第3讲基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

、选择题

1•下列不等式一定成立的是（

B.sin x+佥》2(X M kn , k€ Z )

C. X 2 + 1>2xi(x € R )

1

D. 市< 1(x € R )

1= X ,所以 Ig f + 1

卜 lg x(x > 0) ,故选项A

n, k € Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项

1

C 正确；当x = 0时，有x 2+ 1 = 1,故选项

D 不正确.

答案 C

2.若2x + 2— 1,则X + y 的取值范围是（ ）

B. [— 2, 0] D.( — X,— 2]

解析 2^2隹2x + 2y = 1,所以 2x +

y <4 即 2x +

y <2—

2,所以 x + y <— 2.

答案 D

3.（2016合肥二模）若a , b 都是正数，则（1 + •（1 + 勺最小值为（）

解析■/ a , b 者E 是正数，•••(1+ £丿(1 + ¥]= 5+£+ 5 +

且仅当b = 2a>0时取等号.故选C. 答案 C

4.

若a>0, b>0,且a +

b =4,则下列不等式恒成立的是（

）

B.1+b < 1 a b

D.a 2 + b 2> 8

_ _________________________________ 彳

解析 4 = a + b >^ab （当且仅当a = b 时，等号成立）,即V ab <2, ab <4,

不正确；运用基本不等式时需保证 “一正” “二定”“三相等”，而当XMk A.lg ^2+ *9 x(x>0)

2 1

解析当x >0时，X 2 + 2

・

A.[0 , 2] C.[ — 2,+^)

A.7

B.8

C.9

D.10 A.-b <1

ab 4 C.寸ab 》2

詐9,当

A.2

B.3

C.1

D.2

4，选项A , C 不成立；£+aa_b =Ob 》1,选项B 不成立；a 2 + b 2= （a + b ）2

—2ab = 16- 2ab >8,选项 D 成立. 答案 D

1 2

5. （2015湖南卷）若实数a , b 满足5+b^/ab ，贝U ab 的最小值为（

2a 时，“=”成立.

因为1+ 2

^^ab ，所以V ab >今^,即卩ab >2寸2,

a b

^j ab

所以ab 的最小值为2^2,故选C. 答案 C

6若正数x , y 满足4x 2 + 9y 2 + 3xy = 30,则xy 的最大值是（

）

解析 由 x >0, y >0,得 4x 2 + 9y 2 + 3xy >2 (2x) (3y) + 3xy(当且仅当 2x = 3y 时 等号成立)，••• 12xy + 3xy < 30, 即卩xy <2,二xy 的最大值为2. 答案 C

11 1 2

7.

（2017安庆二模）已知a>0, b>0, a + b =a +b ，则a + b 的最小值为（

）

1 1 a + b

解析 由 a>0, b>0, a + b = $+ b^a^，得 ab = 1, 则1+ 2》2、/^—1= 2屉当且仅当2，即a =¥，b = 时等号成立.故选B. 答案 B

a

8. （2017福州六校联考）已知函数f （x ） = X +-+ 2的值域为（一X, 0] U [4，+）,

x

则a 的值是（

C.2J 2

,2

解析 依题意知a >0, b >0,则a +b 》2

B.2

D.4

1 2

a =2,即

b =

A.4

B.2迈

C.8

D.16

，当且仅

m +n =-(m +砒+法-(2+m +m b -——

=n = —2时, 1 1

m +1取得最大值—4. 答案 —4

11.若对于任意 x > 0,

—

X 2

+ 3X+ [ < a 恒成立，则a 的取值范围

解析

_________ _ 1 X 2

+3X + 1 _ _ 1,

3+-+

-

1

因为x >0,所以X + 2(当且仅当x = 1时取等号), x

则W 丄=1 则 3+ -+

1 3+

2 5,

即x^的最大值为5,故a > 5.

a

解析 由题意可得a>0,①当x>0时，f(x) = x + -+ 2>2yf a + 2,当且仅当x^/a

入

a

时取等号；②当x<0时，f(x) = x + -+ 2< — 2\伍+2,当且仅当x =—/a 时取等

—

「2 — 2{a = 0, 号.所以4厂 解得a = 1. 2/a +2=4,

答案 C 、填空题

9. 正数a , b 满足ab = a +b +3,则ab 的取值范围是

解析 ■/ a , b 是正数，••• ab = a +b + 3>厶伽+ 3, 解得7ab >3, 即卩 ab >9. 答案 [9，+X)

1 1

10. (2016湖南雅礼中学一模)已知实数m, n 满足m n>0, m +n =— 1,则后+和的

最大值为 解析

m n>0, m +n =— I ,； m<0, n<0,

m

= — 4,当且仅当m