耦合波导理论

第二章线性电光效应的耦合波理论 2001年，She 等人提出一种全新的理论，它从麦克斯韦方程出发，考虑二阶非线性极化强度(也就是只考虑线性电光效应)，忽略其余高阶极化强度，推出关于线性电光效应的耦合波方程，得到在电场作用下的晶体中光的两个独立电场分量的解析解。这种方法，可运用于研究光在任意一个方向的电场作用下沿任意方向传播的各种线性电光效应的情况，并且不单可以用于研究光的振幅调制，也可以容易去解决光的相位调制问题。另外对于给定的一个晶体(点群)，能根据需要利用该理论进行优化设计。这全新的耦合波理论相对折射率椭球理论来说，它的物理图象清晰，得到的结果是解析解，不用再作任何数学变换。我们不单可以方便地进行优化设计，而且也可用于电光调制器等电光器件性能的分析。它的出现拓展电光材料的选择范围和优化调制器的调制方式，从而引起了电光效应研究领域内新一轮的探索。

2.1 理论推导

波在介质中传播时，能够通过介质内的非线性极化而相互作用将导致形形色色的非线性光学现象，如高次谐波、参量转换、受激散射等等。电光效应就是其中的一种非线性光学现象。电(波)与光(波)的互作用，实质上又可以看作是几个处于不同波段的电磁波在非线性介质中的波耦合过程，因此可以象非线性光学那样，通过求解耦合波方程来获得电光作用的有关知识。对于普克尔效应，是入射波为光+)(ω电波)(m ω产生一个输出光波)(m ωω+的三波耦合过程。对于电光效应，它涉及到的是光与物质的相互作用，光是由麦克斯韦方程或场方程描述，物质体系是由光学布洛方程描述。于是我们采用类似非线性光学方法，首先给出相应的非线性极化强度，把电场所感生的附加极化矢量当成一个微扰量P ∆，再将它视为新的极化光源引入麦克斯韦波动方程，通过整理最后可得到相应的耦合波方程。线性电光效应耦合波理论就是以麦克斯韦波动方程为基础和出发点推导出来的。

我们可以由麦克斯韦方程组和物质方程推导出：

2

20222)()]([)(t t P t c t E t E NLS ∂∂-=∂⋅∂+⨯∇⨯∇με （2-1） 根据矢量运算规则，

E E E 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ （2-2）

这样可得：

2

202222)()]([)()]([t t P t c t E t E t E NLS ∂∂-=∂⋅∂+∇-⋅∇∇με （2-3） ε 为介质的相对介电张量，0μ为真空中的磁导率，c 为真空中的光速，E （t ）为介质中的总电场强度，)(t P NLS 为只与电场强度E(t)有关的介质非线性极化强度，暂不考虑旋光效应。当光沿r 方向传播时，电场强度可分为平行和垂直于r 的两个分量，因为此时光波理想化为单色平面电磁波，平行r 的分量)(//t E 为零，所以我们只需保留E(f)垂直于传播方向r 上的分量)(t E ⊥。在没有自由电荷的均匀介质中和在E P 0ε<<的情况下，有0=⋅E V ，这样方程(2-3)可变为：

2202222)())(()(t

t P t c t E t E NLS ∂∂-=∂⋅∂+∇-⊥⊥⊥με （2-4） 其中在单色波近似下，外加电场后晶体中总的电场强度可表示为：

.].)(2

1[)0()(c c e E E t E t i ++=-ωω （2-5） E(0)为外加直流电场或频率远小于ω的低频电场；c.c.表示电场的复共轭部分； 将(2-5)式代入(2-4)式的左边，可得：

t i t i e E c

E e t c t E t E ωωωεωωε-⊥⊥-⊥⊥⋅-∇-=∂⋅∂+∇-)]([21)(21)]([)(2222222 （2-6） 由于电光晶体所产生的线性电光效应比其所产生的二次电光效应强得多，并且在实际应用中常利用立方晶系晶体或均质体来产生二次电光效应，因此由电光晶体产生的二次电光效应就显得不重要了。在这里我们只考虑线性电光效应的贡献，而认为由于相位失配其它各二阶非线性效应以及更高阶非线性效应可以被忽略，所以在求解(2-4)式时，把非线性激励项作为一种微扰来处理。所以有：

..)(2

1)()()2()2(c c e P t P t P t i NLS +==-⊥⊥ωω （2-7）

是方程(2-4)式的右边：

t i NLS e P t

t P ωωωμμ-⊥⊥=∂∂-)(21)()2(20220 （2-8） 由(2-6)和(2-8)式，则式(2-4)可变为：

)()]([)()2(20222

ωωμωεωω⊥⊥⊥-=⋅+∇P E c

E （2-9） 一般说来，在相位失配的情况下，频率为ω的单色平面波在各向异性晶体中传播时没有倍频产生，电场可分为两个相互正交的偏振分量，，)()(21ωωE E 设21K K 、 分别为)()(21ωωE E ，所对应的波矢，因此我们可定义：

r iK r iK e r E e r E E E E ⋅⋅+=+=21)()()()()(2121ωωω （2-10）

如果)()(2121ωωE E k k ，，=分别表示光电场强度的两个相互垂直的分量；如果)()(2121ωωE E k k ，，≠分别代表两个折射率不同，在晶体的传播中各自独立的电场强度。例如，在各项异性晶体中)()(21ωωE E ，分别表示o 光和e 光的电场强度。故(2-9)式可变为：

)()]([)()2(20222,12

ωωμωεωω⊥⊥⊥⊥=-=⋅+∇∑j j j j P E c

E (2-11) 线性电光效应可以与二阶电极化率张量)2(χ联系起来,应只包含二阶非线性极化强度，忽略高阶的，其表达式为：

r ik r ik e E r E e E r E E E P ⋅⋅+==21)0()(:)0(2)0()(:)0(2)

0()(:)0(2)(2)2(01)2(0)2(0)2(，，，ωχεωχεωωχεω （2-12）

0ε为真空中的介电常数，)0()2(，ωχ为二阶极化率张量。

另外以方面又有：

ikr ikr e dr r E d dr r dE ik r E k e r E ])()(2)([])([222

2⊥⊥⊥⊥++-=∇ （2-13） 在线性响应和介质无耗的情况下，偏振矢量和场振幅E(r)都是恒定的，与波通过介质时所运行的距离r 无关。而在非线性响应的情况下，即使介质是无耗的，偏振矢量和场复振幅也都是r 的函数。然而，因为非线性激励项是作为对线性效应