【教学设计】认识勾股定理
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几何学的产生，源于人 们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年 要泛滥一次； 洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土， 但也抹掉了田地之间的 界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的 面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘， 面积很早就成为人们认识几何 图形性质与争鸣几何定理的工具。 本节课采用拼图的方法， 使学生利用面积相等 对勾股定理进行证明。 其中的依据是图形经过割补拼接后， 只要没有重叠， 没有 空隙，面积不会改变。 四、例题的意图分析
化简可证。 七、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ ABC的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系：；
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⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边：；
⑷三边之间的关系：。 3．△ ABC的三边 a、b、c，若满足 b2= a 2＋c2，则 =90°； 若满足 b2＞c2＋ a2， 则∠ B 是角； 若满足 b2＜c2＋a2，则∠ B 是角。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”， 为此向宇宙发出 了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建 议，发射一种反映勾股定理的图形，如果 宇宙人是“文明人”，那么他们一定 会识别这种语言的。 这个事实可以说明勾股定理的重大意义。 尤其是在两千年前， 是非常了不起的成就。
的代数式表示出来。 3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41
32+Leabharlann Baidu2=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412
…… 19，b、c
…… 192+b2=c2
3．在△ ABC中，∠ BAC=120°，AB=AC= cm，一动点 P 从 B 向 C以每秒 2cm
⑶发挥学生 的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代 无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例 2 已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C 的对边为 a、b、c。 求证： a2＋ b2=c2。 分析：左右两边的正方形边 长相等，则两个正方形的面 积相等。 左边 S=4× ab＋c2 右边 S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 4× ab＋c2=（a+b）2
例 1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图， 发散学生的思维， 锻炼学生的动手实践能力； 这个古老的精彩的证法， 出自我国 古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会 改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 五、课堂引入
再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC，用刻度尺量 AB的长。 你是否发现 32+42 与 52 的关系， 52+122 和 132 的关系， 即 32+42=52，52+122=132， 那么就有 勾 2+股 2=弦 2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 六、例、习题分析 例 1（补充）已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、 ∠ B、∠ C的对边为 a、b、c。 求证： a2＋ b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的 吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为： 4S△+S小正=S 大正 4× ab＋（ b－ a）2=c2，化简可证。
认识勾股定理
一、教学目标 知识与技能 ：了解勾股定理的发现过程， 掌握勾股定理的内容， 会用面积法证明 勾股定理。 过程与方法 ：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度与价值观 ：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就， 激发学生 的爱国热情，促其勤 奋学习。 二、教学重、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、难点的突破方法 ：
的速度移动，问当 P 点移动多少秒时， PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ ABC中， AB=AC， D 在 CB的延长线上。
2
2
求证：⑴ AD－AB=BD· CD
⑵若 D 在 CB上，结论如何，试证明你的
结论。
参考答案
课堂练习
1．略；
2．⑴∠ A+∠B=90°；⑵ CD= AB；⑶ AC= AB；⑷ AC2+BC2=AB2。
3．∠ B，钝角，锐角；
3/4
4．提示：因为 S 梯形 = ABCD S + △ABE S + △BCE S △EDA，又因为 S = 梯形 ACDG （ a+b）2，
S△ = BCE S △ = EDA ab ，S△ABE= c2, （a+b） 2=2× ab ＋ c2。
课后练习
1．⑴ c=
；⑵ a=
让学生画一个直角边为 3cm和 4cm的直角△ ABC，用刻度尺量出 AB的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的， 他说：“把 一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这
1/4
句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长 是 3，长的直角边（ 股）的 长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
八、课后练习
1．已知在 Rt△ABC中，∠ B=90°， a、 b、 c 是△ ABC的三
边，则
⑴c=。（已知 a、b，求 c）
⑵a=。（已知 b、c，求 a）
⑶b=。（已知 a、c，求 b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 a＜ b
＜ c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时， b，c 的值，并把 b、c 用含 a
