2019届高三下学期冲刺高考回头看(三)理科数学
2019高考卷III理科数学真题(含答案)
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x) = (1 2x)^2，则f(x)的单调减区间为（）。
A. (∞, 1/2)B. (1/2, +∞)C. (∞, +∞)D. (0, 1/2)2. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3=9，则公差d等于（）。
A. 2B. 3C. 4D. 63. 若函数y=2x的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的函数解析式为（）。
A. y=2x+2B. y=2x2C. y=2^(x+1)+2D. y=2^(x1)24. 已知点P(2, 1)在直线y=3x+b上，则b的值为（）。
A. 7B. 5C. 3D. 15. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, 3)，则2a3b=（）。
A. (8, 4)B. (4, 8)C. (8, 4)D. (4, 8)二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
（）2. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）3. 一次函数的图像是一条直线。
（）4. 二次函数的图像一定过原点。
（）5. 向量a和向量b的模相等，则向量a和向量b相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，则f(3) = _______。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，d=2，则a5 = _______。
3. 若直线y=2x+1与x轴的交点为（a，0），则a = _______。
4. 向量a=(3, 4)，则向量a的模|a| = _______。
5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a > _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述函数的单调性定义。
2. 请写出等差数列的通项公式。
3. 简述一次函数图像的特点。
4. 请解释二次函数的图像为什么是抛物线。
5. 如何求两个向量的和？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的单调区间。
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. √23. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a7=22，则数列的公差为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的值为（）A. 2B. 0C. 2D. 45. 若直线y=kx+b与圆(x1)²+y²=1相切，则k的取值范围是（）A. [√2，√2]B. (√2，√2)C. [1，1]D. (1，1)6. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，cosB=3/5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/37. 若函数f(x)=x²2x+3在区间[1，2]上的最小值为m，最大值为M，则Mm的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 设平面直角坐标系xOy中，点A(2，3)，点B在直线y=2x上，若|AB|=√10，则点B的坐标为（）A. (1，2)B. (2，4)C. (1，2)D. (1，2)9. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列的前n项和为（）A. n²B. n²+1C. n²+nD. 2n²+2n10. 若函数f(x)=x³3x在区间（1，2）上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 在平行四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，∠ABC=120°，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 1212. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且f(0)=4，则函数f(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为______。
2019年最新(统考)黑龙江省高三(最后冲刺)数学(理)试卷及答案解析
∴至少1人参加社区服务次数在区间 内的概率为 .
20.解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ，由已知 ， ， ，
∵椭圆 与椭圆 的离心率相等，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程是 ；
（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为 .
∵ ， 或 ，
， ，
∴ 在 ， 上单调递增，
在 单调递减.
3.若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
4.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列 ，若 ，且 ， ， 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）
A.13，12B.13，13C.12，13D.13，14
5.如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
（1）求椭圆 ， 的方程；
（2）过 的直线交椭圆 于点 ， ，求 面积的最大值.
21.已知函数 （ 为常数）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对任意的 ，都存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
22.在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，点 的极坐标 ，判断点 与直线 的位置关系；
16.若数列 是正项数列，且 ，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 ， ， ，
2019年高考全国卷Ⅲ理科数学解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}解析：{}[]{}1,0,11,11|2-=⇒-=⇒≤=B A B x x B ,故选A2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：()()()()()()i i i z i i z i i i i z i i z +=-=⇒-=⇒-=-+⇒=+11122121121， 故选D3． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5D ．0.8解析：由韦恩图知 阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7.0100=故选C4． 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．24解析：3x 项为3342314121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故选A5． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2解析：由244343224135=⇒=⇒+=⇒+=q q q q a a a 又()1414152121a a S =--=则41151521311=⋅=⇒=⇒=q a a a a ，故选C6．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，解析：1|1ln 1+='∴++='=ae y x ae y x x，由题意知121-=∴=+e a ae 则点()ae ,1即为()11，把()11，带入12-=⇒+=b b x y ,故选D 7． 