带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用毕业论文
泰勒公式论文
题目：泰勒公式以及应用学院：地球物理与信息工程学院专业班级：物探14-2班学号：2014011192指导老师：杨立敏撰写日期：二零一四年十二月十七日目录内容摘要 (3)关键词 (3)1、前言 (3)2、泰勒公式 (3)2.1泰勒公式定义 (4)2.2泰勒公式各种余项 (4)3、泰勒公式应用 (4)3.1求等价无穷小 (4)3.2证明不等式 (5)3.3求极限 (5)4、麦克劳林展开式的应用 (6)4.1展开三角函数 (6)4.2计算近似值 (7)4.3欧拉公式 (7)5、结论 (8)6、参考文献 (9)内容摘要： 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
关键词：泰勒公式、求极限、求近似解、余项、麦克劳林展开式、求不等式.1、引言： 希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中最著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。
后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。
阿基米德应用穷举法使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。
[2]14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。
17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。
直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。
含有佩亚诺余项的泰勒公式
含有佩亚诺余项的泰勒公式1. 泰勒公式的基本概念泰勒公式，听起来是不是有点高深？其实，它就像是数学界的一块“万能钥匙”，可以用来把复杂的函数简单化。
想象一下，当你要开一个看似坚不可摧的大门时，这把钥匙能够让你轻松推开，哇，真是太神奇了！简单来说，泰勒公式的核心思想是用多项式来逼近一个复杂的函数，真是神奇得让人想打个呼！而佩亚诺余项，就像是给这个过程加了点调味料，让我们的逼近更精确、更美味。
就像你做菜时，调料可以提升整体的风味，佩亚诺余项也是一样，让数学变得更加生动。
1.1 泰勒公式的公式表达接下来，我们得聊聊泰勒公式的具体样子。
公式其实并不复杂，它的基本形式是：。
f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a){2!(xa)^2 + ldots + frac{f^{(n)(a){n!(xa)^n + R_n(x) 。
你看看，这个公式是不是像一场数学的盛宴？每一个项都是一道精美的菜肴，而最后的 ( R_n(x) ) 就是佩亚诺余项，给这个宴会画上一个完美的句号。
说白了，这个余项就负责告诉我们，喂，你离真相还差多远呢！它就像一个忠实的朋友，时刻提醒你注意别走偏。
1.2 佩亚诺余项的意义那么，佩亚诺余项到底是什么呢？它可以理解为一种误差的表示方式，让我们知道自己逼近的有多好。
你想啊，假如你开车去旅行，途中设定了几个路标，你总得知道这些路标和终点的差距吧？佩亚诺余项就承担了这个重要角色，能帮我们衡量每一步的距离，确保我们不会迷路。
2. 佩亚诺余项的具体形式再深入一点，佩亚诺余项可以用一种更为形象的形式来表示。
它通常写作：。
R_n(x) = frac{f^{(n+1)(c){(n+1)!(xa)^{n+1 。
在这里，( c ) 是一个在 ( a ) 和 ( x ) 之间的某个点，这个 ( c ) 就像是一只调皮的小猴子，随时在你的函数周围跳跃。
通过这个余项，我们可以准确地捕捉到误差的大小，确保我们在计算过程中没有漏掉任何细节。
lnx带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式
《lnx带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式》在数学领域中，泰勒公式是一种用于近似计算函数值的方法。
而lnx 代表自然对数函数，佩亚诺余项则是指泰勒公式近似值和实际值之间的误差。
现在我们将结合这些概念，探讨lnx带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。
1.什么是自然对数函数我们需要了解什么是自然对数函数lnx。
自然对数函数是以自然常数e 为底数的对数函数，e是一个重要的数学常数，约等于2.71828。
而对数函数的性质和图像则与指数函数有着密切的联系。
通过自然对数函数，我们能够更方便地处理复杂的指数运算，同时也在微积分和数学分析等领域中具有重要的应用。
2.n阶泰勒公式的应用泰勒公式是用多项式来逼近一个函数的方法，它可以将一个函数在某一点的附近展开成幂级数的形式。
而n阶泰勒公式则是对于任意可导n次的函数，都可以在某一点附近用n次多项式进行近似。
这种近似不仅可以简化复杂的函数计算，还能够在数值计算中发挥重要作用。
3.佩亚诺余项的意义在使用泰勒公式进行函数近似时，我们需要考虑余项的影响。
佩亚诺余项是指泰勒公式近似值与实际值之间的差，它可以帮助我们评估泰勒公式的逼近误差。
佩亚诺余项的性质和大小也直接反映了泰勒公式在给定点附近逼近函数的效果，因此在实际计算中必不可少。
4.对lnx的n阶泰勒公式现在，让我们将目光聚焦在lnx的n阶泰勒公式上。
通过对lnx进行求导，我们可以得到不同阶数的导数表达式，进而求出n阶泰勒公式的具体形式。
结合佩亚诺余项的计算方法，我们可以更深入地了解lnx 在不同阶数下的近似情况和误差范围。
5.个人观点和总结对于lnx带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，我认为在数学计算和理论研究中具有重要的应用价值。
通过泰勒公式的逼近，我们能够更方便地处理复杂的对数函数计算，并且在数值计算中能够快速进行近似计算。
而佩亚诺余项的考量也使得泰勒公式的逼近更加准确可靠，为实际问题的求解提供了有力支持。
lnx带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式在数学领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，对于我来说，通过对这一内容的深入学习和探讨，不仅能够加深对数学知识的理解，还能够提高数学建模和计算能力。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以<所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>=-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
浅谈泰勒公式的佩亚诺余项形式的证明
浅谈泰勒公式的佩亚诺余项形式的证明泰勒公式是数学分析中一个重要的定理，它揭示了一个函数在特定点附近可以用其在该点的高阶导数值来近似表示的事实。
泰勒公式的佩亚诺余项形式则给出了该近似的误差估计。
在本文中，我们将对泰勒公式的佩亚诺余项形式进行证明。
首先，我们回顾一下泰勒公式的基本形式。
设函数f(x)在开区间(a,b)上具有n+1阶连续导数，且在闭区间[a,x]上的n+1个点x_0,x_1,...,x_n(x_0=x)上具有n阶导数。
