高等数学教案Word版(同济)第二章5

第五讲

I 授课题目：

§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

II 教学目的与要求：

1.熟练掌握隐函数求导；

2.熟练掌握参数方程求导。

III 教学重点与难点：

重点：隐函数和参数式所确定的函数的导数

难点：隐函数和参数式所确定的函数的导数

IV 讲授内容：

要讨论另外两个表现形式的函数的求导方法，即隐函数，由参数方程所确定的 函数的导数的求解方法。

一、隐函数的导数

1.隐函数的定义

定义 如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 取某个区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程0),(=y x F 在该区间内确定了个隐函数。

1. 隐函数求导数的方法

例1 求方程03275=--+x x y y 确定的隐函数y 在0=x 处的导数

0=x dx dy

解 方程两边分别的x 求导，方程两边的导数相等 2521102112546

64

++==--+y x dx dy x dx dy dx dy y 当0=x 时，得0=y

2

10==x dx dy

对数求导法求隐函数的导数

方法：先在方程两边取对数，将所得式两边分别求导。

例2 求)0(sin >=x x y x 的导数

解 函数为幂指函数，先在两边取对数，得

x x y ln sin ln ⋅=

两边x 求导，注意y 是x 的函数，得

)sin ln (cos )sin ln (cos 1sin ln cos 1sin x

x x x x x

x x x y y x

x x x y y x +⋅=+⋅='⋅+⋅=' 幂指函数

)0(>=u u y v

如果)(x u u =、)(x v v =的都可导，用对数求导法求出幂指函数的导数

先在两边取对数，得

u v y ln ln ⋅=

两边x 求导，注意y 、u 、v 是x 的函数，得

)ln ()ln (1ln 1u

u v u v u u u v u v y y u u v u v y y v '+⋅'='+⋅'=''⋅⋅+⋅'=' 幂指函数

)ln ()ln (ln ln u

u v u v u u

u v u v e y e y v u v u

v '+⋅'='⋅+⋅'='= 一般形式的幂指函数，对数求导法求出幂指函数的导数。

二、由参数方程所确定的函数的导数

1.参数方程

参数方程

⎩⎨⎧==)

()(t y t x ψϕ y 与x 间的函数关系

2.参数方程所确定的函数的导数的求法

如果函数)(t x ϕ=的具有单调连续反函数)(1x t -=ϕ，且反函数能与函数)(t y ψ=构成复合函数，函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=可导。根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则得

dt

dx

dt dy

dx dy t t dt

dx

dt dy dx dt dt dy dx dy =''=⋅=⋅=)

()(1ϕψ 如果函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=还是二阶可导的，那么得函数的二阶导数公式

)

()()()()()(1)

()()()()())()(()(322222t t t t t dx y d t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx

y d ϕϕψϕψϕϕϕψϕψϕψ''''-'''='⋅''''-'''=⋅''== 例3 已知椭圆的参数方程为

⎩⎨⎧==t

b y t a x sin ,cos 求椭圆在点4π=

t 处的切线方程 解 当4π

=t 时，椭圆上的点的坐标

224sin 22

4cos 00b b y a a x ===

=ππ

曲线在点的切线的斜率为 a b t a t b t a t b dt

dy t t t -=-=''====444sin cos )cos ()sin (π

ππ

椭圆在点的切线方程

)2

2(22a x a b b y --=- 即 02=-+ab ay bx

V 小结与提问：

小结：1.给出隐函数的求导方法；

2.给出参数方程的求导方法。

提问：怎么样求解隐函数与参数方程的导数？

VI 课外作业：

P110-P111 2，5（1），7（1），8（2），9（1）