§2.数集.确界原理.
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§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
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§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
定义2(上确界)(P6) 设S是R中的一个数集.若数满足: (i)x S, x ,即是S的一个上界;
(ii) , x0 S, x0 ,即任何比小的数都不是S的上界, 则称数为数集S的上确界(supremum或least upper - bound), 记为
supS.
定义3(下确界)(P6) 设S是R中的一个数集.若数满足:
(2)证明数集E
y
y
1 x
,
x
0,1是无界集.
[问题] 下列数集中哪些是有界集?哪些是无界集?
E1
y
y
1 x
,
x
0,;
E2
y
yຫໍສະໝຸດ Baidu
1 x
,
x
,, 其中为一个正实数;
E3
y
y
1 x
sin
1 x
,
x
0,1.
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
12
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
9
§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
例1'(P6) 证明: (1)任何有限区间都是有界集; (2)任何无限区间都是无界集; (是否有上界或有下界?) (3)由有限个数组成的数集总是有界集.
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
练习(P6)
(1)证明数集E y y sin x, x ,是有界集;
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集 1.定义1(P5)
设S为R中的一个数集 (即S R). (1)若M R,x S, x M ,则称S为有上界的数集,而M称为S的一 个上界; (2)若L R,x S, x L,则称S为有下界的数集,而L称为S的一 个下界; (3)若数集S既有上界又有下界 ,则称S为有界集; (4)若数集S不是有界集 ,则称S为无界集.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集S都存在上(下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义( )不是数集S的上(下)确界?
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集 2.几点说明
(1)上界(或下界 )若存在, 则必不唯一 . (2)如何用正面的语言叙述 数集S无上界(或无下界)?(P9/2(1) ) (3)数集S为有界集 K 0,xS, x K. (4)数集S为无界集 K 0,x0 S, x0 K.
例1(P6) 讨论数集N n n为正整数 的有界性.
注意1:以后在不需要辩明所论区间是否包括端点,以及是否是有限 区间还是无限区间的场合, 就简单地称为区间, 用I表示;
注意2 : 对于有限区间a,b,a,b,a,b与a,b,则称数b a为这些区
间的长度.
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§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0.
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
(ii) , x0 S, x0 ,即任何比大的数都不是S的下界,
则称数为数集S的下确界(infimum 或greatest lower - bound), 记为 inf S.
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上确界与下确界统称为确界.
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
a
a
a
x
注意:当不强调邻域的半径时,以a为中心的任何开区间都是a的邻域,
且简记为U a.
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§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
b: b:
a, b; a, b;
左闭右无穷区间: x R x a: a,;
无限区间左左开无右穷无右穷闭区区间间::
左无穷右开区间:
x x x
R R R
x x x
a: a: a:
a,;
, a;
, a;
左右无穷区间: x R x : ,. 1
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 1.区间(interval)
§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 1.区间(interval)
设a,bR,且a b.用表示无穷大,表示负无穷大,表示 正无穷大.
有限区间闭开区区间间::xxRR aa
x x
b: a,b; b: a,b;
区间
半开半闭区间左 左开 闭右 右闭 开区 区间 间::
x x
R R
a a
x x
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下确界的定义验证:
supS 1, inf S 0.
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
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§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
定义2(上确界)(P6) 设S是R中的一个数集.若数满足: (i)x S, x ,即是S的一个上界;
(ii) , x0 S, x0 ,即任何比小的数都不是S的上界, 则称数为数集S的上确界(supremum或least upper - bound), 记为
supS.
定义3(下确界)(P6) 设S是R中的一个数集.若数满足:
(2)证明数集E
y
y
1 x
,
x
0,1是无界集.
[问题] 下列数集中哪些是有界集?哪些是无界集?
E1
y
y
1 x
,
x
0,;
E2
y
yຫໍສະໝຸດ Baidu
1 x
,
x
,, 其中为一个正实数;
E3
y
y
1 x
sin
1 x
,
x
0,1.
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
例1'(P6) 证明: (1)任何有限区间都是有界集; (2)任何无限区间都是无界集; (是否有上界或有下界?) (3)由有限个数组成的数集总是有界集.
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集
练习(P6)
(1)证明数集E y y sin x, x ,是有界集;
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集 1.定义1(P5)
设S为R中的一个数集 (即S R). (1)若M R,x S, x M ,则称S为有上界的数集,而M称为S的一 个上界; (2)若L R,x S, x L,则称S为有下界的数集,而L称为S的一 个下界; (3)若数集S既有上界又有下界 ,则称S为有界集; (4)若数集S不是有界集 ,则称S为无界集.
a
a
a
x
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§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集S都存在上(下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义( )不是数集S的上(下)确界?
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
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§2.数集.确界原理 二. 有界集与无界集 2.几点说明
(1)上界(或下界 )若存在, 则必不唯一 . (2)如何用正面的语言叙述 数集S无上界(或无下界)?(P9/2(1) ) (3)数集S为有界集 K 0,xS, x K. (4)数集S为无界集 K 0,x0 S, x0 K.
例1(P6) 讨论数集N n n为正整数 的有界性.
注意1:以后在不需要辩明所论区间是否包括端点,以及是否是有限 区间还是无限区间的场合, 就简单地称为区间, 用I表示;
注意2 : 对于有限区间a,b,a,b,a,b与a,b,则称数b a为这些区
间的长度.
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§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0.
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
(ii) , x0 S, x0 ,即任何比大的数都不是S的下界,
则称数为数集S的下确界(infimum 或greatest lower - bound), 记为 inf S.
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上确界与下确界统称为确界.
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
a
a
a
x
注意:当不强调邻域的半径时,以a为中心的任何开区间都是a的邻域,
且简记为U a.
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§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
b: b:
a, b; a, b;
左闭右无穷区间: x R x a: a,;
无限区间左左开无右穷无右穷闭区区间间::
左无穷右开区间:
x x x
R R R
x x x
a: a: a:
a,;
, a;
, a;
左右无穷区间: x R x : ,. 1
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 1.区间(interval)
§2.数集.确界原理
一. 区间与邻域 1.区间(interval)
设a,bR,且a b.用表示无穷大,表示负无穷大,表示 正无穷大.
有限区间闭开区区间间::xxRR aa
x x
b: a,b; b: a,b;
区间
半开半闭区间左 左开 闭右 右闭 开区 区间 间::
x x
R R
a a
x x
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下确界的定义验证:
supS 1, inf S 0.
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.