那么，存在一个介于x_0和x 之间的数c，使得函数在点x处的值f(x)可以用其在x_0处的函数值及其高阶导数值来近似表示，即有泰勒公式：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2/2!+...+f^(n)(x_0)(x-x_0)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)是一个余项，可以用来估计近似的误差，这就是泰勒公式的佩亚诺余项形式。
我们将对泰勒公式的佩亚诺余项形式进行证明，具体步骤如下：Step 1：定义多项式函数P(x)我们定义一个多项式函数P(x)，使得P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2/2!+...+f^(n)(x_0)(x-x_0)^n/n!.注意到多项式函数P(x)的前n+1个导数与函数f(x)在点x_0处的n+1个导数完全相等。
Step 2：定义剩余项函数g(x)我们定义一个函数g(x)，使得g(x)=f(x)-P(x)-R_n(x)。
Step 3：证明g(x)在点x_0处的前n+1个导数都为0由于P(x)是一个多项式函数，它的各阶导数都存在且为常数。
而根据泰勒公式的定义，在点x_0处，R_n(x)同时包含了函数f(x)的n+1阶导数以及函数P(x)的n+1阶导数。
因此，g(x)在点x_0处的前n+1个导数的和为0。
带Peano型余项的Taylor公式及其应用技巧定稿
本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目带Peano型余项的Taylor公式及其应用技巧学生姓名周玲娅指导教师罗世尧（副教授）（姓名及职称）班级2009级本科1班学号1129S001完成日期：2013 年4 月带Peano 型余项的Taylor 公式及其应用技巧周玲娅数信学院 数学与应用数学 1129S001【摘 要】 带Peano 型余项的Taylor 公式，是Taylor 公式各种形式中所需要的条件较少，同时形式比较简单的一种类型。
尽管该种类型的余项只是给出了定性描述，不能进行定量的计算，但它在处理某些定性问题时极为简便。
因此，本文将对于数学分析教材当中的相关内容加以整理，介绍带Peano 型余项的泰勒公式及其证明，并举例说明其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面的应用。
【关键词】 Peano 型余项 Taylor 定理 证明 应用技巧0 引言Taylor 公式是高等数学中一个非常重要的内容，它能够将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具。
我们常见的Taylor 公式有两种形式的余项：带Lagrange 型余项和带Peano 型余项。
在我们的教材中一般都会着重讲解带Lagrange 型余项的Taylor 公式，而对带Peano 型余项的Taylor 公式的介绍只是一带而过，导致不少初学者认为其作用根本不大，因此对其不以为然。
实际上，虽然带Peano 型的余项只给出了定性描述，没有给出定量计算，但其所要求的条件非常宽松，形式也十分简单，并且其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面起着重要作用。
所以，本文的目的就是希望通过一些范例来归纳Taylor 公式在解题中的应用，以便更好地运用带Peano 型余项的Taylor 公式解题。
带有皮亚诺余项的泰勒公式
带有皮亚诺余项的泰勒公式1. 泰勒公式的前世今生说到泰勒公式，哎呀，那可是数学界的明星之一。
想象一下，如果数学是一场华丽的演出，泰勒公式就像是那位闪闪发光的主角。
简单来说，泰勒公式就是用多项式来近似复杂函数的一种方法，听起来是不是很高大上？其实，它就像你把一大堆材料捣鼓成一个大餐，简单又美味。
1.1 什么是泰勒公式？泰勒公式就像是把复杂的东西拆解成几个小块，好让你更容易理解。
它的基本思想就是，如果你有一个在某个点上很“乖”的函数，咱们可以用这个点的值和它的导数值来近似整个函数。
举个例子，想象你要做一个蛋糕，泰勒公式就是告诉你，首先你得把面粉、糖和鸡蛋准备好，然后一步一步来，最后才能烤出一个美味的蛋糕。
公式写起来就像这样：。
f(x) = f(a) + f'(a)(x a) + frac{f''(a){2!(x a)^2 + ldots 。
别担心，看到公式可能觉得晕，但其实就跟做菜的步骤差不多。
1.2 皮亚诺余项是啥？接下来，咱们说说皮亚诺余项。
这个名字听上去有点拗口，但其实它的作用可大了。
想象一下，你做的那个蛋糕，吃起来可能没那么完美，皮亚诺余项就是用来衡量你那个蛋糕和真正理想蛋糕之间的差距。
简单来说，皮亚诺余项就能告诉你，用泰勒公式近似后的结果和真实函数之间的“误差”有多大。
2. 泰勒公式的应用说到应用，那就真是无处不在。
你有没有想过，咱们每天用到的很多科学和工程计算，背后其实都是在用这个公式？想象一下，如果没有泰勒公式，计算机可能会变得像古代的算盘一样落后。
2.1 生活中的泰勒公式比方说，你在开车，车速不稳定，你想知道某个瞬间的速度，泰勒公式就能帮你把复杂的运动状态简化。
我们可以用它来近似计算那些复杂的物理现象，让你在驾驶的时候，能更快、更准确地做出反应，真是太方便了。
2.2 科学研究的得力助手在科学研究中，泰勒公式可谓是无所不能。
无论是量子力学还是流体力学，泰勒公式的身影随处可见。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用论文)泰勒公式及其应用摘 要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1.求极限sin 2limsin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x ,x e 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+- 3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x→+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=<-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用
带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用泰勒公式是由苏格兰数学家詹姆斯·格里高利·泰勒在18世纪提出的。
它基于函数的多项式近似理论，可以将函数在某一点附近展开成无限多项式的形式。
具体而言，泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开的中心点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等是函数在点a处的导数，R_n(x)是带皮亚诺型余项，用于估计展开式与原函数之间的误差。
带皮亚诺型余项的泰勒公式在数学分析和物理学中具有广泛的应用。
首先，它可以用于近似计算复杂函数的值。
通过取展开式的前几项，可以用简单的多项式来近似计算原函数的值，从而简化计算过程。
这在数值计算和数学建模中非常有用，特别是当原函数难以直接计算时。
带皮亚诺型余项的泰勒公式可以用于研究函数的性质和行为。
通过展开式的各项系数可以得到函数在展开点附近的导数值，从而了解函数的变化趋势和曲线形状。
这对于研究函数的极值、拐点和曲线的凹凸性等性质非常有帮助。
带皮亚诺型余项的泰勒公式还可以用于证明和推导数学和物理中的一些重要定理。
例如，利用泰勒展开可以推导出欧拉公式，即e^(iπ) + 1 = 0，这是数学中的一项重要结果。
在物理学中，泰勒展开可以用于推导物体在弹性力场中的运动方程，从而研究弹性体的振动和波动性质。
