概率论教案

第一章随机事件及概率
第一节随机事件
教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系及运算，了解其运算规律。

教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系及运算。

教学难点：事件（关系、运算）及集合的对应，用运算表示复杂事件。

教学内容：
1、随机现象及概率统计的研究对象
随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。

研究现象：概率论及数理统计研究随机现象的统计规律性。

2、随机试验（E）
对随机现象的观察。

特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。

3、基本事件及样本空间
（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。

（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。

4、随机事件
（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。

用A、B、C等表示。

（2）随机事件的集合表示
（3）随机事件的图形表示
必然事件（ ）和不可能事件（E）
5、事件间的关系及运算
（1）包含（子事件）及相等
（2）和事件（加法运算）
（2）积事件（乘法运算）
（3）互斥关系
（4）对立关系（逆事件）
（5）差事件(减法运算)
6、事件间的运算规律
（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律
教学时数：2学时
作业：习题一1、2
第二节概率的定义
教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。

教学难点：古典概率的计算，频率性质及统计概率。

教学内容：
1、概率
用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。

2、古典型试验及古典概率
（1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。

（2）古典概率，在古典型试验中规定
P(A)=
n
k
A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数
3、几何型试验及几何概率 （1）几何型试验
向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生)的概率及1G 的度量成正比，而及1G 的位置和形状无关。

（2）几何概率。

在几何型试验中规律定
P(A)=
的度量
的度量
G G 1
4、频率及统计概率 （1）事件的概率
设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值n
r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n
r
A f n =)( （2）频率的性质 ○
11)(0≤≤A f n ；○
21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ；
○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+；
○
5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n
（3）统计概率，规定
P(A)=P
（4）统计概率的计算
n
r
A p ≈
)( (n 很大)
5、概率的基本性质
从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）0)(=φP
（4）若AB=φ，则)()()(B P A P B A p +=+ 教学时数：2学时
作 业：习题 一 4、7、8、11 第三节 概率的公理化体系
教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。

教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。

教学难点：用概率基本公式计算概率。

教学内容：
1、概率的公理化定义
（1）为什么要用公理定义概率
○1数学特点 ；○2深入研究的需要；○3是第二节中三种特殊形式的扩展。

（2）定义
设A 为随机试验E 中的任何事件，如果函数P(A)满足 公理一(范围) 01)(≤≤A P ； 公理二(正则性) 1)(=ΩP ；
公理三(可列可加性)。

若可列个事件 n A A A A 321,,两个互斥，则
则称P(A)为事件A 的概率。

2、概率的性质
从公理出发，可以严格证明 性质1：0)(=φP
性质2：若事件 n A A A A 321,,两两互斥，则)()(1
1
∑∑===n
n i n
n i A P A p
性质3：对任何事件A ，)(1)(A P A P -= 性质4：若P(A)-P(B)B)-P(A ,=⊂则B A
性质‘
4 P(AB)-P(B)A)-P(B )A P(B ==
注：○1P(AB)-P(A)B)-P(A )B P(A == ○2)()(B P A P B A ≤⊂
性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)
注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展 教学时数：2学时
作 业：习题一 15、16
第四节 条件概率，乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式 教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。

使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。

教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。

教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。

教学内容： 1、条件概率
（1）实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书20p 例，在具体问题求条件概率。

（2）定义：若P(B)>0，称
为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率。

2、概率的乘法公式 (1) )()()(B A P B P AB P ⋅=
(2) )()()()(AB C P A B P A P ABC P =
(3) ()12121312121)()()()(-=n n n A A A A P A A A P A A P A p A A A P 3、概率的全概率公式及贝叶斯公式
(1)看书23p 。

例3 分析和解决看两公式的实际背景。

(2) 定理
1 设事件
n
A A A A 321,,两两互斥，且
)
,2,1(0)(n i A P i =>，对于任何事件B ，若B
A n
i i
⊃∑=1
，则有
)()()(1
∑==n
i i i A B p A P B p (全概率公式)
(3) 定理2 ，定理1中的事件中，又0)(>B P ，则有
=
)(B A P m ∑=n
i i
i
m m A B p A P A B p A P 1
)
()()
()( (m=1,2,n )(贝叶斯公式)
教学时数：2学时
作 业：习题一 12、14、17、18 第五节 独立试验概型
教学目的：掌握独立性的概念。

