高一数学 指数函数及其图象

2－1.已知函数 y＝7＋ax-1 的图象恒过定点 P，则 P 点的坐
标是( A )
A．(1,8)
B．(1,7)
C．(0,8)
D．(8,0)
解析：原函数可变形为 y－7＝ax-1，将 y-7 看做 x-1 的指数
函数，∵x-1＝0 时，y-7＝1，即 x＝1，y＝8.∴y＝7＋ax-1 恒过定
点(1,8)．
指数函数的概念
例 1：下列函数一定是指数函数的是( B )
A．y＝x3
B．y＝3-x
C．y＝3·2x
D．y＝(－2)x
思维突破：根据指数函数定义进行判断．A 中底数不是常
数；B 中 y＝3-x＝13x，是指数函数；C 中幂 2x 的系数不是 1；D 中底数－2<0，不是指数函数．
判断一个函数是否为指数函数时，要注意 三点：①底数是否为大于 0 且不等于 1 的常数；②指数是自变 量 x 且 x∈R；③系数为 1 且没有其他余项，形式为 y＝ax(a>0 且 a≠1，x∈R)．
1 2
x
2(x≥－2)的图象，可由
y
1 2
x
向左平
移 2 个单位得到，另一部分是 y2＝2x+2(x<－2)的图象，由 y＝2x
向左平移 2 个单位得到．
如图 2，由图象可知函数在(-∞，-2)上是增函数，在(-2，+∞) 上是减函数．
图2
(2)由图象可知，当
x=-2
时，函数
y
1 2
|x2|
解析：∵函数 y＝ax＋a2－3a＋2 是指数函数，
∴aa2>－0且3aa＋≠21＝0 ，解得 a＝2.
过定点问题 例 2：函数 y＝a2x+b＋1(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点(1,2)， 则 b＝___－__2___. 思维突破：把点(1,2)代入，得 2＝a2+b＋1，∴a2+b＝1 恒成 立．∴2＋b＝0，∴b＝－2.
2.1.3 指数函数及其图象
1．指数函数的概念：函数_y_＝__a_x_(a_＞__0_，__且___a_≠_1_)_叫做指数 函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是__R_.
x
2．下列函数(1)y＝－3x；(2)y＝32 ；(3)y＝x3；(4)y＝2·3x； (5)y＝3-x，其中指数函数是__(_2_)_(5_)__(写序号)
3．指数函数的图象：图 1(1)中 a 的范围是__a_＞__1，图 1(2) 中 a 的范围是__0_＜__a_＜__1___.
图1 4．函数 y＝ax 过定点_(_0_,1_)．
重难点 指数函数概念的理解 (1)指数函数的解析式：y＝ax. ①底数是大于 0 且不等于 1 的常数； ②指数函数的自变量位于指数的位置上；
有最大值是
1，
无最小值．
3－1.方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是 ____a_≥_1_或___a_＝__0____.
解析：作出 y＝|2x-1|的图象，如图 11，要使直线 y＝a 与 图象的交点只有一个，
∴a≥1 或 a＝0.
图 11
例 4：函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( A )
A．a＝2
B．a＝1
C．a＝1 或 a＝2
D．a>0 且 a≠1
错因剖析：易忽略 a≠1 的条件． 正解：由题意可得aa2>－0且3aa＋≠31＝1 ，解得 a＝2，故选 A.
1－1.下列函数中指数函数的个数为( A )
①y＝
1 3
x
；
④y＝1x；
②y＝
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x1
；
⑤y＝
1 3
2
x
1；
③y＝2·5x；
1
⑥y＝ x 2 .
A．1
B．2
C．4
D．5
解析：只有①为指数函数．
1－2.函数 y＝ax＋a2－3a＋2 是指数函数，则 a 的值为( B )
A．1 C．3
B．2 D．4
指数函数图象的理解及应用
例
3：已知函数
y＝
1 2
|x2|
.
(1)作出函数的图象，并由图象指出函数的单调区间；
(2)根据函数的图象，指出当 x 取何值时，函数有最小值？
解析：(1)由函数解析式可得
y
1 2
|x2|
1 x2 2 2x2
(x 2) ,
(x 2)
其图象分成两部分：
一部分是
y1
③ax的系数必须为 1.
(2)规定 a 大于零且不等于 1 的理由：
①如果 a＝0，当 x＞0 时，ax 恒等于 0；当 x≤0 时，ax 无意 义；
②如果 a＜0，如 y＝(－2)x，对于 x＝12，14，…时在实数范 围内函数值不存在；
③如果 a＝1，y＝1x 是一个常量，对它无研究价值．为了避 免上述各种情况，所以规定 a＞0，且 a≠1.