带皮亚诺型余项的泰勒公式在工程和应用领域中也有重要的应用。
例如，在信号处理中，可以利用泰勒展开来近似复杂信号的频谱分布，从而进行信号分析和处理。
在控制理论中，泰勒展开可以用于线性系统的建模和控制设计，从而实现对系统行为的预测和控制。
带皮亚诺型余项的泰勒公式是数学和物理领域中一种重要的工具和方法。
《泰勒公式的应用综述2800字》
泰勒公式的应用综述首先, 给出常见的泰勒公式.设函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数,x0∈(a,b),则对任意x∈(a,b), 有:f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+R n(x).其中Rn(x)为余项, 常见的余项有:(1)佩亚诺型余项: R n(x)=o((x−x0)n);(2)拉格朗日型余项: R n(x)=f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1;(3)柯西型余项: R n(x)=f(n+1)(ϑ)n!(x−x0)(x−ϑ)n, 其中ϑ在x与x0之间.根据实际的学习情况, 我们知道遇到的大多数有关泰勒公式的问题是, 泰勒公式在x0=0时的特殊形式( 见文献[15]), 即:f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+∙∙∙+f(n)(0)n!x n+o(x n) (1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1(2)(1)式及(2) 式就是分别带佩亚诺型及拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 类似的常见函数的余项不同的麦克劳林公式有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m);cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+o(x2m+1);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nno(x n);(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+o(x n);111−x=1+x+x2+∙∙∙+x n+o(x n).e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1;cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nn+(−1)n x n+1(n+1)(1+θx)n+1,0<θ<1,x>1;(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+α(α−1)∙∙∙(α−n)(n+1)!(1+θx)α−n−1x n+1,0<θ<1,x>1;1 1−x =1+x+x2+∙∙∙+x n+x n+1(1−θx)n+2,0<θ<1,|x|<1.1.1泰勒公式在数学分析中的应用1.1.1泰勒公式在求极限上的应用求极限limx→0cos x−e−x22x4讨论:观察发现针对于此题, 我们当然可以采用之前学习过的方法进行解答，但是我们发现由于题中出现指数幂的形式, 求解过程较繁琐, 在上面泰勒公式的证明中, 我们知道带有佩亚诺型余项的泰勒公式可以在极限求解中使用, 因此我们不妨一试(见文献[14]).根据前面我们可以写出余弦函数和底数为e的幂指数麦克劳林公式, 并做差有:cos x=1−x22+x224+o(x5);e−x 22=1−x22+x48+o(x5);cos x−e−x 22=−x412+o(x5);故而求得:lim x→0cos x−e−x22x4=limx→0−x412+o(x5)x4=−112.1.1.2泰勒公式在近似计算上的应用2例1: 计算e的值, 使其误差不超过10−6;解一开始我们不妨写出函数f(x)=e x的麦克劳林公式形式, 这个可以由泰勒公式写出, 即: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n), 紧接着对于把麦克劳林公式, 我们可以直接换写为, 带有拉格朗日型余项的形式. 故由f(n+1)=e x, 得到e x=1+x+x2 2!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 故R n(1)=eθ(n+1)!<3(n+1)!, 又n取值为9时, 可得R9(1)<310!=33628800<e−6. 则e的近似值为:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+19!≈2.718285.例2:证明e 为无理数.证明常见函数f(x)=e x它的麦克劳林公式, 就是: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n).写成拉格朗日型余项的时候就有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 当x=1时有:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+1n!+eθ(n+1)!(0<θ<1).即由上式得: n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=e θ(n+1). 倘若e=pq(p,q为正整数), 则当n>q时, n!e为正整数, 从而式子n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=eθ(n+1)左边是正整数. 且我们可知:一方面e θ(n+1)<e(n+1)<1(n+1), 另一方面n大于等于2时右边不是整数, 故而e是无理数.1.2泰勒公式在数值分析中的应用(见文献[4])1.2.1泰勒公式在数值微分上的应用设步长ℎ>0, 把函数f(x+ℎ), 以及函数f(x+ℎ)在x点泰勒展开, 即:f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ ∙∙∙+ℎkk!f(k)(x)+ℎk+1(k+1)!f(k+1)(ϑ1)3(1)f(x−ℎ)=f(x)−ℎf′(x)+ ∙∙∙+(−ℎ)kk!f(k)(x)+(−ℎ)k+1(k+1)!f(k+1)(ϑ2)(2)其中x−ℎ<ϑ2<x<ϑ1<x+ℎ.当k=1时, 由(1) 式可得:f′(x)=f(x+ℎ)−f(x)ℎ−ℎ2f′′(ϑ1),所以,一阶导数的向前差分公式近似为: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x)ℎ, 同时−ℎ2f′′(ϑ1)是产生的误差. 即k取值为2时,(1) 式和(2) 式作差可得f′(x)=f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ−ℎ26f′′′(ϑ3).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ是一阶中心差分公式, 其中−ℎ26f′′′(ϑ3)是误差. 又k取值为3时,(1) 式和(2) 作和可得:f′′(x)=f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ−ℎ212f′′′′(ϑ4).