椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质
观察椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+的图形，归纳总结椭圆的几何性质并作简单证
明；
1、范围：椭圆在直线a x ±=和直线b y ±=围成的矩形区域内；
2、对称性：椭圆的对称中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点所在的直线和焦点连线的中垂线；
3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点就是椭圆的顶点，椭圆()
0122
22＞＞b a b
y a x =+的顶点有四个：()01，　a A -，()02，　a A ，()b B -，　01，()b B ，02，其中2
121B B A A 、分别叫做椭圆的长轴和短轴，其长度分别为b a 22、　
；b a 、分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；
4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a
c
e =叫做椭圆的离心率；∵ 0＞＞c a ，∴ 10＜＜e ，
① 当e 趋近于1时，c 趋近于a ，b 趋近于0，因此椭圆越扁平； ② 当e 趋近于0时，c 趋近于0，b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆； 课堂练习：
1、椭圆
19
2522=+y x 与()9012592
2＜＜k k y k x =-+-( B ) (A) 有相等的长、短轴； (B) 有相等的焦距； (C) 有相同的焦点； (D) 有相同的准线；
2、中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为( )
(A)
1728122=+y x ； (B) 19812
2=+y x ； (C)
1458122=+y x ； (D) 136
812
2=+y x ；
3、若椭圆的一个焦点与长轴的两个短点的距离之比为32∶，则椭圆的离心率为 ；
4、若椭圆
1552
2=++m
y x 的离心率为21，则m 的值为 ．
第二课时：
椭圆的第二定义
已知点()y x M ，到定点()0，　c F 的距离与它到定直线c
a x l 2
=
：的距离之比是常数()0＞＞c a a
c
，求点M 的轨迹方程；
解：由题意得：
()a
c x c
a y c x =
-+-2
2
2， 去分母，两边同时平方得：
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-222422222x x c a c a a c y c x 即：()()
22222222c a a y a x c a -=+-，
设2
2
2
b c a =-，上式可化为：()0122
22＞＞b a b
y a x =+，
这就是长轴为a 2，短轴为b 2，焦点在x 轴上的椭圆；
当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数()10＜＜e a
c
e =时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的一个焦点，定直线叫做
椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率；
对于椭圆()012222＞＞b a b
x a y =+，相应于焦点()c F ，0的准线是c a y 2
=，相应
于焦点()c F -，　0的准线是c
a y 2
-=，当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的两条准
线平行于y 轴；
例1、 求椭圆1422=+y x 的长轴、短轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率和准
线方程 解：由14
122=+y x 得：1=a ，21=b ， ∴ 椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±230，　
， 顶点为()10±，　和⎪⎭
⎫
⎝⎛±021，　，离心率23=
e ， 准线方程为3
3
2±=y ；
例2、已知椭圆的焦点为()101-，　F ，()102，　F ，直线4=y 是它的一条准线，P 是椭圆上一点，且112=-PF PF ，求21PF F △的面积；
解：∵ 1=c ，42
==c
a y ，∴ 42=a ，3222=-=c a
b ， 故椭圆的标准方程为：13
42
2=+x y ， 设()11y x P ，，由112=-PF PF 得：()()111=+--ey a ey a ，
又21=
e ，2=a ，解得：11-=y ，代入椭圆方程得：2
31±=x ， ∴ 2
3
232212112121=⨯⨯=⋅=x F F S PF F △；
注：焦点在x 轴上的椭圆上一点()00y x P ，的焦半径为：0ex a ±；
焦点在y 轴上的椭圆上一点()00y x P ，的焦半径为：0ey a ±；
例3、已知椭圆13
42
2=+y x 内有一点()111-，　P ，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+的值最小，求点M 的坐标；
解：设点M 在右准线上的射影为点N ，由椭圆方程知：2=a ，3=b ，1=c ，
2
1=e ，
由椭圆的第二定义知：21
==e MN MF ， ∴ MF MN 2=，MN MP MF MP +=+2， 当N M P 、、三点共线时，MN MP +有最小值，
过点P 作准线的垂线1-=y ，由方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-==+1
y 1342
2y x
解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==1y 36211x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1
y 36
222x (舍去)，
∴ 点M 的坐标为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-1362，　． 三、课堂练习： 补充练习：
1、设P 为椭圆
136
0012
