第四章 杆单元和梁单元

u u
1 2

(4.5)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u(x)N(x)δe
(4.6)
（4）应变
由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(x) u xd N d x (x) u u 1 2 l1 e l1 e u u 1 2 B u u 1 2 (4.7)
单元1
u2
1
2
x
E2 , A2 , l2
单元2
3
F3 10N
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐
标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个,
给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在
u(x) [1
x]
aa12

uu12


1 1
x1 x2

aa12

aa12


1 1
导出
u(x)[1 x] a a1 2 1 x1 1 x x1 21 u u1 2 =
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
11 u u2 3 1 2R2
F3 u u2 3
在这里，把表达成整体位移矢量

u u
1 2

的函数，如下：
(1)(2) 1 2 u u1 2 T
E(1)A(1) 1 l(1) 1
11 u u1 2 1 2R1
R2 u u1 2
1 2 u u2 3 T
E(2)A(2) l(2)
1 1
（2）确定位移模式
假设单元位移场： u (x ) a 1 a 2 x a 3 x 2
取其线性部分，系数 a 1 、a 2 可由节点位移 u 1 、u 2确定，称为位
移插值模式（interpolation model）.
u(x)a1a2x
(4.2)
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
(x)E eB (x)δeS(x)δe E lee E lee u u 1 2
(4.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
e Ue We
1 2
e

1 1
1 1
P
(1)


R R
1 2

4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ (2)


u u
2 3

K(2)
E(l2()2A) (2)
1 1
1 1
P
(2)


R F3
2

整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
N
(
x
)

u u
1 2

x1 x2
1
uu12

(4.3)
得到形函数矩阵（shape function matrix）
N(x)(1x2 xx1)
x x2x1
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是
δe
根据最小势能原理， e 0 ，得
Keδe Pe
其中节点载荷矩阵为
(4.11)
P
e


P1 P2

（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete
elements）
对于图4.1所示结构
第一个单元：
δ (1)


u u
1 2

K(1)
E(1)A(1) l(1)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。
如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1, A1, l1
u1
(x)
(x)d
1 2
P1
P2
uu12

1 2
le 0
(S(x)δe
(x))T
(B(x)δe
(x))Aedx

1 2
P1
1 δeT le BT EeBAedxδe 1 PeTδe
20
2
上式记作如下矩阵形式：
P2
uu12

e1δeTKeδe1PeTδe
为u(x)|xx1 u1，u(x)|xx2 u2，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1u1x1(u1u2)/(x1x2) a2 (u1u2)/(x1x2)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
这样，u(x)a1a2x可以写成如下矩阵形式
2
2
(4.9)
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix)
Ke0 leB TEeB A edxE lee A e 1 1 1 1
(4.10)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取
的一个杆单元。
P1, u1
P2 , u2
E，A，l
1Hale Waihona Puke Baidu
2
图 4-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关
系式

P1 P2


k
e

u1 u2

(4.1)
其中， k e 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法