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′′(x)≈f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ是二阶中心差分公式, 其中−ℎ212f′′′′(ϑ4)是误差.除了上述之外, 我们进行近似求导时, 不妨使用积分来实现, 即有:Dℎf(x)=32ℎ3∫f(x−t)dt ℎ−ℎ.对函数f(x+t),t∈[−ℎ,ℎ]. 在x点进行泰勒展开可得:f(x+t)=f(x)+tf′(x)+t22f′′(x)+t36f′′′(ϑ5),并由上式可知: x−ℎ<ϑ5<x+ℎ, 且把(4) 式代入(3) 式有:Dℎf(x)=f′(x)+ℎ210f′′′((ϑ5),即:f′(x)≈32ℎ3∫tf(x+t)dt ℎ−ℎ,且其误差为−ℎ210f′′′((ϑ5).1.2.2泰勒公式在常微分方程数值解上的应用(见文献(4))4考虑一阶常微分方程初值问题:{p′=f(x,p),x∈[a,b],p(a)=p0,的数值解.解首先我们要知道, 数值解就是将一般函数p(x), 在离散的节点上的近似值p n≈p(x n)求解出来.其次考虑在[s,t]上, 建立等距的且离散的节点: s=x0< x1< ∙∙∙ <x N=t, 步长为r,即x n=x0+nr,n=0,1,∙∙∙,N.将p(x)在x n点泰勒展开, 可得(8) 式:p(x n+1)=p(x n)+ℎp′(x n)+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)=p(x n)+ℎf(x n,p(x n))+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)即得求解上述问题的欧拉法:p n+1=p n+ℎf(x n,p n),n=0,1,∙∙∙,N−1.假设p n是正确的, 即p n=p(x n), 则(8) 式减(9) 式, 可得局部截断误差(10) 式:p(x n+1)−p n+1=ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)对泰勒公式截断误差, 我们还可以在局部进行分析. 下面, 以辛普森(Simpson) 方法:p n+1=p nℎ3[f(x n,p n)+4f(x n+1,p n+1)+f(x n+2,p n+2)](11)为例, 且当它的近似值是准确值时展开分析, 即:p n+2=p(x n)+ℎ3[p′(x n)+4p′(x n+1)+p′(x n+2)](12)分别将p(x)和p′(x)在x n点泰勒展开, 可得:p(x)=p(x n)+(x−x n)p′(x)+∙∙∙+(x−x n)kk!p(k)(x)+o[(x−x n)k+1]5(13)p′(x)=p′(x n)+(x−x n)p′′(x)+∙∙∙+(x−x n)k−1p(k)(x)+o[(x−x n)k](k−1)!(14)又k取值为5时, 在(13) 式中取x=x n+2, 在(14) 式中分别取x=x n+1和x=x n+2, 代入(12) 式得, 辛普森(Simpson) 公式的局部截断误差:p(x n+2)−p n+2=ℎ5p(5)(x n)+o(ℎ6).906参考文献[1]徐会林, 刘智广, 肖中永. 从多项式逼近函数引出泰勒公式[J]. 高师理科学刊, 2018, 38(02): 57-60.[2]张笛. 罗尔中值定理及其应用[J]. 数学学习与研究, 2014(01): 122-123.[3]李晟威. 泰勒公式的证明及应用[J]. 课程教育研究, 2018(42): 129-130.[4]徐会林. 泰勒公式在数值分析中的应用[J]. 韶关学院学报, 2019, 40(12): 5-8.[5]阙凤珍, 温少挺. 柯西中值定理的应用[J]. 数学学习与研究, 2016(21): 19+21.[6]王建云, 全宏波, 赵育林. 浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J]. 数学学习与研究, 2021(07): 150-151.[7]陈天戈. 泰勒的著作与成就[J]. 语数外学习(高中版下旬), 2021(04): 63-64.[8]胡有婧. 向量函数的泰勒公式的不同形式及其证明[J]. 数学学习与研究,2021(29): 140-141.[9]韩树新, 何军, 王钥, 王炜卿. 浅谈拉格朗日对数学的贡献[J]. 教育教学论坛,2020(32): 322-323.[10]何锐, 春光. 数学“ 诗人” ——柯西[J]. 课堂内外(小学智慧数学), 2021(12):24-27.[11]Ian Tweddle. The prickly genius – Colin MacLaurin (1698–1746)[J]. TheMathematical Gazette,1998,82(495).[12]迟炳荣, 王秀红. 用数学归纳法证明泰勒公式[J]. 中学数学杂志, 2008(09):13-14.[13]姚海燕. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J]. 教育教学论坛, 2014(20):120.[14]胡汉章. 泰勒公式在数学分析解题中的应用探讨[J]. 教育教学论坛, 2020(52):281-282.7[15]何小芳. 浅谈泰勒(Taylor) 公式的应用[J]. 企业家天地(理论版), 2011(07):192-194.8。
泰勒公式的应用论文
目录引言 (2)1．泰勒公式 (3)1.1 泰勒多项式 (3)1.2 两种类型的泰勒公式 (4)2．泰勒公式的应用 (6)2.1 利用泰勒公式求极限 (6)2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11)2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15)结束语 (17)参考文献 (17)致谢 (18)泰勒公式及其应用理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。
本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。
关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用引言不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。
多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。
因此，我们常用多项式来近似表示函数。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。
它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。
这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。
(整理)毕业论文泰勒展开式及其应用伟
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式：2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
论文---泰勒公式的应用
泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是我们大学数学分析中一个很重要的公式，也是必资必学的一个公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这使得我们在解题的时候更加方便快捷，它不仅在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足很高的精确要求。