2=+y x 上一点，P 点到左准线的距离为10，则P 点到右准线的距离为( )
(A) 6； (B) 8； (C) 10； (D) 15；
2、椭圆
136
0012
2=+y x 上一点P 到左准线的距离为10，则点P 到右焦点的距离为( )
(A) 15； (B) 12； (C) 10； (D) 8；
3、已知椭圆
19
42
2=++y m x 的一条准线方程是29=y ，则m 的值为( ) (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 7；
4、如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线l 交OA 于点B ，Q P 、在椭圆上，l PD ⊥于点D ，AO QF ⊥于点F ，设椭圆的离心率为e ，则①
PD PF e =；②BF QF e =；③ BO AO e =；④ BA AF e =；⑤ AO FO e =；其中正确结论
的个数是( )
(A) 2个； (B) 3个； (C) 4个； (D) 5个；
5、若椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )
(A) 45°； (B) 60°； (C) 90°； (D) 120°；
6、中心在原点，离心率为3
6
，且一条准线方程为3=y 的椭圆方程
是 ；
7、求两对称轴都与坐标轴重合，离心率54=
e ，焦点与相应准线的距离等于4
9
的椭圆方程．
作业布置：
教材第49页：习题2.2A 组第9题．
第三课时：
椭圆的几何性质的运用
例1、求证：椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+上任意一点()00y x P ，与焦点所连两条线
段的长分别为0ex a ±；
证明：设椭圆的左右焦点分别为()()0021，　，，　c F c F -，则
()()02
020
2222
022
2
02
2
012_x a c a a cx x a
c a x a b c x y c x PF +=++=-⋅+=++=， ∵ a x a ≤≤-0，则00＞c a x a
c
a -≥+
∴ 001ex a x a
c
a PF +=+=，
又∵ a PF PF 221=+，
∴ ()0022ex a ex a a PF -=+-=
注：(1) 21PF PF 、　都叫做椭圆的焦半径，它们的取值范围都是[]c a c a +-，；
(2) 同理可证：椭圆()0122
22＞＞b a b
x a y =+的焦半径分别为0ey a ±；
(3) 也可以运用椭圆的第二定义证明此结论，已达到简化运算的目的；
例2、已知点P 在圆()
142
2
=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆14
22
=+y x 上移动，求PQ 的最大值；
解：设椭圆上一点()y x Q ，，又点()40，　C ，则、
()()
()2
2
2
2
2
4414QC x y y
y =+-=-+- 2
2476
3820333y y y ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭
，
∵ 11≤≤-y ，
∴ 当1-=y 时，QC 有最大值5， 故PQ 的最大值为6；
例4、已知椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+与x 轴的正半轴交于点A ，O 是坐标原点，
若椭圆上存在一点M 使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围； 解：设()y x M ，，由MO MA ⊥得：
2
2
222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x ，即022=+-y ax x ，
方程组⎩⎨⎧=+=+-2
22222220
b
a y a x
b y ax x 的解为点M 的坐标， 消去y ，整理得：()0223222=+--b a x a x b a ， 即：()[]
()0222=---a x ab x b a
∴ a x =1，22
2c
ab x =，
∵ 当a x =时，M 为椭圆的右顶点，
∴ a c ab ＜＜22
0，即22c b ＜，
∴ 22＞e ，又1＜e ，故12
2
＜＜e ．
三、课堂练习： 补充练习：
1、如图，在AFB △中，=∠AFB 150°，32-=AFB S △，则以
F 为焦点，B A 、为顶点的椭圆的标准方程为12
82
2=+y x ；
2、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21F F 、，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-553553，　； 3、如果椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值为
2
3
，那么椭圆长半轴长的取值范围是(]21，　
； 4、若椭圆两焦点为()()040421，　、，　F F -，点P 在椭圆上，且21F PF △的最大面
积为12，则椭圆的方程为
19
252
2=+y x ； F
B A O
y x
5、已知F 是椭圆()0222222＞＞b a b a y a x b =+的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF △面积的最大值为( D )
(A) ab 2
1
； (B) ab ； (C) ac ； (D) bc ；
6、已知()00y x M ，是椭圆
116
252
2=+y x 上的任意一点，已过点M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆的长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是( A )
(A) 内切； (B) 内含； (C) 相交； (D) 相离． 四、课堂小结：
在本节教学内容中，利用已知条件求离心率的值或取值范围难度较大，学生分析、转化条件，建立a 与c 的关系以及运算能力要求都比较高，可适当增加此类基础题型的训练． 五、作业布置：
优化设计第103～104页：随堂练习和强化训练全做． 补充作业：
1、设P 是椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+上的任意一点，求点P 到椭圆两焦点2
