三次样条插值求导法
三次样条插值求导法
三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于近似插值实现
平滑曲线的拟合。它的优点在于可以保持原始数据的特性，同时能够
降低数据间的噪声干扰，使得插值的结果更加准确。本文将介绍三次
样条插值法的原理、算法以及应用方面的指导意义。
首先，我们需要了解三次样条插值法的基本原理。三次样条插值
法通过在相邻数据点之间构造三次多项式来近似拟合原始数据。这些
三次多项式满足一定的光滑性条件，使得插值结果的曲线平滑而连续。在三次样条插值中，每个数据点都对应一个三次多项式，并且相邻多
项式之间的导数和二阶导数必须相等，以保证曲线的平滑性。
接下来，我们将介绍三次样条插值法的算法步骤。首先，我们需
要确定每个数据点对应的三次多项式。为了满足光滑性条件，我们需
要计算每个数据点处的导数值。这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程的个数等于数据点的个数。解得导数值之后，我们就可
以得到每个数据点对应的三次多项式的系数。
然后，我们需要利用这些系数来计算在数据点之间的插值结果。
为了实现这一点，我们可以利用三次多项式的性质，通过给定的数据
点和对应的三次多项式系数，来计算在两个相邻数据点之间的插值结果。
最后，我们需要通过合理的选择数据点以及插值节点的间距，来
获得更加准确的三次样条插值结果。一般来说，数据点的选择应尽量
满足曲线的变化趋势，以反映原始数据的特点。此外，插值节点的间
距也需要经过合理的选择，以保证插值结果的准确性。
三次样条插值法在实际应用中有着广泛的意义和指导价值。首先，它可以用于光滑曲线的拟合，将离散的数据点进行连续化处理，使得
数据的绘图和分析更加方便。其次，它可以用于数据的插值预测，通
过已有的数据点来预测未知数据点的取值。此外，三次样条插值法还
可以在数字图像处理中用于图像的平滑和插值填充，从而改善图像的
质量和美观度。
综上所述，三次样条插值法是一种有效的数值分析方法，可以用
于实现平滑曲线的拟合和数据的插值预测。通过了解其原理、算法以
及应用方面的指导意义，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而
提高数据处理和分析的准确性和效率。
三次样条插值函数求解例题
三次样条插值函数求解例题 三次样条插值函数是一种常用的插值方法，用于在给定的一组 数据点上构建一个连续的曲线。下面我将通过一个例题来解释三次 样条插值函数的求解过程。 假设我们有一组数据点{(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)}，其中x0 < x1 < ... < xn。我们的目标是构建一个连续的曲线，使 得曲线经过这些数据点。 首先，我们需要确定每个数据点之间的插值多项式。在三次样 条插值中，每个插值多项式的形式为： Si(x) = ai + bi(x xi) + ci(x xi)^2 + di(x xi)^3。 其中，ai、bi、ci、di是待求的系数，Si(x)是第i段插值多 项式。 接下来，我们需要确定每个插值多项式的系数。为了满足插值 条件，我们需要确定每个数据点处的函数值和导数值。具体而言， 我们需要满足以下条件：
1. 函数值条件，Si(xi) = yi，即插值多项式通过每个数据点。 2. 导数值条件，Si'(xi) = Si-1'(xi)，即相邻插值多项式在 数据点处的导数值相等。 通过这些条件，我们可以得到一系列的线性方程组，其中未知 数为插值多项式的系数。解这个线性方程组即可得到每个插值多项 式的系数。 最后，我们可以将每个插值多项式的系数代入到对应的插值多 项式中，得到最终的三次样条插值函数。 需要注意的是，在边界处，我们需要额外的条件来确定插值多 项式的系数。常见的边界条件有自然边界条件和固定边界条件。自 然边界条件要求插值函数的二阶导数在边界处为零，而固定边界条 件要求插值函数在边界处通过给定的导数值。 综上所述，三次样条插值函数的求解过程包括确定插值多项式 的系数和边界条件的确定。通过解线性方程组，我们可以得到每个 插值多项式的系数，从而构建出连续的三次样条插值函数。
实验四 三次样条插值
实验四三次样条插值的应用 一、问题描述 The upper portion of this noble beast is to be approximated using clamped cubic spline interpolants. The curve is drawn on a grid from which the table is constructed. Use Algorithm 3.5 to construct the three clamped cubic splines. 二、模型建立 三次样条插值 给定一个列表显示的函数 yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。该区间的线性插值公式为：
(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。 因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。 做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。 进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用 注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数
三次样条插值
