高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题18 三角函数的最值的求解策略

【高考地位】

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一 配方法

使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子

解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将

其变为多项式

函数；

第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.

例1 函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为 ． 【答案】

【解析】 试

题

分

析

：，

；故填

．

考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．

【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令t sin x =，将其转化为关于t 的二次函数求最值问题.

【变式演练1】已知函数52sin cos 2

2

++-+=a a x a x y 有最大值2，求实数a 的值．

【答案】43

a =-321+

【解析】

试题分析：2

2

sin sin 26y x a x a a =-+-++，令[]sin ,1,1x t t =∈-，

则22

26y t at a a =-+-++，对称轴为2

a t =

，

考点：三角函数的最值．

【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x 的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a 的值．

【变式演练2】求函数2

4

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值. 【答案】10与6. 【解析】

试题分析：将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含sin 2x 的式子，利用换元法，令sin 2x μ=，根据二次函数的性质求最值.

试题解析：2

474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()

2272sin 24cos 1cos x x x =-+-

2272sin 24cos sin x x x =-+272sin 2sin 2x x =-+()2

1sin 26x =-+

令sin 2,[1,1]x μμ=∈-，

由于函数()2

16z u =-+在[]11-，中的最大值为()2

max 11610z =--+=

最小值为()2

min 1166z =-+=

故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6. 考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.

方法二 化一法

使用情景：函数表达式形如2

2

()sin cos sin cos f x a x b x c x x d =+++类型

解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如

sin cos y a x b x c =++形式；

第二步 利用辅助角公式22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++化为只含有一个

函数名的形式；

第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.

例2 已知函数()3sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡

⎤∈⎢⎥⎣

⎦，上的最大值

与最小值之差为 ． 【答案】3 【解析】

考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．

【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，

()32sin 232cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫

=++=+=+ ⎪⎝⎭

，进而利用

02x π⎡

⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦

，即为换元思想，把26x π+

看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法．

【变式演练3】设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．

【答案】【解析】

试题分析：()()2sin cos f x x x x φ=-=-,其中cos φφ=

=

，故当函数

()f x 取得最大值时，2,,cos cos 2sin 22k k Z k π

πθφπθφπφ⎛⎫

-=

+∈∴=++=-= ⎪⎝⎭

考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域 【变式演练4】已知函数()4cos sin()1(0)6

f x x x π

ωωω=-+>的最小正周期是π．

(1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在[

8

π

，

38

π

]上的最大值和最小值．

【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤

-

++∈⎢⎥⎣⎦

； (2) 最大值2