会判断数乘的独立性并进行概率计算；掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。

教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型及贝努里概型意义的正确理解。

教学内容：
1、两事件的独立性
定义1 对任意两事件A ，B ，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A 、B 相互独立。

2、两事件独立的性质
若事件A 及B 独立，则事件A 及B ，B 与A ，B 与A 都相互独立。

3、三事件的独立性
定义 2 设有事件A 、B 、C ，若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C)，则称事件A ，B ，C ，两两相互独立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A ，B ，C 相互独立。

4、n 个事件的独立性
定义3、设有事件n A A A A 321,,，若()s
i i i
A p A p A P )()(21
其中
(s i i i ,,,21 )为(1,2，)n 中任意S 个不同的数。

（2,3,,s n =）则事
件n A A A A 321,,相互独立。

5、独立情况的概率公式
定理1．设事件n A A A A 321,,相互独立，则 （1）11
()()n
n
i i i i P A P A ===∑∑
（2）1
1
()1()n
n
i i i i P A P A ===-∑∑
定理2、若事件,,A B C 独立，则A B AB A B +-、、分别及C 独立。

6、贝努里概型
（1）贝努里试验：只有两个结果（A 和A ）的试验。

（2）n 重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复n 次。

也称贝努里概型。

7．二项概率公式
在n 重贝努里试验中，时间A 恰好发生k 次的概率为 教学时数：2学时
作 业：习题一 19、23、26、27、28
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及分布函数
教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，
掌握随机变量的分布函数的概念和性质。

教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。

教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。

教学内容：
1．随机变量的概念
（1）引入随机变量的目的
深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。

（2）定义
定义1、设随机试验的样本空间为Ω，若ω∀∈Ω，有一个实数
()ξω及之对应，则()ξω称为随机变量，并简记为ξ。

2．事件的表示
（1）对ξ的取值加上<>=≠、、、形式的限制条件。

（2）S 为一个数集。

{}S ξ∈ 3．概率分布
（1）随机变量ξ取得概率的点及其数量的分布情况。

（2）可用ξ的概率分布确定ξ表示的事件的概率 （3）两个大的类型：
离散型随机变量及连续型随机变量 4．分布函数
（1）定义2、设有随机变量ξ，对于任何实数x ，称概率()P x ξ≤为随机变量ξ的分布函数。

记为()()()F x P x x ξ=≤-∞<<+∞
（2）分布函数的几何意义
落在数轴x 点左侧（含x 点）处概率的数量。

（3）,()()()a b P a b F b F a ξ∀<≤≤=- 5．分布函数的性质 （1）0()1F x ≤≤
（2）()0,()1F F -∞=+∞=
（3）()F x 是单调不减函数，a b ∀<则()()F a F b ≤ （4）()F x 是右连续函数，即,(0)()x F x F x ∀+= 教学时数：2学时 作 业：习题二5
第二节 离散型随机变量及其概率分布
教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；掌握四种常见的离散性分布。

教学重点：离散型随机变量的概率分布；01-分布、二项分布、泊松分布、超几何分布四种常见分布。

教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布及所描述试验的对立性。

教学内容：
1．离散型随机变量
如果随机变量ξ的所有可能取值只有有限个或可列个，则称ξ为一个离散型随机变量。

2．概率分布
ξ取值：12,,
,,
i x x x
（1）图形表示 （2）公式表示 （3）表格表示
3．概率分布的基本性质
（1）0,1,2,i p i ≥=
（2）11i i p ∞
==∑
4．确定概率 5．求分布函数
()i i x x
F x p ≤=∑（阶梯型函数）
6．常见的离散型分布 （1）01-分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （3）超几何分布 教学时数：2学时
作 业：习题二 3、6、7、9
第三节 连续型随机变量及其概率密度函数
教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；掌握均匀分布和指数分布。