三次样条插值 分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现 缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。 三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。 从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。 我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。 一、三次样条插值函数的定义： 给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值 ),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0() (n i y x S i i ==； （2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。 二、边界问题的提出与类型 单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如 ],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++= 其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。 由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连
三次样条插值法公式
三次样条插值法公式 在实际应用中，我们经常需要根据已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。例如，在地理信息系统中，我们可能需要根据已知的地理坐标点，来估计其他位置的高程值。在这种情况下，我们可以使用三次样条插值法来实现。 三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内使用一个三次多项式来逼近原函数。具体而言，我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。然后，我们在每个小区间内构造一个三次多项式，使得这个多项式在该区间内与原函数的函数值和导数值都相等。 为了简化计算，我们通常使用自然边界条件来确定每个小区间的三次多项式的边界条件。自然边界条件要求在插值区间的两个端点处，三次多项式的二阶导数为零。这样一来，我们只需要求解一个关于未知系数的线性方程组，就可以得到所有小区间的三次多项式的系数。 具体而言，假设我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。我们用S(x)表示在插值区间上的样条函数，用S''(x)表示样条函数的二阶导数。我们可以得到以下线性方程组： h1*S''(a) + 2*(h1+h2)*S''(a+h1) + h2*S''(a+2h1) = 6/h1*(y2-
y1) h2*S''(a+h1) + 2*(h2+h3)*S''(a+2h1) + h3*S''(a+3h1) = 6/h2*(y3-y2) ... h(n-1)*S''(a+(n-2)h1) + 2*(h(n-1)+hn)*S''(a+(n-1)h1) + hn*S''(a+nh1) = 6/hn*(yn-y(n-1)) 其中，y1, y2, ..., yn分别表示插值区间上的已知函数值。通过求解这个线性方程组，我们可以得到S''(a), S''(a+h1), ..., S''(a+nh1)的值。然后，我们可以通过插值条件求解出S(x)的系数，从而得到整个样条函数。 三次样条插值法具有很好的平滑性和局部逼近性。由于每个小区间使用的是一个三次多项式，这样的插值函数在插值区间内是连续可导的。因此，三次样条插值法可以很好地逼近原函数，并且在插值点附近的误差较小。 除了插值外，三次样条插值法还可以用于数据的平滑和曲线拟合。通过调整插值区间的个数和插值点的位置，我们可以得到不同程度的平滑效果。此外，三次样条插值法也可以用于曲线的拟合，即通过已知数据点，构造出一条平滑的曲线，以尽可能地拟合这些数据点。 在实际应用中，三次样条插值法广泛用于地理信息系统、图像处理、
三次样条插值求导法
三次样条插值求导法 三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于近似插值实现 平滑曲线的拟合。它的优点在于可以保持原始数据的特性，同时能够 降低数据间的噪声干扰，使得插值的结果更加准确。本文将介绍三次 样条插值法的原理、算法以及应用方面的指导意义。 首先，我们需要了解三次样条插值法的基本原理。三次样条插值 法通过在相邻数据点之间构造三次多项式来近似拟合原始数据。这些 三次多项式满足一定的光滑性条件，使得插值结果的曲线平滑而连续。在三次样条插值中，每个数据点都对应一个三次多项式，并且相邻多 项式之间的导数和二阶导数必须相等，以保证曲线的平滑性。 接下来，我们将介绍三次样条插值法的算法步骤。首先，我们需 要确定每个数据点对应的三次多项式。为了满足光滑性条件，我们需 要计算每个数据点处的导数值。这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程的个数等于数据点的个数。解得导数值之后，我们就可 以得到每个数据点对应的三次多项式的系数。 然后，我们需要利用这些系数来计算在数据点之间的插值结果。 为了实现这一点，我们可以利用三次多项式的性质，通过给定的数据 点和对应的三次多项式系数，来计算在两个相邻数据点之间的插值结果。 最后，我们需要通过合理的选择数据点以及插值节点的间距，来 获得更加准确的三次样条插值结果。一般来说，数据点的选择应尽量
