，得
Fs y 2 yx f1 ( x), 2I
第二章
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O
x
b/2 b/2
gy
h
q y (h b, 1)
xy 0; xy q。
(b)
第二章
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在小边界y = 0，列出三个积分的边界条 件，当板厚 1 时，
3F 0 ( y ) y 0 d x 2 ,
b
3F 0 ( y ) y 0 x d x 4 b, b F 0 ( yx ) y 0 d x 2 。
第二章 习题课 （a）此组应力满足相容方程。为了满足 平衡微分方程，必须A=-F, D=-E 此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满 足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须满 足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可 能存在。
得
习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课
σ y dFs 1 h 2 y 2 q h 2 y 2 ( ) ( ). y dx I 8 2 I 8 2 对y积分，得 q h2 1 3 σ y ( y y ) f 2 ( x). I 8 6 由上下的边界条件， q h3 q (σ y ) yh/2 0, 得 f 2 ( x) ; I 24 2 q (σ y ) y h/2 q, 同样得 f 2 ( x) 。 2
习题课

h/ 2
h / 2 h/ 2 h / 2 h/ 2
(σ x ) xl d y 0,
得 B 0;
(σ x ) x0 yd y 0, 满足。
3q h/2(σ x ) x0，l yd y 0, 得 A 5h。 由此得 2 2 6ql x x 4q 3 3q x 3 ( 2 ) y 3 y y, (e) 5h h l l h
将应力分量（a）代入平衡微分方程和 相容方程，两者都能满足。
第二章
h y , 2
习题课
再校核边界条件，在主要边界上，
6q h 2 xy 0, 即 x( 3 C1 ) 0, 得 h 4 3q C1 ; 2h 2q h 3 h y q, 即 3 ( ) C1 C2 q, 得 h 8 2 q C2 . 2
第二章
习题课
（2）应力边界条件（书中式2－19），在 所有受面力的边界 S σ上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用三个积 分的边界条件来代替。 （3）位移边界条件（书中式2－14）。本 题在x = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使三个积分的应力边界条 件已经满足。
第二章
习题课
因此，只需校核下列三个刚体的 约束条件： u A点（ x = l及y = 0），(u,v, ) 0.
h y , 2
h y , 2
y 0, 将C1， C 2 代入后满足。
第二章
习题课
将C1，C2代入(a), 得到应力公式，
2qy 2 2 σ x 3 (3 x 2 y ), h 3 1 3y y σ y q( 2 3 ), 2 2h h 3qx y 2 xy (4 2 1)。 2h h
第二章
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例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 1）
受任意的横向 荷载q(x)作用 而弯曲时，弯 曲应力公式为 M ( x) σx y. I
q(x)
o
h/2 h/2 x
y
l (l h, 1)
第二章
习题课
（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出 切应力 xy和挤压应力 σ y 的公式。 （提示：注意关系式 条件来确定。）
(b)
第二章
习题课
再将式（b）表达式代入次要边界条件，
x 0, xy 0, y3 σ x 4q 3 , h 其主矢量为 而主矩为

h/ 2
-h/ 2 h/ 2
（σ x） x0 dy 0,
2
qh . x0 ydy -h/2（σ x） 20
第二章
3ql y 2 x l , xy (4 2 1), 2h h 其主矢量为
x 2 y q( ) , l y 0,
xy 0; xy q1.
第二章
习题课
在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积 分的近似边界条件，当板厚 1 时，

h/2
h / 2 h/2
( x ) x 0 d y F , ( x ) x 0 y d y M , ( xy ) x 0 d y Fs。
h / 2 h/2
h / 2
第二章
习题课
在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边 界条件都已满足的条件下，三个积分的边界 条件必然满足，可以不必校核。
第二章
F
习题课
300
(b) 在主要边界 x= 0, b，应精确满 足下列边界条件：
x 0 x l σ x gy, σ x 0,
第二章
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可检测，式（c）、（d）、（e）的 一组应力已满足无体力，且q为常数情况 下的平衡微分方程，相容方程，和应力边 界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量 ( xy ) x 0,l），因而是该问题之解。
习题课

h/ 2
-h/ 2
（ xy） x0 dy ql.
q 2 3 σ x 3 (6l y 4 y ), h 其主矢量为 0, 而主矩为

h/ 2
-h/ 2
ql 2 qh 2 （σ x） ). xl ydy ( 2 20
第二章
习题课
由此可见，在次要边界上的积分边 界条件均能满足。因此，式（b）是图 示问题之解。
2
第二章
习题课
此式 σ x 和式（c）、（d）的一组应力 分 量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方 2 24 q d f ( y) 2 程，得 (σ x σ y ) 3 y 0, 2
h dy
积分得
4q 3 f ( y ) 3 y Ay B. h
第二章
由次要边界条件
(a) σ x Ax By , (b) σ x A( x y ),
2 2
σ y Cx Dy ,
2 2
xy Ex Fy;
σ y B( x y ), xy Cxy;
第二章
习题课
解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当S Sσ ）。