第十一章机械波作业任务答案解析

一. 选择题
[ C ]1. 一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O 的振动方程为
(A) )21
(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．
(B) )21
21(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)．
(C) )21
21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．
(D) )2
1
41(cos 50.0ππ+=t y ，(SI)．
提示：设O 点的振动方程为O 0()cos()y t A t ωϕ=+。

由图知，当t=2s 时，O 点的振动状
是正确的。

[ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t 时刻的波形图，BC 为波密介质的反射面，波由
P 点反射，则反射波在t 时刻的波形图为
提示：
由题中所给波形图可知，入射波在P 点的振动方向向下；而BC 为波密介质反射面，故在P 点反射波存在“半波损失”，即反射波与入射波反相，所以，反射波在P 点的振动方向向上，又P 点为波节，因而得答案B 。

[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是
ω
S
A
ϖO ′
ω
S
A ϖO ′ω
ϖ
O ′
ω
S
A
ϖO ′
(A)
(B)(C)(D)
S
[ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是
(A) 动能为零，势能最大．(B) 动能为零，势能为零．
(C) 动能最大，势能最大．(D) 动能最大，势能为零．
提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。

[ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动
(A) 振幅相同，相位相同．(B) 振幅不同，相位相同．
(C) 振幅相同，相位不同．(D) 振幅不同，相位不同．
提示：根据驻波的特点判断。

[ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I1 / I2 = 4，则两列波的振幅之比是
(A) A1 / A2 = 16．(B) A1 / A2 = 4．(C) A1 / A2 = 2．(D) A1 / A2 = 1 /4．
二.填空题
1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t时刻的总机械能是10 J，则(t+
在
2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u ϖ与该平面的法线0n v
的夹角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。

提示：θIScos IS ==⊥流过该平面的能流
3. 如图所示，波源S 1和S 2发出的波在P 点相遇，P 点距波源S 1和S 2的距离分别为 3和10 3 ，为两列波在
介质中的波长，若P 点的合振幅总是极大值，则两波在P 点的振动频率 相同 ，波源S 1
的相位比S 2
的相位领先
43
π
． 提示：201021201020102102()()()(3)()33
k r r πλπ
ϕϕϕϕϕλϕϕλ∆=---=--
-=--
， 因为P 点的合振幅总是极大值，2n ϕπ∴∆=，即20102()23
n π
ϕϕπ--
=，取n 1=-，得201043ϕϕπ-=-
，或 102043ϕϕπ-=124S S 3
π∴波源的相位比的相位超前。

4.设沿弦线传播的一入射波的表达式为 ]2cos[1λ
ωx
t A y π
-=，
波在x = L 处（B 点）发生反射，反射点为自由端（如图）．设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式是y 2 =
24cos x L A t ππωλλ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
提示：因为反射点为自由端，所以反射波没有半波损失，反射波与入射波在B 点引起的振
动同相。

2cos B B L y y A t πωλ⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
入反，
∴2cos x L L y A t u πωλ⎡-⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
反
()22cos L A t x L ππωλλ⎡
⎤=+--⎢⎥⎣⎦
24cos x L A t ππωλλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
y
x
L
B
O
P
S 1
S
3λ
10λ/3
5. 一静止的报警器，其频率为1000 Hz ，有一汽车以79.2 km 的时速驶向和背离报警器时，坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是1065Hz
和
935Hz （设空气中声速
为340 m/s ）．
6. 一球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为
100 W ，若介质不吸收能量，则距波源10 m 处的波的平均能流密度为7.96×10-2 W/m 2．
提示：根据平均能流密度I 和功率P 的关系，得
7. 一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22
-⨯= (SI)．形成该驻波的两个
反向传播的行波的波速为100 m/s ．
8. 在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，O 点处电场强度为
)3
1
2cos(300π+π=t E x ν(SI)，则O 点处磁场强度为
0.796cos(2ππ/3) (A/m)y H t ν=-+．在图上表示出电场强度，磁场
强度和传播速度之间的相互关系．
提示：根据电磁波的性质，E H S ⨯=r
r r ，三者的关系如图所示。

z
y
x
c
ϖx
E ϖy
H ϖO
三. 计算题
1. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求
(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；
(2) 该波的波动表达式．
解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播（向x 轴负向传
播）。