教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指
数分布。

教学难点：正确理解概率密度函数 教学内容：
1．连续型随机变量及其概率密度的定义
（1）说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分布的不可行性。

（2）连续取值随机变量的概率（线）密度 （在分布函数()F x '的可微点处） （3）定义
设随机变量ξ的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数()f x ，使得ξ的分布函数
()()()()F x P x f t dt x ξ+∞-∞
=≤=-∞<<+∞⎰
则称ξ为一个连续型随机变
量。

()f x 称为ξ的概率密度函数（或分布密度函数）
2．()f x 的性质
（1）()f x 相当于离散型概率分布中的i p 。

（2）基本性质 ○
1()0f x ≥；○2()1f x dx +∞
-∞=⎰
（3）,()()b a
a b P a b f x dx ξ∀<<≤=⎰ （4）几何意义
（5）,()0a P a ξ∀==，从而
（6）()()f x F x '=（在()f x 的连续点处）
（7）()F x 是连续函数。

3．两个常见的连续函型分布 （1）均匀分布 （2）指数分布 教学时数：2学时
作 业：习题二 11、14、15、16 第四节 正态分布
教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、特点，标准正态分布，正态分布中的概率计算。

教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算（查表）
教学难点：对正态分布的正确理解 教学内容： 1．正态分布
（1）定义：如果随机变量ξ
的概率密度为
()()2
2
2()x f x x μσ--
=
-∞<<+∞，其中μ，σ>0为常数，则称ξ服从
于参数为μ和2σ的正态分布，记为2~(,)N ξμσ
（2）实际问题中正态分布非常广泛和常见。

（3
）22
t e
dt +∞
--∞=⎰()1f x dx +∞
-∞
=⎰
（4）正态分布的分布函数 2．正态分布的概率密度曲线
3．标准正态分布
（1）0,1μσ==时的正态分布，记为(0,1)N （2）分布函数 （3）()x Φ的性质
○1()x F x μσ
-⎛⎫
=Φ ⎪⎝⎭
；○
2()1()x x Φ-=-Φ 4．概率计算（查表）
当0x ≥时，()x Φ可查表求得函数值。

（1）~(0,1)N ξ
○
1()()P b b ξ<=Φ；○2()()()P a b b a ξ≤≤=Φ-Φ；○3()2()1(0)P c c c ξ<=Φ->
（2）2~(,)N ξμσ，()()(
)b a P a b μ
μ
ξσ
σ
--≤≤=Φ-Φ
教学时数：1学时
作 业：习题二 12、18 第五节 随机变量函数的分布
教学目的：掌握求离散型和连续型随机变量函数的概率分布的方法；掌握正态分布的两个重要性质。

教学重点：离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布；正态分布的两个重要性质。

教学难点：连续型随机变量函数的分布 教学内容：
1．离散型随机变量函数的分布
（1）举例1（P62）。

说明基本方法，总结归纳一般方法。

（2）ξ的分布为(),1,2,i i P x p i ξ===；12():,,
,,
i g y y y ξ则
()g ςξ=的分布为()(),1,2,
i i
j i g x y P y p j ς===
=∑
2．连续型随机变量函数的分布
设ξ的概率密度为()f x ，求()g ςξ=的概率密度 （1）分布函数法
○
1()()()(())()g x y
F y P y P g y f x dx ςςξ≤=≤=≤=⎰
○2()()f y F y ςς'=，（连续点处） （2）单调变换法
当()y g x =单调、连续、可导时，其反函数()x h y =存在且单调、连续、可导，则
3．两个重要结论 （1）2~(,)N ξμσ，则
~(0,1)N ξμ
σ
-，一般地22~(,)(0)a b N a b a a ξμσ++≠
（2）22~(0,1),~(1)N ξξχ 教学时数：1学时
作 业：习题二、1，13
第三章 多维随机变量
第一节 多维随机变量及其分布函数
教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质。

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数
及其性质。

教学难点：正确理解多维随机变量及其分布函数。

教学内容：
1．多维随机变量的定义 定义1、如果12,,
,n ξξξ是定义在样本空间Ω上的n 个随机变
量，则这n 个随机变量的整体（12,,,n ξξξ）称为n 维随机变量，也
称为n 元随机变量或n 元随机向量。