满足曲线的变化趋势，以反映原始数据的特点。此外，插值节点的间 距也需要经过合理的选择，以保证插值结果的准确性。 三次样条插值法在实际应用中有着广泛的意义和指导价值。首先，它可以用于光滑曲线的拟合，将离散的数据点进行连续化处理，使得 数据的绘图和分析更加方便。其次，它可以用于数据的插值预测，通 过已有的数据点来预测未知数据点的取值。此外，三次样条插值法还 可以在数字图像处理中用于图像的平滑和插值填充，从而改善图像的 质量和美观度。 综上所述，三次样条插值法是一种有效的数值分析方法，可以用 于实现平滑曲线的拟合和数据的插值预测。通过了解其原理、算法以 及应用方面的指导意义，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而 提高数据处理和分析的准确性和效率。
三次样条算法
一、实验目的和要求 （1） 掌握三次样条方法的原理，加深对插值方法的理解。 （2） 理解三次样条在高次差值的逼近效果比多项式的优越性！ （3） 能构造出正确的算法结构并能实现具体问题的计算。 二、实验内容和原理 实验内容： 三次样条插值 解决具体问题：对于函数 ，取等距节点5,0,1,,10i i i x =-+= ， 设已给出节点上的函数值以及左右两个端点的一阶导数值，按上述算法进行样条插值。 实验原理： （1）、三次样条的定义： 设在[a,b]上有n+1个节点，f(xi)= yi,i=0,1,2,…,n 。若S3(x)满足 1) S3(x)在每个[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是不高于三次的多项式； 2) S3(x)， ， 在[a,b]上连续； 3) S3(xi)=yi(i=0,1,…,n)。 则称S3(x)为f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。 （2）、三次样条插值函数的边界条件： 待定系数个数：4n 已知条件： 补充条件：这两个条件通常在区间[a,b]的两个端点给出，称为边界条件 （3）、三次样条插值函数的求法： 21()1 f x x =+)('3x s )(' '3x s 3333333(),(0,1,)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)i i i i i i i i S x y i n S x S x i n S x S x i n S x S x i n ==??-=+=-??''-=+=-??''''-=+=-? 3011011i i+1i i i+1 20 212 021()()()()()...(1)h =x -x , x x x ()(1)(21)()(23) ()(1)()(1) i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y h m h m h h h h x x x x x x x x x x x x ??ψψ??ψψ++----=+++≤≤=-+=-+=-=-
(完整版)试求三次样条插值S(X)
给定数据表如下： 试求三次样条插值S（X），并满足条件： i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868; ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0； 解： 由给定数据知： h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h 1=0.39-0.30-0.09 h 2=0.45-0.39-0.06, h 3=0.53-0.45-0.08 由µ i=h i/(h i1+h i), λ i= h i/(h i1+h i) 得: µ1= 5/14 ; λ 1= 9/14 µ2= 3/5 ; λ 2= 2/5 µ3= 3/7 ; λ 3=4/7 0.25 0.5000 ﹨ ﹨ 1.0000 ∕﹨ 0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x 1 ] ﹨∕ 0.9540 ∕﹨ 0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x 2 ] ﹨∕
0.8533 ∕﹨ 0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x 3 ] ﹨∕ 0.7717 ∕﹨ 0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x 4 ] ﹨∕ 0.7150 ∕﹨ 0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x 5 ] ﹨∕ 0.6868 ∕ 0.53 0.7280 i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组 ┌┐┌┐ │ 2 1 │┌M 0 ┐│-0.9200 ︳ ︳5/14 2 9/14 ︳︳M ︳︳-0.7193 ︳ 1 ︳3/5 2 2/5 ︳︳M 2 ︳_6 ︳-0.5440︳ ︳ 3/7 2 4/7 ︳︳M ︳︳-0.4050 ︳ 3
三次样条插值法公式