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为解析：()()x f xx f xx -=+-=--2223，则()x f 为奇函数，故C 错,又当0>x时()0>x f 故D 错，而()64272622262663663>=⨯≈+⨯=-f 故A 错，故选B.8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析：N 是正方形ABCD 的中心，则B N D ,,三点共线且NB DN =,MN NB DN MEDM ⇒⎩⎨⎧==是EDB ∆的中位线BE MN //⇒且BE MN 21=EN BM ,∴是相交直线，故C,D 错，若EN BM =则梯形MNBE 为等腰梯形，则DBDC DE DB BN ME =⇒=⇒=矛盾，故A 错，故选B9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-解析：当ε<==1281217x ，676221221121112121211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++=∴ s 故选C. 10．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C||||PO PF =，则△PFO 的面积为A B C ．D 解析：如图由题意知6==c OF ，tan ∠POF 取OF的中点M ,OF PM ⊥∴,22tan ==∠∴OM PM POF 2322=⋅=∴OM PM ,42321=⋅=∴∆PM OF POF S ,故选A 11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>解析：因()x f 是偶函数，则()()()434343413log log log log 1f f f f =-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-又x y 2=是单调递增的函数，1222003223=<<<∴--，又1log log 3343=> 433223log 1220<<<<∴--，()x f 在()+∞,0单调递减，()433223log 22f f f >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴--，即，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4133223log 22f f f 故选C.12．设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[02]π，有且仅有5个零点，下列四个结论：① ()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点② ()f x 在(02)π，有且仅有2个极小值点③ ()f x 在(0)10π，单调递增④ ω在取值范围是1229[)510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：()ωππππω550-=⇒=+⇒=k x k x x f ，由题意知102951256255<≤⇒-<≤-ωωπππωππ故而④正确，在④的条件下，当210049510102951050100πππππωππωπ<=+<+<+<⇒<<x x ，有正弦函数的单调性知()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛100π，单调递增。
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科附答案解析
f
x
1 ，且
f
1
2018
．则不等式
f
x
1
2017 x
的解集是（
A． 1,1
B． ,1
C． 1,0U0,1
）
D． , 1U 1,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
若
1 2x
2015
=
a0
a1x
用如下办法构造 ABC ，
连接 AF 并延长至 D ，使 FD 1 AF ， 2
D． 3
8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序
框图，若输入����则输出������和 i 的值分别为（ ）
1
A． 2，4 B． 2，5 C． 0，4 D． 0，5
9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
a2 1
3
5．【答案】B
【解析】∵双曲线 C : x2 y2 1(a 0, b 0) 的渐近线方程为 y b x ，
a2 b2
a
又直线 3x
y5
0 斜率为
3，∴
b a
1 c2 a2
故
3
a2
1
，
9
∴ 双曲线的离心率 e c
10
，故选 B.
a3
6．【答案】．D
a x2015 2015
（
x
R
），则
a1 2
a2 22
a2015 22015
的值为
2019年高考(理科)数学总复习综合试题(三)含答案及解析
绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（三）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R2．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|1＋2i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( )A ． 5B ．2 5C ．13D ．2134．已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝0C ．mn ＋1＝0D ．mn －1＝05．若sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则cos 2α的值为( )此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．－35B ．35C ．－45D ．456．按如图所示的程序框图，若输入a ＝81，则输出的i ＝( )A ．14B ．17C ．19D ．217．在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点，则落在曲线C 下方(曲线C 为正态分布N (1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997．A ．4 985B ．8 185C ．9 970D ．24 5558．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：面ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为( )A ．8 3B ．8＋8 3C ．62＋2 3D ．8＋62＋2 39．已知直线3x －y －3＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，与x 轴交于F 点，OF →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝( )A ．12B ．－12C ．13D ．－1310．已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为( )A ．13B ．55C ．12D ．2311．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝3×2n －1，则S 2 017＝( ) A ．22 018－1 B ．22 018＋1 C ．22 017－1D ．22 017＋112．已知函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值为________． 14．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2的系数为__________．15．某班共46人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后(没人弃权)：若A 得25票，B 得票数占第二位，C 、D 得票同样多，得票最少的E 只得4票，那么B 得票的票数为__________．16．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3，点A ，B 是圆 x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB的最大值为________．三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5＜Z＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X的分布列．附：210≈14.5若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜Z＜μ＋δ)＝0.682 6，P(μ－2δ＜Z＜μ＋2δ)＝0.954 4．