如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在 1712 年的一封信里首次叙述了这个公式。
泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
除此之外，泰勒公式在应用于求极限， 判断级数的敛散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用， 拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作用。
关键词：泰勒公式；近似计算；函数；敛散性；极限一、 引言1715 年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒 f （x ）=f （x ）+f ′(x )(x − x ) + f ′′(x 0) (x − x )2 + ⋯ + f (n )(x 0)(x − x )n 当 x = 0 时2!n !O便称作麦克劳林公式。
1772 年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在 证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。
在初等函数中，多项式是最简单的函数。
因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差 又能满足要求，显然， 这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢? 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函 . 数值估测及近似计算，用多项式逼近函数， 求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是非常有用的工具。
泰勒公式数学毕业论文
泰勒公式及其应用[摘 要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２预备知识]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+- （1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.]2[若函数f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+, （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . ]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos limx x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x ex x -→→-+-==-. 3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-. 3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11lnln(1)n n n +=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,相呼应,会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<, 所以<所以nu=>故该级数是正向级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设f(x)在[,)a+∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a><,对''(,),0x a f∈+∞≤,证明：()0f x=在(,)a+∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x=的根有困难,由题设f(x)在[,)a+∞上二阶可导且'()0,()0f a f a><,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明因为''()0f x≤,所以'()f x单调减少,又'()0f a<,因此x>a时,''()()0f x f a<<,故f(x)在(,)a+∞''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有lim x →∞=-∞,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值]4[(极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.由于0)(0'=x f ,因此200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.求211x x ++的幂级数展开式.解 利用泰勒公式231111x x x x -==++-369346791034679100(1)(1)1()222222222(1)[sin ]3n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x π∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++,其误差是余项()n R x .解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可. 因此5ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823||0.0001R ≈-+-+=<其误差当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求21x edx -⎰的近似值,精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替 x 得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+逐项积分,得242111112000001(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600n x nn x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知2711||0.0000157560011111110.7468363104221613299360x R edx -≤<≈-+-+-+≈⎰所以3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数x e x x f 2)(=在x=1处的高阶导数)2()100()1(f .解 设x=u+1,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在u=0的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而g(u)中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从g(u)的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++,因此 10101)0(),!1001!992!981(!100)0(100100⋅=++=e g e g , e g f 10101)0()1(100100==.