三次样条插值法公式 三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过利用已知的数据点，构建出一个连续的光滑函数，从而对未知数据点进行估计或预测。 在介绍三次样条插值法之前，我们先来了解一下插值的概念。插值是指通过已知数据点之间的关系，推导出其他位置的数据点的过程。在实际应用中，经常会遇到需要估计或预测某些数据点的情况，这时候插值就派上了用场。 三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内分别构造一个三次函数来拟合数据点。这样做的好处是可以保证整个插值函数的连续性和光滑性。 具体而言，三次样条插值法的步骤如下： 1. 将插值区间分成n个小区间，每个小区间由两个相邻的数据点确定。 2. 在每个小区间内，构造一个三次函数，该函数满足通过该区间内的两个数据点，且在两个相邻小区间内的函数值、一阶导数和二阶导数均相等。 3. 根据这些条件，可以得到每个小区间内的三次函数的表达式。 4. 使用求解得到的三次函数，可以对未知数据点进行估计或预测。 三次样条插值法的优点在于，它能够在保持插值函数的光滑性的同
时，较好地拟合已知数据点，并且在插值区间内的误差较小。与其他插值方法相比，三次样条插值法能够更好地处理数据点之间的不连续性和异常值。 然而，三次样条插值法也存在一些限制和注意事项。首先，插值区间内的数据点必须是有序的，不能有重复值或乱序。其次，对于较大的插值区间，三次样条插值法的计算复杂度较高，可能会造成较大的计算开销。此外，三次样条插值法对于边界条件的处理也需要特别注意，常见的处理方式有自然边界条件和周期边界条件等。 三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过构造多个小区间内的三次函数，保证了插值函数的连续性和光滑性，能够较好地拟合已知数据点，并对未知数据点进行估计或预测。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的插值方法，以获得更准确、可靠的结果。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法详解 下面详细介绍三次样条插值方法的具体步骤： 1.数据准备：首先，需要获得一组数据点，这些数据点包含了所需插 值曲线的关键信息。通常情况下，数据点是从实际观测中获得的。 2.区间划分：将插值区间划分为若干个小区间，每个小区间对应一个 三次函数。 3. 函数构建：对于每个小区间，在该区间内构建一个三次函数。这 里使用三次多项式进行构建，形如 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。每个 小区间内的函数有四个待定系数：a、b、c、d。 4.条件设置：为了确定每个小区间内的函数，需要设置相应的条件。 一般来说，需要满足以下两个条件： (a) 函数值条件：保证每条小区间内的函数值通过对应的数据点。即，对于每个小区间，函数值满足 f(xi) = yi，其中(xi, yi)表示第i个数 据点的横纵坐标。 (b)导数条件：保证每个小区间内函数的导数连续。这可以通过限制 每个小区间内的函数的一阶导数（即斜率）相等来实现。 5.矩阵方程求解：根据上述条件设置，可以得到一个线性方程组，其 中待求的系数为未知数。将上述条件代入方程组中，然后求解该方程组以 获得每个小区间内的函数系数。 6.曲线绘制：通过得到的函数系数，可以计算每个小区间内的函数值，并连接这些函数值，最终得到整个插值曲线。
三次样条插值方法是一种非常强大和灵活的插值方法，适用于各种类型的数据点，包括均匀和非均匀间距的数据。通过调整划分区间的个数，可以控制插值曲线的光滑程度。一般来说，插值区间越多，插值曲线越平滑，但对输入数据的噪声更敏感。 总结起来，三次样条插值是一种高级的插值方法，通过构建三次函数来逼近数据点，可以产生平滑的插值曲线。它的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，并在每个小区间内构建一个三次函数。通过设置函数值条件和导数条件，可以得到一个线性方程组，从而求解出每个小区间内的函数系数。最终连接每个小区间内的函数值，得到整个插值曲线。
样条函数(三次样条)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。 1. 三次样条曲线原理 假设有以下节点 1.1 定义 样条曲线是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件： a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。 b. 满足（i = 0, 1, …, n ） c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。 所以n个三次多项式分段可以写作： ，i = 0, 1, …, n-1 其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。 1.2 求解 已知: a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n b. 每一分段都是三次多项式函数曲线 c. 节点达到二阶连续 d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界） 根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。 插值和连续性： , 其中i = 0, 1, …, n-1 微分连续性：
, 其中i = 0, 1, …, n-2 样条曲线的微分式： 将步长带入样条曲线的条件： a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 由此可得： d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 设，则 a. 可写为：
