数列综合应用教案

数列综合应用教案

【篇一：《数列的综合应用》教案】

个性化教案

授课时间年级

高三

备课时间学生姓名教师姓名

课题

数列的进一步认识

教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想

（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题

1、数列求和的几种常见方法

2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题

一、检查并点评学生的作业。检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并

当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容数列求和

数列求和的常用方法 1、公式法

（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：

n

∑

k=

n(n+1)k=12

n

∑k

2

=16n(n+1)(2n+1)

k=1n

k3

=

14

n2(n+1)2

k=1

2、倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一

个常数，那么求这个数列的

前n项和即可用倒序相加法。等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积

构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的

前n项和就是用此法推导的；

例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①

2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-

（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-6

4、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；

注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能

分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

例：sn=

12

+

16

+??+

1(n-1)n

=1-

12

+

12

-

13

+??+

1n-1

-

=1-

1n

=

n-1n

5、分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；

例：sn=1+2+3+4+5+7+8+9+16+??+2n-1+2n=(1+3+??+2n-1)+（2+4+??+2n）

=n2+2n+1-2

6、并项求和法

n

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如an=(-1)f(n)类型，可采

用两项合并求解。

例：sn=100-99+98-97+??+22-12=（100+99）+（98+97）+??+（2+1）=5050

2

2

2

2

● 数列的综合应用

1、等差数列与等比数列综合题

● 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；

● 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联

立方程求解。

例：在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1

（n≥2,q≠0）．

（Ⅰ）设

bn=an+1-an

{an}a6

（n∈n），证明

{bn}

是等比数列；

（Ⅱ）求数列（Ⅲ）若差中项．

a3

的通项公式；

a9

是与

的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈n，

*

an

是

an+3

与

an+6

的等

2、以等差数列为模型的实际应用

●

解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的

数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

●

解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：

从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

例：气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n

天的维修保养费为

n+4910

元（n∈n*）,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器

的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?

3、以等比数列为模型的实际应用

●