人教版九年级下册数学《解直角三角形》典型例题

解直角三角形典型例题

例1、在ABC中, ∠C = 90︒, , 求ctg B。

解: 方法一, 设∠A对边BC = 2a, 斜边AB为3a, 由勾股定理, AC = , 由三角函数的定义, ctg。

方法二;

∵, 由同角三角函数关系式, , 得, 则

。又∵∠A与∠B互为余角, ∴sin A = cos B, tg A = ctg B, ∴ctg B = tg A =

。

说明: 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时, 用小三角形法, 即方法一是比较简单的, 因为三角函数的定义是比值, 因此可设一份为一个常量, 设出比值, 再去计算。用同角三角函数关系式计算也应当会, 只是计算起来麻烦一些。

例2、在ABC中, ∠C = 90︒, tg A的周长为45cm, 求BC的长。

解: 设BC = 12x, AC = 5x, 则AB = 13x, 则题意, 12x + 5x + 13x = 45cm, 30x = 45,

∴x = , ∴BC = (cm)

例3、在ABC中, ∠C = 90︒, , 求∠A及。

解: ∵∠C = 90︒,

∴tg A, 又∵∠A为锐角, ∴∠A = 30︒,

∴。

说明: 当已知边求角时, 可利用三角函数的定义, 这里已知两直角边, 可以求锐角的正切或余切值, 再去求角。

例4、求值:

分析: 所给的三角函数中, 只有45︒的三角函数是特殊角的三角函数值, 其它都不是特殊的三角函数值, 应当分析这些三角函数值之间的关系, 由分析可以看出37︒与53︒角互为余角, 因为互为余角的余函数相等, 因此tg48︒与ctg42︒也相等, 再进行计算就可以了。

说明: 互为余角余函数相等的结论, 可用于角的转化, 通过转化, 才能找到解题的思路, 才能找到解决问题的突破口, 这也是提高自己解题能力的一个重要方面。因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做。

例5、在ABC中, ∠ACB = 90︒, AB = 6, CD⊥AB于D, AD = 2, 求∠A的正弦值。

分析: 由已知, ∠ACB = 90︒, CD⊥AB于D, 这在几何中是个很典型的几何图形, 这个图形中, 有∽, ∽, ∽, 还有∠BCD = ∠A, ∠ACD = ∠B等, 因此求∠A的正弦值, 可以用角的代换, 即求∠BCD的正弦, 或通过相似求边再求∠A的正弦。

解: 方法一, ∵∠ACB = 90︒, CD⊥AB于D,

∴∽, AC2 = AD·AB, AC2 = 2×6, ,

∴

∴。

方法二, ∠A与∠BCD同为∠ACD的余角,

∴∠A = ∠BCD

∵BD = 6－2 = 4, ∽,

BC2 = 4×6, BC = 2。

∴。

例6、已知a = sin20︒, b = sin40︒, 则下列正确的是

A．2a < 1 <2b

B．2a > 1 > 2b

C．1 > 2a > 2b

D．1 < 2a < 2b

分析: 从已知出发思考不太好想, 但换个角度, 从结论出发去想, 看a、b间的联系, 将各项除以2, 结论为A、, B、, C、, D、。因为a = sin20︒, b = sin40︒, 因此可想成sin30︒, 由正弦函数当角从0︒到90︒间是函数随角的增加而增加, 从

而确定要选定的结果。

解: 由正弦函数的增减性, 得, 即, ∴2a < 1 < 2b

应选A。

说明: 思考问题的方法, 可以从已知去想, 也可以从结论倒推去想, 只有不断变化转化各种思考问题的方式, 才不会死板的解决问题, 而变得更加灵活了。

例7、等腰三角形两边长分别为10, 13, 求底角的余弦。

分析: 等腰三角形两边长为10, 13, 没有具体指明是腰还是底, 通过分析, 10可以做腰, 10也可以做底, 这样区分两种情况分别求底角的余弦, 辅助线可以做底边上的高, 这样就构造出直角三角形了。

解: 情况一, 若腰为10, 底为13, 做底边上的高后, 将底边分为各为6.5的两部分。

设底角为。

若情况二, 腰为13, 底为10, 做底边上的高以后, 将底边分为各为5的两部分, 则底角余弦为。

说明: 由于题目中所给的条件不明确, 所以应当分两种情况进行讨论, 分类讨论的思想, 也是很重要的一种数学思想, 它要求我们思考问题应当全面, 不可以重复也不可以漏掉。

有关等腰三角形的问题, 底边上的高是常加的辅助线之一, 因为等腰三角形底边上的高也是底边的中线, 也是顶角的平分线, 这样可以把等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题去解决。

例8、从1.5米高的侧高仪上, 测得塔顶仰角为45︒, 向塔前进10米, 又测得塔顶仰角为60︒, 求塔高。

分析: 由实际测量问题画出示意图, 即已知∠ABC = 45︒, ∠ADC = 60︒, BD = 10, ∠ACB = 90︒, 塔高即AC + CE, CE为1.5米,

解: 设AC为x, ∵∠ABC = 45︒, ∴AC = BC = x, 又∵∠ADC = 60︒, ctg60︒, ∴

由题意

∴

∴

答: 塔高为米。

例9、我国领海权12海里, 在东西方向平直海岸线上相距18.9海里有A、B两个雷达站, 同时测得一外国军舰K, K在A的北偏东30︒, K在B的北偏西45︒, 问是否要向敌军舰发出警告？。

分析: 由题意画出示意图, 求出K到AB的距离, 再根据题意确定。

解: 做KC⊥AB于C, 设KC为x, 则BC = KC = x, 在Rt ACK中, ∠KAC = 60︒,

ctg60︒, ∴

答: K与AB距离小于12, 应当发警告。