，推出 b. 将ci, di带入可得： c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得： 端点条件 由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。 a. 自由边界(Natural) 首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。具体表示为和 则要求解的方程组可写为： b. 固定边界(Clamped) 首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
三次样条插值的求解
三次样条插值的求解 摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。 关键字:三转角方程 三弯矩阵方程 0. 引言 1，三次样条函数 定义1：若函数2 ()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多 项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点 01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。若节点j x 上 给定函数值 () j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且 ()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1） 成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。 从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件
(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+ ''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种： (1) 已知两端的一节导数值，即 { ''00 ' ' ()()n n s x f s x f == （1.3） (2)两端的二阶导数已知，即 { ''''00'' '' ()()n n s x f s x f == （1.4） 特殊情况下的边界条件 ''''0()()0n s x s x == （1.4）’ 称为自然边界条件 （3）当()f x 是以0n x x - 为周期函数时，则要求()s x 也是周期函数，这时边界条件应满足 而此时式中 , 这样确定的样条函数 称为周期函数。 2.三转角方程 及相应的边界条件函数s(x)的表达式，若满足假定的 在节点 处的值为,再由，是 ,则由分段Hermite 插 值式
试求三次样条插值S(X)
试求三次样条插值S (X),并满足条件: i) S= S; ii) S” S'()=0； 解： 由给定数据知： h o = - , h 1= h 2= h 3= 由⑴=h i/(h il+h i), Ai= h i/(h il+h i)得: (n= 5/14 ; 入1= 9/14 2=(B/5 ; A2= 2/5 3= 3/7 ; 入3=4/7 \ \ / \ [x 0,x 0, x 1 ]
/ \ [x 0,x 1,x 2 ] \ / / \ [x1,x2,x 3 ] \ / / \ [x 2,x 3,x 4 ] \ / / \ [x 3,x 4,x 5 ] \ / / 节导数边界条件，弯矩方程组 i）已知 n 厂门
I 5/14 2 9/14 1 I M i I 1 1 I 3/5 2 2/5 M 2 _6 1 1 I 3/7 2 4/7 M 3 1 1 L 1 2 」L M 4」LJ 用追赶法解之得： M 0 = , M1 = , M 2 = M 3 = , M 4 = 三次样条插值函数为 厂x 3 - x2 + + ,x€ [,] I 3_ + x + ,x€ [,] S (x) = { 3- + + x€ [,] 3_ + + x€ [,] L ii) 已知二阶导数边界条件，M 0 _ M 4 = 0，弯矩方程组 厂2 9/14 0 n厂M i n 厂n I 3/5 2 2/5 | 1 M 2 I -6 I I L 0 3/7 2」L M 3」L J 用追赶法解之得： M1 = , M 2 = ，M 3 = 三次样条插值函数为 厂-60269x 3 + - + , x€ [,] I 3_ + x + ,x€ [,] S( x) = { x 3 + x2 + + ， x€ [,] 3 _x2 + x + ，x€ [,]
三次b样条的导数公式
三次b样条的导数公式 三次b样条是一种常用的插值曲线方法，它可以通过已知的数据点来构造一条平滑的曲线。在三次b样条中，导数的计算是一个重要的问题，因为导数可以提供曲线在不同点的变化率信息。本文将介绍三次b样条的导数公式及其应用。 三次b样条的导数公式可以通过插值多项式的求导来得到。对于给定的数据点(xi, yi)，我们可以通过插值多项式构造出一条平滑的曲线。在每个数据点处，曲线的导数应与已知的导数值相等。为了满足这个条件，我们需要在每个数据点处设置导数的约束条件。 对于每个数据点(xi, yi)，我们可以通过下面的公式来计算该点处的导数值： f'(xi) = (1/6h)(-M_{i-1} + 2M_i - M_{i+1}) 其中，h是相邻数据点的间距，Mi是第i个数据点处的导数值。 这个公式中的导数值可以通过求解一个三对角线方程组来获得。具体来说，我们可以将导数值表示为一个向量M=[M_0, M_1, ..., M_n]，其中n是数据点的数量。然后，我们可以通过解下面的方程组来求解M： 2M_0 + M_1 = (6/h^2)(y_1 - y_0) M_i-1 + 4M_i + M_i+1 = (6/h^2)(y_i+1 - y_i-1)
