离散数学讲义-第14讲(7.1-7.2)

r = 1,2,…,L, 通路长度 || = L.
v i0 v i1 v i2 e j1 e j2
e
r
r 1
r
vi0 是起点, vil 是终点 v ir 1 v ir e jr v il e jl
43
7.2 路与回路

回路:
vi0 vil vi0 e j1 vi1 e j2 vil 1 e jl vi0
18
相邻(adjacent),关联(incident)
相邻(邻接)(adjacent): 点与点,边与边 u v 邻接到,邻接于: u邻接到v, v邻接于u 关联(incident):点与边 1 1 +1 -1 2 ? 关联次数: 环(loop):只与一个顶点关联的边 孤立点(isolated vertex):无边关联的顶点
49
连通图(connected graph)


若无向图G是平凡图，或G中任何两个顶 点都是连通的，则称G为连通图，否则 称G是非连通图或分离图。 G为连通图的充要条件是p(G)=1。 G非连通图的充要条件是p(G)>1。
47
推论

推论: 在n阶图G中,若从不同顶点vi到vj有通 路,则从vi到vj有长度小于等于n-1的通路。
48
无向图的连通性(connected)



连通(connected): 无向图G=<V,E>，称u 与v是连通的，记作u~v， u~v u与v之间存在一条路 规定: u(u~u), 连通关系~是等价关系,商 集是 V/~ = { V1,V2,…,Vk } 连通分支(component): G[Vi], (i=1,…,k) 连通分支数: p(G)=|V/~|=k
9
7.1 图（续）
哥尼斯堡七桥问题 (Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad, Russia
10

图论问题：这个图是一个 欧拉图吗？也即，是否存 “七桥问题”的图论解法 在一条回路，经过图中每 一条边一次且仅一次，并 1736 年,图论和拓扑学诞生 且遍历图的所有顶点？
n阶图,零图,平凡图,空图


n阶图(order-n graph): |V(G)|=n 有限图(finite graph): |V(G)|<，且 |E(G)|< 零图(null graph): E=, Nn 平凡图(trival graph): 1阶零图, N1 空图(empty graph): V=E=,
简记为 , , +, +, -, 33
图论基本定理

握手定理

定理1:设G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. 定理2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m.
7
7.1 图（续）
图论的特点
•可直观地表示离散对象之间的相互关系。 •只关心点之间是否有连线，而不关心点的 位置以及连线的曲直。 ————与几何学的区别
8
7.1 图（续）
图论的应用
•广泛应用于计算机科学、物理学、化学、 运筹学、信息论、控制论、网络通讯、社 会科学以及经济管理、军事、国防、工农 业生产等方面 ——异军突起，活跃非凡
v i0
v i1 v i2 e j1 e j2
v ir 1 v ir e jr e jl
vil 1
44
7.2 路与回路



迹: 没有重复边的路 通路: 没有重复顶点的路 圈: 没有重复顶点的回路
45
7.2 路与回路

可以只用边的序列来表示迹 e j1 e j2 e jl
简单图可以只用顶点的序列来表示通路 vi0 vi1 vil 1 vil 长度为L的圈,如果是非标定的,则在同构意 义下是唯一的,如果是标定的(指定起点,终 点),则是L个不同的圈
正八面体图
正十二面体图
正二十面体图
24
彼德森图(Pertersen graph)
3正则图
25
二部图(偶图)(bipartite graphs)

二部图: G=<V1,V2; E>, 也称为偶图
Km,n
26
库拉图斯基图(Kuratowski graph)
K3,3
27
子图、母图、补图


定义：设G=<V,E>和G‟=<V‟,E‟>是两个 图。若V‟V，E‟E ，则称G„是G的子图， G是G‟的母图，记作G‟G。 若G‟G，并且G‟≠G，则称G‟是G的真子图。 若G‟G，而V‟=V，则称G‟是G的生成子图 或支撑子图。



19
平行边，多重图，简单图


平行边(parallel edge): 重数：平行边的条数。 多重图：含平行边的图。 简单图(simple graph): 无环,无平行边。
v2 v3 v4 v2 v3 v4
20
完全图(complete graphs)

无向完全图
设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点 均与其余的n-1个顶点相邻， 则称G为n 阶无向完全图，简称n阶完全图，记做 Kn(n≥1)。
29

子图、母图、补图

补图示例
30
悬挂顶点与悬挂边,偶度(奇度)顶点


称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联 的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶 点。
v1 v2 v3 v4 v5
31
顶点的度数(degree/valence)

度dG(v): 与v关联的边的次数之和 出度dD+(v): 与v关联的出边的次数之和 入度dD-(v): 与v关联的入边的次数之和 度dD(v) = dD+(v) + dD-(v)
离散数学讲义（电子版）
Discrete Mathematics
北方交通大学理学院
xmhuang@bjtu.edu.cn
1
第十四讲
第七章 7.1－7.2节
2
第四篇
图 论
3
第七章
图
论
4
第七章 图论
7.1 图的基本概念
7.2 路与回路
7.3 图的矩阵表示 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 7.5 平面图 7.6 树与生成树 7.7 根树及其应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