2n =时，二维随机变量记为(,)ξη
2．事件表示
二维数集22S R ⊂，事件表示为{}2(,)S ξη∈ 3．二维随机变量的分布函数
定义2、设有二维随机变量(,)ξη，对于任何实数x 和y ，称概率(,)P x y ξη≤≤为(,)ξη的（联合）分布函数，记为
(,)(,)(,)F x y P x y x y ξη=≤≤-∞<<+∞
4．二维随机变量分布函数的性质 （1）0(,)1F x y ≤≤
（2）(,)0,(,)0,(,)0,(,)1,F y F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞= （3）(,)F x y 关于变量x 和y 分别为不减函数。

（4）(,)F x y 关于变量x 和y 分别为右连续函数。

（5）1212,x x y y ∀<∀<，有22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 教学时数：2学时 作 业：
第二节 离散型二维随机变量
教学目的：掌握离散型二维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分布，会求这三种分布。

教学重点：离散型二维随机变量及其联合概率分布，边缘分布，条件分布，概率计算问题。

教学难点：正确理解联合分布，边缘分布，条件分布。

教学内容：
1．离散型二维随机变量
对于二维随机变量(,)ξη，如果分量ξ和η都是离散型随机变量，则称(,)ξη为离散型二维随机变量。

2．联合分布
ξ取值：12,,
,,
i x x x η取值：12,,,,
j y y y
(,),,1,2,
i j ij P x y p i j ξη====称为(,)ξη的联合概率分布。

注：也可以列成表格形式 3．边缘分布
(,)ξη中两个分量ξ和η的分布称为(,)ξη的边缘分布，可由联合
分布来确定。

（1）1(),1,2,
i ij i j P x p p i ξ∞
∆
=====∑
（2）1
(),1,2,
i ij j i P y p p j η∞
∆
=====∑
注：可以在表格形式的联合分布上行列分别相加得到。

4．条件分布
（1）i y η=固定时，ξ的条件分布为：
(|),1,2,
(1,2,)ij i j j
p P x y i j p ξη===
==
（2）i x ξ=固定时，η的条件分布为：
(|),1,2,
(1,2,)ij j i i
p P y x j i p ηξ===
=
=
注：条件分布可在表格上利用某一行（或列）上计算得到。

教学时数：2学时
作 业：习题三 2、3 第三节 连续性二维随机变量
教学目的：掌握连续型二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布；掌握二维均匀分布和二维正态分布。

教学重点：连续型二维随机变量的概念及联合分布、边缘分布、条件分布；二维均匀分布和二维正态分布。

教学难点：正确理解三种分布；求分布和概率时所涉及的积分计算。

教学内容：
1．定义及联合分布
（1）定义1、对于二维随机变量(,)ξη，如果存在非负函数
(,)f x y ，使得(,)ξη的分布函数(,)(,)(,)x y
F x y P x y f s t dsdt ξη-∞-∞
=≤≤=⎰
⎰
，
则称(,)ξη为连续型二维随机变量，其中(,)f x y 称为(,)ξη的联合概率分布函数。

（2）(,)f x y 为(,)ξη在(,)x y 点处分布概率的面密度。

2．(,)f x y 的性质 （1）对比性
○
1及一维情况对比，(,)f x y 相当于()f x ； ○
2及离散情况对比，(,)f x y 相当于ij p （2）基本性质 ○
1(,)0f x y ≥，○2(,)1f x y dxdy +∞
+∞
-∞-∞=⎰⎰
（3）设D 为任何平面区域，则[](,)(,)D
P D f x y dxdy ξη∈=⎰⎰
（4）2(,)
(,)F x y f x y x y
∂=∂∂，（在(,)f x y 的连续点处）
3．边缘分布
连续型二维(,)ξη的边缘分布为连续性的。