M_n-1 + 2M_n = (6/h^2)(y_n - y_n-1) 这个方程组可以使用常见的线性方程组求解方法来解决，如高斯消元法或追赶法。 通过计算导数公式，我们可以得到曲线上每个点的导数值，从而提供曲线在不同点的斜率信息。这对于许多应用非常重要，比如在图像处理中的边缘检测和曲线拟合中的拟合优度评估等。 需要注意的是，三次b样条的导数公式是基于已知的数据点进行计算的。如果数据点的数量较少或者分布不均匀，导数的计算可能会受到影响。在这种情况下，可以考虑使用其他插值方法或增加数据点的数量来提高导数的准确性。 总结起来，三次b样条的导数公式是通过插值多项式的导数计算得到的。通过计算导数公式，我们可以获得曲线在不同点的导数值，从而提供曲线的变化率信息。这对于许多应用非常重要，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
三次样条插值
三次样条插值
三次样条插值 1. 算法原理 由于在许多实际问题中，要求函数的二阶导数连续，人们便提出了三次样条插值函数，三次样条插值函数是由分段三次函数拼接而成的，在连接点处二阶导数连续。 设 S(x)在节点 i x 处的二阶导数) ,1,0()(''n i M x S i i ，⋯⋯==，其中i M 为待定参数。由S （x ） 是分段三次多项式可知， ) (''x S 是分段线性函数， ) (''x S 在子区间[] i i x x ,1 -上可以表示为 i i i i i i i i i i i i i i i i x x x M h x x M h x x M x x x x M x x x x x S ≤≤-+-=--+--= -------11 11111,)('' 其中1 --=i i i x x h ，对S （x ）两端积分两次得 ()i i i i i i i i i i i i x x x x x c x x b M h x x M h x x x S ≤≤-+-+-+-=-----111 113),(6)(6)()( 其中 i b 和 i c 为积分常数。由插值条件 ()i i i i y x S y x S ==--)(,11得 i i i i i i i i i i y h c M h y h b M h =+=+--6 ,62 112 由此解得 i i i i i i i i i i h M h y c h M h y b /6,/62 121⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-- 代入得：
()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x h x x M h y h x x M h y M h x x M h x x x S ≤≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=------112 1213 11 3 ,6666 求导得： ()()()i i i i i i i i i i i i i i x x x h M M h y y M h x x M h x x x S ≤≤---+ -+--=-----11 12 11 2 ,6 22' 令i x x =得()x S 在i x 处的左导数 ()i i i i i i i i i i i i i i i h y y M h M h h M M h y y M h x S 1 1113662 '----- -++=---+ = 又令1 -=i x x 得()x S 在1 -i x 处右导数 ()i i i i i i i i i i i i i i i i h y y M h M h h M M h y y M h x S 1 111116362'------+-+--=---+- =， 从而有1 1111 63 )('++++++ -+- -=i i i i i i i h y y M h M h x S ，由()x S 在节点i x 处 一阶导数的连续性知1,2,1),(')('-⋯⋯==+ - n i x S x S i i ，，即 1,2,16361 111111-⋯⋯=---=+++-+++++-n i h y y h y y M h M h h M h i i i i i i i i i i i i i ，， 两端同乘 1 6 ++i i h h 得 ) (6 2111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i h y y h y y h h M h h h M M h h h -++++++-+---+=++++， 记 i i i i i i i i i h h h h h h μλμ-=+=+= +++1,1 1 1， 1,,2,1],,,[66111111-⋯⋯==⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---+=+--+++n i x x x f h y y h y y h h d i i i i i i i i i i i i ，则关于i M 的方程组写成1 ,2,1,211 -⋯⋯==+++-n i d M M M i i i i i ，λμ。