图的同构关系是全体图构成的集合上 的等价关系。 同构的图具有相同的阶数、边数、度 数等。但反之不成立。
41
习题

习题7-1（Page 279-280） (2).(3).(4).(6)
42
7.2 路与回路
路: 顶点与边的交替序列 vi0 e j1 vi1 e j2 vil 1 e jl vil 其中 e jr (vir 1 , vir ), (e j vi , vi )
说明:(1)类似可定义有向图的同构。 (2)同构的图,其图论性质完全一样。
37
图的同构(举例)
G1
G2
G3
G1G3, G1G2
38
图的同构(举例) • 彼德森(Petersen)图
G1
G2
G3
G 1 G 2 G 3
39
图的同构(举例)
D1
D2
D3
D1D2, D2D3
40
同构图的性质
e1 v1 e5 e6 e3 v4 e4 v3
14
e2 v2
7.1 图（续）
有向图(Directed graph)

有向图(graph): D=<V,E,φ>, (1) V, 顶点集,其中元素称为顶点或结 点(vertex / node)。 (2) E, 边集,其中元素称为边(edge / link) (3)ψ,表示V与E之间的关系。
21
正则图(regular graph)


r正则图: vV, d(v)=r, r=0,1,2,…
例: Kn是n-1正则图(n=1,2,3,…) 例: n阶零图是0正则图。
3正则图
4正则图
22
1—5阶完全图
K1
K2
K3
K4
K5
23
柏拉图图(Platonic graphs)
正四面体图
正六面体图
7.1 图（续）
C c A a b B
11
d e f
g D
Leonhard Euler(1707-1783)


瑞士数学家，力学家， 物理学家，天文学家， 理论流体动力学创始人， 复变函数先驱者，变分 发奠基人对数学多个领 域做出贡献 最多产的数学家，一生 发表1100多篇论著（论 文）。死后47年才出版 完其全部论著。
5
一个图论问题
你能从某一块陆地 出发，经过每座桥 哥尼斯堡七桥问题 一次而且仅仅一次， (Seven bridges of Königsberg problem): 再回到原来的出发 River Pregel, Kaliningrad, 地吗？ Russia
6
7.1 图
图论的诞生
•哥尼斯堡七桥问题 •1736年，瑞士数学家欧拉（Euler）证明 “哥尼斯堡七桥问题”无解——图论创始年。 •1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig） 出版了图论的第一部专著《有限图与无限 图理论》。
v1
e6 e3 e4
v4 e5 v3
e2 v2
16
7.1 图（续）
术语与记号



一般用G表示无向图，D表示有向图， 但有时用G泛指图(无向的或有向的)， D只能表示有向图。 若G=<V,E>, 则V(G)=V, E(G)=E | V(G) |表示G的顶点数 | E(G) |表示G的边数
17
7.1 图（续）
13
7.1 图（续）

例: G=<V,E,φ>,V={v1, v2, v3, v4}, E={e1, e2, e3, e4, e5, e6}. φ： e1= (v1,v1), e2= (v1,v2), e3= (v2,v3), e4= (v3,v4), e5= (v1,v4), e6= (v2,v4),
一般用就D=<V,E>来表示有向图。
15
7.1 图（续）

例: D=<V,E,ψ>,V={v1, v2, v3, v4}, E={e1, e2, e3, e4, e5, e6}.
e1
ψ： e1=<v1,v1>, e2=<v1,v2>, e3=<v2,v3>, e4=<v3,v4>, e5=<v1,v4>, e6=<v2,v4>,
12
7.1 图（续）
无向图(undirected graph)

无向图(graph): G=<V,E,φ>, (1) V, 顶点集,其中元素称为顶点或结 点(vertex / node)。 (2) E, 边集,其中元素称为边(edge / link) (3)φ,表示V与E之间的关系。
一般用就G=<V,E>来表示无向图。
推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数.
34
完全图的性质 定理：n阶完全无向图Kn的边数为 n(n-1)/2
35
正则图的性质 n阶k正则图中，边数m=kn/2 k为奇数时，n必为偶数。

36
图的同构(graph isomorphism)

图同构: 设图G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>, 若 存在双射 f: V1V2, 满足uV1,vV1, (u,v)E1 (f(u),f(v))E2 并且(u, v)与(f(u), f(v))的重数相同， 则称G1与G2同构, 记作G1G2


46
7.2 路与回路


定理3: 在n阶图G中,若从不同顶点vi到vj有路,则从 vi到vj有长度小于等于n-1的路。 证明: 若路的长度大于n-1, 则路上顶点数大于n, 因而这条路上有重复顶点, 删除重复顶点之间的 回路,路长度至少减少1. 重复进行, 直到路长度小 于等于n-1为止. #
28
子图、母图、补图

定义：设G‟=<V‟,E‟>是G=<V,E>的子 图，构造另一个图G”=<V”,E”>，使得 E”=E-E‟，并且V”仅包含E”中的边所关 联的顶点，则称G“是G‟的相对于图G的 补图，记作G”=G-G‟。 特别地，n阶图G相对于完全图Kn的补 图就称为G的补图。记做 G=<V,E(Kn)-E>
3 0 2,1 0,0
4
3
2,2
1,2 (d+,d-)
32
最大(出/入)度,最小(出/入)度



最大度: (G) = max{ dG(v) | vV(G) } 最小度: (G) = min{ dG(v) | vV(G) } 最大出度: +(D) = max{ dD+(v) | vV(D) } 最小出度: +(D) = min{ dD+(v) | vV(D) } 最大入度: -(D) = max{ dD-(v) | vV(D) } 最小入度: -(D) = min{ dD-(v) | vV(D) }