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.求n 阶行列式D=xz z z y x z zyy x zy y y x（1） 解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''--+-+-+= , （2）易知1)(000000000000--=-----=k k y z z y z y y z y y z y y z y y z D 阶（3）由（3）得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==---因为于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ,…………z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--12)1()()(⋅-= n n z f n n把以上各导数代入（2）式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.4 总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社,1986.[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985.[3]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社,1989.[4]同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民教育出版社,1999.[5]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义【M】.北京：人民教育出版社,2000.[6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.[7]张立民Visual Foxpro5.x中文版应用技术手册【M】大连：大连理工大学出版社,1997[8]中文版Visual Foxpro3.0编程指南【M】西安：西安交通大学出版社,1997[9]Visual Basic程序设计【M】中央广播电视大学出版社,2001Some Equivalent Definitionsand Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics,ShaanxiUniversity of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li Jinlong[Abstract]This paper briefly introduces the T aylor formula and the expansion of several common functions, for the T aylor formula discussed nine issues that limit application of T aylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.[Key words]T aylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme;expansion; approximate calculation; determinant.。
泰勒公式及其在解题中的应用毕业设计论文
毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：罗书云学号：08102209指导教师：蔡奇嵘二零一二年六月摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。
它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。
泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。
文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。
关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用ABSTRACTTaylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application东华理工大学毕业设计（论文）目录目录1. 绪论 (1)1.1综述 (1)1.2泰勒公式的研究背景 (2)1.3泰勒公式的研究意义 (2)1.4泰勒公式的研究目的 (2)1.5本论文所做的工作 (3)1.6本论文的基本思路与采用的方法 (3)2. 泰勒公式 (4)2.1泰勒公式的建立 (4)2.2泰勒公式的定义 (6)2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 (6)2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 (7)3. 泰勒公式的新证明及其推广 (8)3.1罗尔中值定理的两种推广形式 (8)3.2泰勒公式的新证明 (10)3.3泰勒公式的推广 (11)4. 泰勒公式在解题中的应用 (15)4.1利用泰勒公式求近似值 (15)4.2利用泰勒公式求极限 (16)4.3泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 (17)4.3.1 判断级数的敛散性 (17)4.3.2 判断广义积分的敛散性 (18)4.4泰勒公式在判别函数的极值中的应用 (19)4.5泰勒公式在不等式证明中的应用 (20)4.6泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 (22)4.6.1 判断函数凹凸性 (23)4.6.2 判别函数拐点 (24)4.7泰勒公式在行列式计算方面的应用 (25)结论及展望 (27)致谢 (28)参考文献 (29)东华理工大学毕业设计（论文） 绪论11. 绪 论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。
带佩亚诺余项的泰勒公式
带佩亚诺余项的泰勒公式泰勒公式，那可是数学里的宝贝疙瘩！想象一下，你手里有个宝盒，里面装满了黄金和宝石。
而这个宝盒里装着的，就是那个能帮你解决各种问题的“泰勒公式”。
就像找到了宝藏一样，它能让你在解决问题的时候，像变魔术一样轻松自如。
说起泰勒公式，这可是个老祖宗级别的存在。
它就像是一把钥匙，能打开那些复杂问题的大门。
比如，当你遇到一个头疼的问题，想要知道某个数列的前n项和是多少，这时候，泰勒公式就能派上用场了。
它不仅能告诉你答案，还能告诉你怎么算出来，是不是感觉超级棒？不过，说到泰勒公式，大家可能会有点犯难。
因为它看起来就像是个高深莫测的数学怪兽，让人望而生畏。
但是，别担心，我来给你简单介绍一下。
泰勒公式是一种无限级数，它可以将复杂的函数展开成简单的多项式，这样一看，是不是觉得简单多了？而且，它还有好几个版本呢，比如麦克劳林级数、泰勒级数等等，各有各的特点。
举个例子，如果你想要计算一个函数在某个点的值，但这个函数又没有显式的表达式，那么你可以用泰勒公式来估算一下。
比如说，你想要知道函数f(x)=1/(1+x)在x=0处的近似值，你就可以使用泰勒公式来求解。