可由其联合密度
(,)f x y 确定。

（1）关于ξ的边缘分布密度1()(,)f x f x y dy +∞
-∞
=⎰ （2）关于η的边缘分布密度2()(,)f y f x y dx +∞
-∞=⎰
4．条件分布
（1）当y η=固定时，ξ的条件密度为2(,)
(|)()f x y f x y f y ξ= （1）当x ξ=固定时，η的条件密度为1(,)
(|)()
f x y f y x f x η= 5．二维均匀分布
设G 为一个有界平面区域，若(,)ξη的概率密度为 则称(,)ξη服从G 上的均匀分布。

注：二维均匀分布描述平面区域上的几何型试验。

6．二维正态分布
如果(,)
ξη的概率密度为：
()()()()
22
1122
222
1122
1
(,)[2]
2(1)
x x x y
f x y
μμμμ
ρ
ρσσσσ
⎧⎫
----
⎪⎪=--+
⎨⎬
-
⎪⎪
⎩⎭
其中
1212
,,0,0,||1
μμσσρ
>><是常数，则称(,)
ξη服从二维正态分布，
记作：
注：二维正态分布是常见的重要二维分布，其边缘分布和条
件分布都是正态分布。

教学时数：2学时
作业：习题三、4、5
第四节随机变量的独立性
教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性
的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性。

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要
条件。

教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义。

教学内容：
1．随机变量独立性的概念
（1）定义1 对于二维随机变量(,)
ξη，设
1
S和2S为任何两数集，若
则称ξ及η相互独立。

（2）意义
ξ及η相互独立的意义是ξ及η的取值情况互不影响，可由此直接判断ξ及η的独立性。

（3）ξ及η相互独立⇔(,)()(),(,)F x y F x F y x y ξη=-∞<<+∞
2．离散型情况
(,)ξη的联合分布为(,),,1,2,
i j ij P x y p i j ξη====，
则ξ及η独立⇔,,1,2,
ij i j p p p i j ==
3．连续型情况
(,)ξη的联合概率密度为(,)f x y ，
则ξ及η独立⇔12(,)()(),(,)f x y f x f y x y =-∞<<+∞
4．推广
（1）以上二维随机变量(,)ξη中ξ及η独立性的三个充分必要条件都可以推广到n 维随机变量12(,,,)n ξξξ中分量12,,
,n ξξξ独立
性的情况。

（2）
12,,,n ξξξ相互独立的意义是12,,
,n ξξξ的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性。

教学时数：2学时
作 业：习题三 9、11 第五节 多维随机变量函数的分布
教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法。

和的分布，商的分布，掌握数理统计中的几个常见分布。

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般
方法，和的分布，商的分布，随机变量函数的独立性。

四个统计常用分布。

教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。

教学内容：
1．离散型二维随机变量函数的分布 联合分布为：
(,)g ςξη=的分布为
2．连续型二维随机变量函数的分布
(,)ξη的概率密度为(,)f x y ，(,)g ςξη=
（1）先求ς的分布函数
（2）()()f z F z ξξ'=（在()F z ξ的可微点） 3．和的分布 4．商的分布
5．随机变量函数的独立性 设有12k n n n ++
+个随机变量1111,
,n ξξ；2212,
,n ξξ；…；1,,k
k kn ξξ相互独立，i Φ是i n 元连续函数，令1(,
,),1,2,
,i i i i in i k ηξξ=Φ=，则
12,,
,k ηηη相互独立。

6．数理统计中的几个常用分布 （1）正态随机变量函数的分布 （2）2χ分布 （3）t 分布 （4）F 分布
注：以上分布主要记住其性质，概率密度曲线。

教学时数：2学时
作 业：习题三 14、7、16、18
第四章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望
教学目的：掌握数学期望的概念，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质，同时掌握常见随机变量分布的数学期望。