1F F 、距离之积的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点P 的坐标；
答案：当()b P -，　0或()b P ，0时，21PF PF ⋅取最大值为2
a ； 当()0，　a P -或()0，　a P 时，2
1PF PF ⋅取最小值为2
b ； 2、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
230，　P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标；
答案：1422=+y x ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-±213，　P ．
第四课时：
直线与椭圆的位置关系
例1、中心在原点，一个焦点为()
2501，　F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中
点横坐标为2
1
，求椭圆的方程；
解：设椭圆的方程为()0122
22＞＞b a b
x a y =+，
由()
2501，　F 得：()15022⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-b a ，
把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得：
()()
0412*******
=-+-+a b x b x b a
；
设弦的两个端点为()()2211y x B y x A ，、，，则：2
22
21912b
a b x x +=+，
∵ AB 的中点的横坐标
2
1
221=+x x ， ∴ 21
962
22=+b
a b ，即()2322⋅⋅⋅⋅⋅⋅=b a ， 由(1)、(2)解得：752=a ，252=b ，
故所求的椭圆方程为
125
752
2=+x y ；
例2、过椭圆14
162
2=+y x 内一点()12，　M 引一条弦，使弦被点M 平分，求弦所在直线的方程；
解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：
()()
()01612428142
222
=--+--+k x k k x k
，
设直线与椭圆的交点为()()2211y x B y x A ，、，，则：()
1
4282221+-=+k k
k x x ，
∵ M 为AB 的中点，则22
2
1
=+x x ， ∴ ()
21
4242
2=+-k k
k ，解得：21-=k ， 故所求直线的方程为042=-+y x ；
解法二：设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12，　M ，则另一个交点为()y x B --24，　， ∵ B A 、两点都在椭圆上，
∴ ()()()()⎩⎨⎧⋅⋅⋅=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+21624411642
222y x y x ()()21-得：042=-+y x ，
故所求直线的方程为042=-+y x ；
例3、设椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 相交于B A 、两点，C 是AB 的中点，
如果22=AB ，OC 直线的斜率为2
2
，试确定椭圆的方程； 解：直线OC 的方程为x y 2
2
=
， 由⎪⎩⎪⎨⎧
=+=1
22y x x y ，解得()
1222--，　C ， ∵ 22=AB ，C 为AB 的中点，
∴ 点B A 、都在圆()[]()[]2122
22
2
=--+--y x 上，
由(
)[]()[]⎪⎩
⎪⎨⎧=+=--+--12
12222
2y x y x 解得：⎩⎨⎧=-=22111y x ，⎩⎨
⎧-=-=222322y x ， ∴ (
)221，　-A ，()
2223--，　
B ，代入椭圆方程122=+ny mx ，得：
(
)
()
(
)
(
)
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1
222312212
22
2
n m n m ，解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==3231n m ， ∴ 所求的椭圆方程为13
232
2=+y x ．
三、课堂练习与家庭作业： 补充练习：
1、如果椭圆19
362
2=+y x 的弦被点()24，　P 平分，那么这条弦所在的直线方程为( D )
(A) 02=-y x ； (B) 042=-+y x ； (C) 01232=-+y x ； (D) 082=-+y x ；
2、若直线1+=kx y 与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则m 的取值范围为( C ) (A) ()10，　； (B) ()50，　； (C) [)()∞+，　，　551 ； (D) ()∞+，　1； 3、过点()02，　-M 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 交于21P P 、两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于( D )
(A) 2； (B) 2-； (C) 21； (D) 2
1
-；
4、过椭圆4222=+y x 的左焦点作倾斜角为3
π的弦AB ，则弦AB 的长为716
；
5、求与椭圆14
92
2=+y x 相交于B A 、两点，并且线段AB 的中点为()11，　M 的直线方程；
答案：01394=-+y x ；
6、已知椭圆
120
452
2=+y x 的焦点分别是21F F 、，过中心O 作直线与椭圆相交于B A 、两点，若要使2ABF △的面积是20，求该直线的方程； 答案：034=±y x
7、已知直线m x y l +=2：，椭圆14
22
=+y x C ：　，(1) 当m 为何值时，直线l 与
椭圆C 有两个不同的交点？没有交点？
(2) 当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截得的弦长为17
20
？
答案：(1) ()1717，　-∈m ；()()
∞+-∞-∈，　，　1717 m ； (2) 32±=m ． 四、课堂小结：
在解决椭圆与直线的位置关系问题时，注意与解决圆与直线的位置关系问题的方法进行类比掌握．。