设坐标原点O 处质点的振动方程为()00,cos()y t A t ωϕ=+.
在t = 0时刻，O 处质点的振动状态为：0(0,0)cos 0y A ϕ==， 00v sin 0A ωϕ=->，
故 02ϕ=-
π
又t = 2 s ，O 处质点位移为/cos(2)2
A A ω=-π
，且振动速度>0,
所以 224ω-=-ππ
，
得 8
ω=π
∴振动方程为 ()0,cos()82
y t A t =-ππ
(SI)
(2) 由图中可见，波速为u = 20 /2 m/s = 10 m/s ，向x 轴负向传播；
又有()0,cos()82
y t A t =-π
π ∴波动表达式为
(),cos 8102x y x t A t ⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
ππ （SI ）
2. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为，P 处
质点的振动规律如图所示． (1) 求P 处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；
(3) 若图中 λ2
1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．
解：(1) 设P 处质点振动方程为0()cos()P y t A t ωϕ=+，
由振动曲线可知，在t = 0时刻，0cos A A ϕ-=，∴0ϕπ=； t=1s 时，0cos()A ωπ=+，且振动速度>0，∴32πωπ+=
，2
πω=； ∴cos()2
P y A t π
=+π (SI)
(2) 设波速为u ，则24
u T λ
ωλλ
π=
=
=，且波沿Ox 轴的负方向传播，
∴波动表达式为2(,)cos cos ()22x d y x t A t A t x d u λ⎡π-⎤ππ⎛⎫⎡⎤
=++π=+-+π ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎣⎦ (SI)
(3) λ2
1=d 时，将x=0代入波动表达式，即得O 处质点的振动方程
cos 2
O y A t π=
3. 如图所示，两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2，其间距离为d = 30 m ，S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．
解：设S 1和S 2的振动初相位分别为10ϕ和20ϕ，在x 1点两波因干涉而静止，所以在x 1点
两波引起的振动相位差为π的奇数倍，即
()()12010112π
d x x ϕϕϕλ
∆=--
--⎡⎤⎣⎦π+=)12(K ① 同理，在x 2点两波引起的振动相位差
t (s)
0-A
1y P (m)
P d
O S 1 S 2
d
x 1 x x 2
()()22010222π
d x x ϕϕϕλ∆=--
--⎡⎤⎣
⎦π+=)32(K ② ②－①得：
214()2x x λ
-=π
π， ∴6)(212=-=x x λm ；
由①得： 1
20102(21)2(25)d x K K ϕϕλ
--=++=+ππ
π；
当K = -2、-3时相位差最小： 2010ϕϕ-=±π
4. 一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s 自左向右传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为
)4cos(3.0π-π=t y (SI)。

另一点D 在A 点右方9米
处．
(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，试写出波的表达式，并求出D 点的振动方程．
(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，再写出波的表达式及
D 点的振动方程．
解：该波波速u = 20 m/s ，
(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，
则由已知条件知：
)/(20s m i u ρρ
-=
)4cos(3.0),0(ππ-=t t y （m ）
所以，波的表达式为 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=-+
=πππ)20(4cos 3.0))(4cos(3.0),(x t u x t t x y π（m ） D 点的坐标为x D = -9 m 代入上式有
)544cos(3.0)5144cos(3.0)209(4cos 3.0),(ππππππ-=-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=t t t t x y D （m ）
(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，
则由已知条件知：
)/(20s m i u ρρ
=
x
y x
y
u
u
A A
O D
D
)4cos(3.0),5(ππ-=t t y （m ）
所以，波的表达式为)54cos(3.0)5(4cos 3.0),(x t u x t t x y πππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡---=π （m ） D 点的坐标为x D = 14 m 代入上式, 有
)5
4
4cos(3.0)5/144cos(3.0ππ-=-=t t y D ππ (m)
此式与(1) 结果相同.
5． 由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波．这个驻波共有三个波腹，其振幅为0.30 cm ．波在弦上的速度为 320 m/s ．
(1) 求此弦线的长度． (2) 若以弦线中点为坐标原点，试写出弦线上驻波的表达式．
解：(1) 2
3λ
⨯
=L
= u ∴ 20.1400
320
2323=⨯==
νu L m （2）设驻波的表达式为)cos()cos(103),('
3ϕωϕ++⨯=-t kx t x y
πππνλπ2
5
320400222=⨯===u k （m -1）
πππνω80040022=⨯== （rad/s ）
弦的中点x=0是波腹， 故 πϕϕϕor kx x 0,
1cos )
cos(''0
'=∴==+=
所以)800cos(2
5
cos 10
0.3),(3
ϕπ+⨯±=-t x t x y π (m)
式中的ϕ 由初始条件决定。

[选做题]
1．如图，一角频率为 ，振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面．已
x
y
O
P M O ′
知OO ＇= 7 /4，PO ＇= /4（为该波波长）；设反射波不衰减，求：
(1) 入射波与反射波的表达式;；
(2) P 点的振动方程．
解：(1) 设O 处振动方程为 00cos()y A t ωϕ=+
当t = 0时，y 0 = 0，v 0 < 0，∴ 01
2
ϕπ=
∴ )2
1
cos(0π+=t A y ω
入射波朝x 轴正向传播，
故入射波表达式为 )22cos(2)(cos ),π
λωπω+-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-=x t A u
x t A t x y π（入
在O ′处入射波引起的振动方程为 =+⨯-
===
)2
472cos(),(),4
7(
4
7π
λλωλ
λπ
t A t x y t y x 入入)cos(π-t A ω 由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变． ∴ )cos(t 4
7π+π-=t A y ωλ
），（
反t A ωcos = 所以反射波表达式为
)]47(cos[,u x t A t x y λω-
+=）（反
)2
2cos(]272cos[π
λπωπλω++=-π+=x t A x t A
(2) 合成波为
),(),(),(t x y t x y t x y 反入+=]22cos[π+π
-
=x t A λω]2
2cos[π
+π++x t A λω )2cos(2cos
2π
+π
=t x A ωλ 将P 点坐标 λλλ23
4147=-=x 代入上述方程，得P 点的振动方程为
)2
cos(2π
+-=t A y P ω。