教学重点：随机变量及其函数的数学期望的计算。

教学难点：各种概念的正确理解。

教学内容：
1．讲解随机变量的数学期望
1）
定义1：设离散型随机变量ξ的概率函数为i i p x P =
=)(ξ，
,2,1=i ，若级数∑∞
=1
i i
i p x 绝对收敛，则定义ξ的数学期望为
=
ξE ∑∞
=1
i i
i p
x
2）
定义2：设连续型随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，
若积分⎰∞
+∞-dx x xf )(绝对收敛，则定义ξ的数学期望为=
ξ
E ⎰
∞+∞
-dx x xf )(
2．讲解常见随机变量分布的数学期望 1）0-1分布 2）泊松分布 3）二项分布 4）均匀分布
5）指数分布 6）正态分布
3．讲解随机变量函数的数学期望及例题 （1）定理1：设)(ξηg =，)(x g 是连续函数 ○
1当ξ是离散型随机变量，概率分布为i i p x P ==)(ξ， ,2,1=i ，，
且 ∑∞
=1
)(i i i p x g 收敛，则有=ηE )(ξEg =∑∞
=1
)(i i i p x g
○
2当ξ是连续型随机变量，概率密度函数为)(x f ，且⎰
∞+∞
-dx x f x g )()(收敛，则有=ηE )(ξEg =⎰
∞+∞
-dx x f x g )()(
（2）定理2：设),(ηξςg =，),(y x g 是连续函数
○
1当（ξ，η）是二维离散型随机变量，概率分布为ij j i p y x P ===),(ηξ， ,2,1,=j i ，且 ∑∑∞
=∞
=11),(i j ij
j i p y x g 收敛时，则有
=ςE ),(ηξEg =∑∑∞=∞
=11
),(i j ij j i p y x g
○2当（ξ，η）是二维连续型随机变量，概率密度函数为),(y x f ，且dy dx y x f y x g ⎰
⎰∞+∞
-+∞
∞
-),(),(收敛时，则有
=ςE ),(ηξEg =dy dx y x f y x g ⎰
⎰
∞+∞
-∞+∞
-),(),(
4．讲解数学期望的性质 （1）C EC =，C 为常数 （2）ξξCE C E =)(，C 为常数 （3）ηξηξE E E +=+)(
（4）若ξ及η相互独立，则ηξξηE E E ⋅=)( 教学时数：2学时
作 业：习题四 1、2、3 第二节 方差
教学目的：掌握随机变量的方差、标准差的概念性质，并在此基础上进行相关计算，同时掌握常见随机变量分布的方差。

教学重点：方差的计算及方差的性质。

教学难点：方差概念定义的正确理解。

内容提要：
1．
方差的概念
定义：设ξ是随机变量，若2)(ξξE E -存在，则称它为随机变量ξ的方差，记为ξD ，并称ξD 为标准差。

2．
常见随机变量分布的方差计算
1）0-1分布 2）泊松分布 3）二项分布 4）均匀分布 5）指数分布 6）正态分布 3．方差的性质 1）,0=DC C 为常数
2）ξξD C C D 2)(=，C 为常数
3）若ξ及η相互独立，则ηξηξD D D +=+)( 4）0=ξD 的充要条件为1)(==a P ξ，a 为常数
教学时数：2学时
作 业：习题四 5、6、7、8、9、10、11 第三节 随机变量的其它数字特征
教学目的：掌握协方差、相关系数、矩的定义，性质，并在此基础上进行相关的运算。

教学重点：相关系数的含义及性质，相关系数及独立性的关系。

教学难点：相关系数的含义及性质。

内容提要：
1． 协方差
1）
定义：设（ξ，η）是一个二维随机变量，若
)
)((ηηξξE E E --存在，则称它为ξ及η的协方差，记作),cov(ηξ，即
),cov(ηξ=))((ηηξξE E E --
2）
协方差的性质
②),cov(ηξb a =ab ),cov(ηξ，,a b 为常数 ⑤0),cov(=a ξ，a 为常数
2．
相关系数
（1）定义：设（ξ，η）是一个二维随机变量，若),cov(ηξ存在，且0>ξD ，0>ηD ，则称η
ξηξD D ),cov(为ξ及η的相关系数，记作ρ，
即ρ=
η
ξηξD D ),cov(
（2）定义：当10≤<ρ时，称ξ及η正相关；当01<≤-ρ时，
称ξ及η负相关；当ρ=0，称ξ及η不相关。