；⑶ b=
2．
；则 b=
， c=
；当 a=19 时， b=180， c=181。
3．5 秒或 10 秒。 4．提示：过 A 作 AE⊥ BC于 E。
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化简可证。 七、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ ABC的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系：；
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⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边：；
⑷三边之间的关系：。 3．△ ABC的三边 a、b、c，若满足 b2= a 2＋c2，则 =90°； 若满足 b2＞c2＋ a2， 则∠ B 是角； 若满足 b2＜c2＋a2，则∠ B 是角。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”， 为此向宇宙发出 了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建 议，发射一种反映勾股定理的图形，如果 宇宙人是“文明人”，那么他们一定 会识别这种语言的。 这个事实可以说明勾股定理的重大意义。 尤其是在两千年前， 是非常了不起的成就。
的代数式表示出来。 3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41
32+Leabharlann Baidu2=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412
…… 19，b、c
…… 192+b2=c2
3．在△ ABC中，∠ BAC=120°，AB=AC= cm，一动点 P 从 B 向 C以每秒 2cm
⑶发挥学生 的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代 无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例 2 已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C 的对边为 a、b、c。 求证： a2＋ b2=c2。 分析：左右两边的正方形边 长相等，则两个正方形的面 积相等。 左边 S=4× ab＋c2 右边 S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 4× ab＋c2=（a+b）2
例 1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图， 发散学生的思维， 锻炼学生的动手实践能力； 这个古老的精彩的证法， 出自我国 古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会 改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 五、课堂引入
再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC，用刻度尺量 AB的长。 你是否发现 32+42 与 52 的关系， 52+122 和 132 的关系， 即 32+42=52，52+122=132， 那么就有 勾 2+股 2=弦 2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 六、例、习题分析 例 1（补充）已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、 ∠ B、∠ C的对边为 a、b、c。 求证： a2＋ b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的 吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为： 4S△+S小正=S 大正 4× ab＋（ b－ a）2=c2，化简可证。
认识勾股定理
一、教学目标 知识与技能 ：了解勾股定理的发现过程， 掌握勾股定理的内容， 会用面积法证明 勾股定理。 过程与方法 ：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度与价值观 ：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就， 激发学生 的爱国热情，促其勤 奋学习。 二、教学重、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、难点的突破方法 ：
的速度移动，问当 P 点移动多少秒时， PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ ABC中， AB=AC， D 在 CB的延长线上。
2
2
求证：⑴ AD－AB=BD· CD
⑵若 D 在 CB上，结论如何，试证明你的
结论。
参考答案
课堂练习
1．略；
2．⑴∠ A+∠B=90°；⑵ CD= AB；⑶ AC= AB；⑷ AC2+BC2=AB2。
3．∠ B，钝角，锐角；
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4．提示：因为 S 梯形 = ABCD S + △ABE S + △BCE S △EDA，又因为 S = 梯形 ACDG （ a+b）2，
S△ = BCE S △ = EDA ab ，S△ABE= c2, （a+b） 2=2× ab ＋ c2。
课后练习
1．⑴ c=
；⑵ a=
让学生画一个直角边为 3cm和 4cm的直角△ ABC，用刻度尺量出 AB的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的， 他说：“把 一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这
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句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长 是 3，长的直角边（ 股）的 长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
八、课后练习
1．已知在 Rt△ABC中，∠ B=90°， a、 b、 c 是△ ABC的三
边，则
⑴c=。（已知 a、b，求 c）
⑵a=。（已知 b、c，求 a）
⑶b=。（已知 a、c，求 b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 a＜ b
＜ c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时， b，c 的值，并把 b、c 用含 a
；⑶ b=
2．
；则 b=
， c=
；当 a=19 时， b=180， c=181。
3．5 秒或 10 秒。 4．提示：过 A 作 AE⊥ BC于 E。
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