通过泰勒公式，我们可以得到：f(x)=1/(1+x)≈1-x/1+x^2+x^3+……+x^n其中n是你想要计算的项数。
你看，是不是超级简单？而且，随着项数的增加，这个近似值就越接近真实的值。
泰勒公式就像是数学里的超级英雄，它能帮你解决那些看似无法解决的问题。
虽然看起来有点复杂，但只要掌握了它的使用方法，你就会发现原来数学也可以这么有趣。
所以，下次再遇到难题的时候，不妨试试泰勒公式吧，说不定你会发现一个全新的世界哦！。
带有皮亚诺余项的泰勒公式
带有皮亚诺余项的泰勒公式泰勒公式，这玩意儿就像是数学里的超级英雄，总能在关键时刻出现，解决那些棘手的问题。
但你知道吗？这个公式可不简单，它可是皮亚诺公理和自然数的亲密伙伴，就像是一个默契的团队，共同守护着数学王国的秘密。
想象一下，你正在玩一个游戏，突然遇到了一道难题，怎么也解不开。
这时，你的队友——泰勒公式出现了，他轻轻一摆手，说：“别担心，让我来帮你。
”说着，他就用他那神奇的手指，轻轻一点，问题就迎刃而解了。
这就是泰勒公式的魅力，他总能在你最需要的时候，给你最准确的答案。
但是，泰勒公式可不是那么容易就被我们理解的。
他就像是一只调皮的小精灵，总喜欢在我们不注意的时候，跳出来捣乱。
他会让我们头疼不已；他又能给我们带来惊喜。
但无论如何，他都是我们数学世界的忠实伙伴，陪伴我们度过了一个又一个难忘的时刻。
记得有一次，我在学习分数的时候，总是觉得有些难以捉摸。
那时候，我就想起了泰勒公式，他就像是一盏明灯，照亮了我前进的道路。
我按照他的指引，一步步地推导下去，最终成功地解决了那个困扰我的问题。
那一刻，我仿佛看到了数学王国的大门在我面前缓缓打开，我知道，我已经找到了通往知识深处的路。
还有一次，我在研究函数的时候，遇到了一个棘手的难题。
我左思右想，就是找不到解决问题的方法。
这时候，泰勒公式又出现了，他轻轻地告诉我：“别着急，让我来帮你。
”我按照他的提示，一步一步地进行计算，最终成功地找到了那个隐藏在函数深处的秘密。
那一刻，我仿佛听到了数学王国里传来的欢呼声，我知道，我已经找到了通往知识深处的路。
泰勒公式也有他的不足之处。
他有时候会让我们感到困惑，因为他的表达方式比较抽象。
但是，正是这些不足之处，才使得泰勒公式更加真实、更加贴近我们的生活。
他就像是一位智者，虽然言语不多，却总能给我们留下深刻的印象。
泰勒公式就像一个调皮的小精灵，他总是在我们不经意间出现，给我们带来惊喜和帮助。
虽然他有时候会让我们感到困惑，但他的真诚和热情却永远值得我们去珍惜。
泰勒公式毕业论文
泰勒公式毕业论文摘要泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。
本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。
本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。
对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。
关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程ABSTRACTTaylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process .This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study.Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation大连交通大学2012届本科生毕业论文目录一、Taylor公式简介 (1)（一）Taylor公式的基本形式 (1)（二）Taylor公式余项类型 (2)（三）Taylor公式的定理 (5)二、Taylor公式的证明 (6)（一）Taylor公式证明初探 (6)（二）证明Taylor公式 (6)三、Taylor公式的应用 (7)（一）利用Taylor公式求极限 (8)（二）利用Taylor公式判断函数的极值 (9)（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性 (10)（四）利用Taylor公式证明中值定理 (11)（五）利用Taylor公式求行列式的值 (13)（六）Taylor公式在关于界的估计的应用 (14)谢辞 .............................................. 错误!未定义书签。
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题 目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用 院（系）专业： 数学系（数学与应用数学） 学生姓名: 段 国 珍 学 号： 2003701146 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2007年6月毕业生毕业论文（设计）摘要带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。
本文将介绍其应用技巧。
关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧AbstractThe Taylor formula with Peano remainder term only give the qualitative description other than quantitative description about the Peano remainderterm.However,it is very important in the calculation of the limits and limit value of functions, the estimation of the order about the infinitesimal of higher order,the judgement of the convergence of functions ,and so on.In this paper,we will mainly introduce its application skills.Key words : Taylor formula；Peano remainder term；Skills前言 (1)1 绪论1.1问题的提出 (2)1.2预备知识 (2)1.3内容简介 (2)2 带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用2.1求极限 (4)2.2估计无穷小量的阶 (6)2.3判定敛散性 (7)2.4判别函数的极值与拐点 (9)2.5求高阶导数 (10)2.6小结 (11)3 结论 (12)致谢 (13)参考文献 (14)泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，英国数学家泰勒在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已经获得的著名定理+++=+.22.....2.1.1)(zv xzv xx v z x其中v 为独立变量z 的增量，..,z x 为流数。
泰勒假定z 随时间均匀变化，故.z 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：+''+'+=+)(!2)()()(2x f h x f h x f h x f泰勒公式开创了有限差分理论，使任何单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。
泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使泰勒公式成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数)(x f 在点0x 可导，则有 )())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量。
然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为))((0n x x -ο，其中n 为多项式的次数。
对于一般函数)(x f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由多项式逼近原理构造出一个n 次多项式))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其中))((0n x x -ο称为佩亚诺型余项。
带佩亚诺型余项的泰勒公式，只需函数)(x f 在点0x 存在直至n 阶导数即可。
它是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。
本文将介绍其应用技巧。
1绪论1.1问题的提出泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，利用泰勒公式不仅能将一些初等函数展成幂级数，进行函数值的近似计算，而且泰勒公式还是求解高等数学问题的一个重要工具。
带佩亚诺型余项的泰勒公式，是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。
1.2预备知识定义：形如200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+= ))(()(!)(000)(n n n x x x x n x f -+-++ο 称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其中))((0n x x -ο称为佩亚诺型余项。
定理1 若)(x f 在点0x 及邻域)(0x u 内具有n 阶连续导数，且 0)(,0)()()(0)(0)1(00≠==''='-x f x f x f x f n n ；（1）若n 为奇数，则0x 不是极值点；（2）若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时，)(0x f 为极大值；当0)(0)(>x f n 时，)(0x f 为极小值。
1.3内容简介泰勒公式在分析和研究数学问题方面，有着重要应用。
而带佩亚诺型余项的泰勒公式是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
本文归纳了其五方面的应用，通过对典型例题的分析小结，揭示了“为什么这样做”和“应该怎样做”的问题。
在求极限方面，用带佩亚诺型余项的泰勒公式求不定式极限：先求出不定式的分子、分母的各个部分在点0x 的带佩亚诺型余项的泰勒公式，根据需要取适当的项（即取到分子及分母分别经过化简后系数不为零的项），分别整理出分子、分母的泰勒公式，再求出分式的泰勒公式，最后求得不定式的极限。
用带佩亚诺型余项的泰勒公式求极限，其适用的题型有：1）当0→x 时，00型，当∞→x 型，)(∞-∞型；2）表达式容易泰勒展开的； 3）用洛必达法则较繁的。
在判别函数的极值与拐点方面，借用已有知识（函数极值的第三充分条件及运用二阶导数的符号判定函数的拐点），证明得出借助高阶导数判别函数拐点的充分条件定理：若)(x f 在点0x 及邻域)(0x u 内具有n 阶连续导数，且0)(,0)()()(0)(0)1(00≠=='''=''-x fx fx f x f n n 。
（1）若n 为偶数，则点))(,(00x f x 一定不是曲线的拐点； （2）若n 为奇数，则点))(,(00x f x 为曲线的拐点。
2带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用带佩亚诺型余项的泰勒公式，只需函数)(x f 在点0x 存在直至n 阶导数即可。
它是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
2.1求极限带佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个有力工具，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
例如，对于给定的不定式极限，若分子、分母都可导但需多次使用洛必达法则，且求导过程较繁时，可使用带佩亚诺型余项的泰勒公式法：先求出不定式的分子、分母的各个部分在点0x 的带佩亚诺型余项的泰勒公式，根据需要取适当的项分别整理出分子、分母的泰勒公式，再求出分式的泰勒公式，最后求得不定式的极限。
例1 求极限4202cos limx e x x x -→-分析：此题为0型不定式，且分母为4x ，若直接用洛必达法则求极限，需连用4次，计算过程会非常复杂；可考虑利用带佩亚诺型余项的泰勒公式将分子展开，由无穷小的性质，分子的展开式只要保留到x 的四阶无穷小即可。
解：因为 )(!21122x x x e x ο+++= 将x 换成22x-有 ))2(()2(!21)2(12222222x x x ex -+-+-+=-ο又)(!4!21cos 442x x x x ο++-= 所以 )(121)41()()81241(cos 4444422x x x x x ex x οοο+-=-+-=--故 121)(121limcos lim4444202-=+-=-→-→xx x x ex x x x ο 从例1可以看出，利用带佩亚诺型余项的泰勒展开式代替某些函数，可以在求极限以前化简表达式，然后通过比较无穷小的阶求极限。
需要强调的是，展开式的项数的确定要考虑到分子与分母无穷小的阶数，化简表达式时要注意无穷小的计算。
例2设)(x f 在点0=x 处二阶可导，且0])(3sin [lim 23=+→xx f x x x ；求)0(),0(),0(f f f '''，并计算极限))(3(lim 220x x f x x +→。
分析：此题为未定型的极限问题，但从求)0(),0(),0(f f f '''与题设)(x f 在点0=x 处二阶可导之间的关系可知，用带佩亚诺型余项的泰勒公式求解比用洛必达法则求解更为简便。
解：由题设条件有)]()292)0(()0())0(3[(1lim ])(!2)0()0()0()()3(!313[lim ])(3sin [lim 0332302223330230x x f x f x f x x x x f x f f x x x x x x f x x x x x οοο+-''+'++=+''+'+++-=+=→→→ 因此必须有9)0(,0)0(,3)0(=''='-=f f f 于是29)](2933[1lim )]()0(!21)0()0(3[1lim )](3[1lim ))(3(lim 2220222020220=++-=+''+'++=+=+→→→→x x x x x f x f f x x f x x x f x x x x x οο用带佩亚诺型余项的泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。
其适用的题型有：1）当0→x 时，型，当∞→x 型，)(∞-∞型； 2）表达式容易泰勒展开的；3）用洛必达法则较繁的。