（3）定理：设ρ为ξ及η的相关系数，则
②1=ρ的充要条件是存在常数b a ,，使1)(=+=ξηb a P
（4）定理：随机变量ξ及η不相关（ρ=0）及下面的每一个结论都等价：
3.矩的定义
设ξ及η为随机变量，若)(k E ξ存在，则称它为ξ的k 阶原点矩，简称k 阶矩；若k E E )(ξξ-存在，则称它为ξ的k 阶中心矩；而
)(21l
k
E ξξ⋅及l k E E E )()(2211ξξξξ-⋅-分别称为l k +阶混合矩和l k +阶中
心混合矩。

教学时数：2学时
作 业：习题四 13、14、15、16
第五章 大数定律及中心极限定理
第一节 切贝谢夫不等式
教学目的：掌握切贝谢夫不等式及其运用。

教学重点：切贝谢夫不等式及其运用。

教学难点：切贝谢夫不等式的含义。

内容提要：
讲解切贝谢夫不等式及其举例。

定理（切贝谢夫不等式）：设随机变量ξ有期望值ξE 及方差
ξD ，则对任意ε0>，有2
)(εξ
εξξD E P ≤
≥-；2
1)(εξ
εξξD E P -
≥<-
教学时数：0.5学时
作 业：习题五 1、2 第二节 大数定律
教学目的：掌握切贝谢夫大数定律及贝努力大数定律及其含义。

教学重点：贝努力大数定律及其含义。

教学难点：频率及概率的关系。

内容提要：
1．切贝谢夫大数定律
定理：设1ξ，2ξ，......是相互独立的随机变量序列，各有期望值1ξE ，2ξE ，......及方差1ξD ，2ξD ，......，并对所有,......2,1=i 有l D i <ξ，
其中l 是及i 无关的常数，则对任意ε0>，有
1)11(lim 1
1=<-∑∑==∞→εξξn
i i n i i n E n n P 。

2．贝努力大数定律
定理：在n 次独立试验序列中，设每次试验中事件A 出现的概率为)10(<<p p ，以n μ表示 n 次试验中A 出现的次数，则对任意ε0>，有1)(
lim =<-∞
→εμp n
P n
n 。

第三节 中心极限定理
教学目的：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理及其应用。

教学重点：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理。

教学难点：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理的应用。

内容提要：
1.独立同分布的中心极限定理
定理：设1ξ，2ξ，......，n ξ，......是相互独立且同分布的随机变量序列， μξ=i
E ，2σξ=i D ，,......2,1=i 则对任意实数x ，有
dt e
x n n P x
t n
k k
n ⎰
∑∞
--
=∞
→=
<-2
1
221)(lim π
σ
μ
ξ
2. 德莫佛—拉普拉斯定理
定理：在n 重贝努力试验中，成功的次数为ξ，而在每次试验中成功的概率为)10(<<p p ，p q -=1，则对任意实数x ，有
dt e
x npq
np
P x t n ⎰
∞
--
∞
→=≤-2
221)(
lim π
ξ
教学时数：1学时
作 业：习题五 3、4、5、6
第六章 数理统计基本概念
第一节 总体及样本
教学目的：掌握总体、样本、简单样本、样本分布等概念的含义。

教学重点：掌握总体、总体单元、有限总体、无限总体、一元总体、多元总体、样本、简单样本、样本分布概念。

教学难点：教学重点中的这些概念的实际含义。

内容提要：
1.总体
（1）总体：把研究对象的全体称为总体。

（2）总体单元（个体）：组成总体的基本单位称为总体单元。

（3）有限总体：总体单元数有限的总体称为有限总体。

（4）无限总体：总体单元数无限的总体称为无限总体。

（5）一元总体：只研究总体的一个指标，这样的总体称为一元总体。

（6）多元总体：研究总体的二个或二个以上指标，这样的总体称为多元总体。

2.样本
（1）样本：从总体X （一元总体）中抽取n 个个体（总体单元）1X ，2X ，......，n X ，则称（1X ，2X ，......，n X ）为来自总体X 的容量为n 的样本，n 称为样本容量。

（2）简单样本（简称样本）：设（1X ，2X ，......，n X ）为来自总体X 的容量为n 的样本，如果1X ，2X ，......，n X 相互独立且均及X 同分布，则称（1X ，2X ，......，n X ）为简单随机样本，以后无特殊说明均简称样本。

