二元函数可微的充分条件(最终版)

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二元函数可微的充分条件(最终版)

教材的充分条件是这样的，z f(x, y)的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为，

z f(x, y)偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续(关于求导变元)，则函数是可微的。

多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。

证明：1)设—连续，-5关于y单元连续。

x y

因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有

z f (x,y) f (X o, y o) f(x,y) f(x°,y) f(x°, y) f(x°,y°)

f x ( ,y) x f y(x o，) y ( 1)

在y, y o之间，在x,x o之间。

f x(，y)在(x o, y o)连续，有f x( , y) f x(x°,y°) 1 (2)

i在x X o,y y o时是无穷小量。

f y(x o,)在y y o关于y单元连续，有

f y(x o, ) f y(x o, y o) 2 (3)

2在y y o时是无穷小量。

将(2)( 3)代入(1)有

z f x (x o, y o) x f y(x°,y°) y 1 X 2 y

可以证明1 x 2 y=o(〔x2 y2)

o 11 x22 y1 111+121

.x y

| 11+| 2I是无穷小量，又两边夹准则，1 1 : 2=^ 是无穷小量，所以1 X? 2丰是无穷

V x2y2V x2y2

小量，即1 x 2 y=oC x2y2)

2)设-连续，—关于x单元连续。

y x

因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有

z f(x,y) f(X o ,y o ) f(x,y) f(x,y °) f y (x, ) y f x ( ,y o ) x

在y, y o 之间， 在x,x °之间。

f y (x,)在(x o , y o )连续，有 f y (x, )

f y (x o , y o )

i 在

x X o ,y y o 时是无穷小量。

f x ( , y o )在x x 关于x 单元连续，有

f x ( , y o ) f x (x o ,y °)

2

(5)

2在

x x o 时是无穷小量

将(4)( 5)代入(3)有

z f x (x o , y o ) x f y (x °,y °) y 2 x 1 y

可以证明 2 x 1 y=o(、.，x 2

y 2)

o

1

1| + | 2|

x y

| i |+| 2I 是无穷小量，又两边夹准则， 1

?

x 1 y|

是无穷小量，所以

2

：

1

y

是无穷

V x 2

y 2

V x 2

y 2

小量，即 2 x 1 y=oC, x

2

y 2)

f(x, y °) f (x o ,y o )

(3)

(4)

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