3. 样本的分布
设总体X 的分布函数为)(x F ，则样本（1X ，2X ，......，n X ）的联合分布函数为
),......,,(21n n X X X F =),......,,(2211n n x X x X x X P ≤≤≤
当X 为离散总体且概率分布为i i i p x p x X
P ===)()(，则（1X ，
2X ，......，n X ）的联合概率分布为====),......,,(2211n n x X x X x X P ∏=n
i i x p 1
)(=∏=n
i i p 1
当X 为连续总体且分布函数为)(x f 时，则（1X ，2X ，......，n X ）的联合分布为=),......,,(21n x x x f ∏=n
i i x f 1)(
教学时数：2学时
第二节 统计量及抽样分布
教学目的：掌握统计量、常用统计量及抽样分布，并在此基础上灵活运用抽样分布。

教学重点：常用统计量及抽样分布。

教学难点：抽样分布及其运用。

内容提要： 1.统计量
定义：（1X ，2X ，...，
n X ）为来源于总体X 的样本，若),,,(21n t t t ϕ为),,,(21n t t t 的n 元连续函数，且ϕ中不含任何未知参数，则称
)....,,,(21n X X X ϕ为一个统计量，抽样前，统计量作为n 维随机变量
（1X ，2X ，...，n X ）的函数为一随机变量，而抽样后1X ，2X ，...，
n X 都有了具体取值，相应)....,,,(21n X X X ϕ称为统计量的值。

2. 常用统计量
（1）样本均值：∑==n
i i X n X 1
1
（2）样本方差：21
2
)(11X X n S n
i i --=∑=
（3）样本标准差：21
)(11X X n S n
i i --=
∑= （4）样本离差平方和：=
-=∑=2
1
)
(X X L n
i i 2
2
1X n X n
i i -∑=
（5）样本k 阶矩（原点矩）：k
n
i i
k X n M ∑==1
1，,......2,1=k
（6）样本k 阶中心矩：k n
i i k X X n M )(11
'
-=∑=，,......2,1=k 3.抽样分布
（1）定理1：设总体),(~2σμN X ，（1X ，2X ，...，n X ）为来
源于总体X 的样本，则μ=X
E ，21σn X D =
，且)1
,(~2σμn
N X 。

推论：若总体),(~2σμN X
，则
)1,0(~N n
X σμ
-
（2）定理2：设总体),(~2σμN X
，（1X ，2X ，...，n X ）为来
源于总体X 的样本，则X 及2
S 独立且
)1(~)1(22
2
--n S n χσ。

（3）定理3：设总体),(~2σμN X ，（1X ，2X ，...，n X ）为来
源于总体X 的样本，则
)1(~--n t n
S
X μ。

（4）定理4：设两总体X 及Y 相互独立， ),(~2
11σμN X
，
),(~2
22σμN Y ，（1X ，2X ，...，1n X ）和（1Y ，2Y ，...，2n Y ）分别来
源于总体X 和Y 的容量分别为1n 和2n 的样本，样本平均数及样本方差分别记为21,S X 和22,S Y ，则有：
（1）
)1,0(~)
(2
2
2
1
2
1
21N n n Y X σσμμ+
---
（2）
)1,1(~212
2
2
221
21--n n F S S σσ
（3）如果有2221σσ=，则 教学时数：2学时
作 业：习题六 1、2、3、4、6、7、8、9、11
第七章 估计
第一节 点估计
教学目的：掌握参数点估计的两种常见方法：矩法及最大似然法；会判定估计量的优良性，即无偏性、有效性及一致性。

教学重点：矩估计的方法；最大似然估计的基本思想及具体求法；评价点估计量的优良性。

教学难点：理解最大似然法的原理及矩估计法的不同，掌握评价点估计量的优良性。

教学内容： 1.求点估计量方法
（1）矩法估计的概念和具体求法 （2）最大似然法思想和具体求法 2.估计的优良性 （1）无偏性 （2）有效性 （3）一致性
教学时数：3学时
作 业：习题七 1、2、4、5、6。