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的周长为12，AB ， AC 边的中点分别为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|．(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（三）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：∵集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， 观察备选答案中的4个选项，只有{1,2}⊆A .故选A ． 答案：A2．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|1＋2i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z －i ＝|1＋2i|得z ＝5＋i.复数z 在复平面上对应点(5，1)在第一象限．故选A ．答案：A3．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( )A ． 5B ．2 5C ．13D ．213解析：双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为29＋4＝213.故选D ．答案：D4．已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝0C ．mn ＋1＝0D ．mn －1＝0解析：由AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )共线， 得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即mn －1＝0，故选D ． 答案：D5．若sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则cos 2α的值为( ) A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：由sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则sin α＋3cos α＝0， 可得：tan α＝sin αcos α＝－3，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－91＋9＝－45.故选C ．答案：C6．按如图所示的程序框图，若输入a ＝81，则输出的i ＝( )A ．14B ．17C ．19D ．21解析：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S ＝1＋2＋3＋…＋i 的值，当S ＞81时，输出i ＋1的值．由于S ＝1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2，当i ＝12时，S ＝12×132＝78＜81，当i ＝13时，S ＝13×142＝91＞81，满足退出循环的条件，故输出i 的值为13＋1＝14.故选A ．答案：A7．在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点，则落在曲线C 下方(曲线C 为正态分布N (1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997．A ．4 985B ．8 185C ．9 970D ．24 555解析：由题意P (0＜X ＜3)＝0.683＋12(0.954－0.683)＝0.818 5，∴落在曲线C 下方的点的个数的估计值为30 000×0.818 5＝24 555，故选D ．答案：D8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：面ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为( )A ．8 3B ．8＋8 3C ．62＋2 3D ．8＋62＋2 3解析：过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连接PF ，过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接OQ ．∵△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，∴OP ＝12(AB －EF )＝1，PF ＝3，OQ＝12BC ＝1，∴OF ＝PF 2－OP 2＝2，FQ ＝OF 2＋OQ 2＝3，∴S 梯形EFBA ＝S 梯形EFCD ＝12×(2＋4)×3＝33，又S △BCF ＝S △ADE ＝34×22＝3，S 矩形ABCD ＝4×2＝8，∴几何体的表面积S ＝33×2＋3×2＋8＝8＋8 3.故选B ．答案：B9．已知直线3x －y －3＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，与x 轴交于F 点，OF →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：直线3x －y －3＝0过抛物线的焦点F (1,0)， 把直线方程代入抛物线的方程y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，或⎩⎨⎧x＝13y ＝－233，不妨设A (3,23)、B ⎝⎛⎭⎫13，－233．∵OF →＝λOA →＋μOB →，∴(1,0)＝(3λ，23λ)＋⎝⎛⎭⎫13μ，－233μ＝⎝⎛⎭⎫3λ＋13μ，23λ－233μ．∴3λ＋13μ＝1,23λ－233μ＝0，∴λ＝14，μ＝34，则λ－μ＝－12.故选B ．答案：B10．已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为( )A ．13B ．55C ．12D ．23解析：由三视图还原原几何体如图：几何体是三棱锥A -BCD ，满足面ACD ⊥面BCD ，且AD ⊥CD ，BC ⊥CD .最短棱为CD ，最长棱为AB .在平面BCD 内，过B 作BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BEDC 为正方形，可得AE ＝22，在Rt △AEB 中，求得AB ＝12＋(22)2＝3，∴cos ∠A BE ＝BE AB ＝13．即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为13.故选A ．答案：A11．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝3×2n －1，则S 2 017＝( )A ．22 018－1B ．22 018＋1C ．22 017－1D ．22 017＋1解析：由a 1＝1和a n ＋1＝3×2n －1－a n ，可知数列{a n }唯一确定，并且a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，猜测a n ＝2n －1，经验证a n ＝2n－1是满足题意的唯一解．∴S 2 017＝22 017－12－1＝22 017－1.故选C ．答案：C12．已知函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－[ln (1＋x )－ln (1－x )]＝－f (x )，即①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题；对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题；对于③，∵f ′(x )＝21－x2在(0,1)单调递增，∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2，故③是真命题；对于④，设g (x )＝f (x )－2x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0，所以g (x )在(0,1)单调递增，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ；由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题．故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值为________． 解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9． 答案：914．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2的系数为__________． 解析：∵(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2项为C 0313(2x )0·C 2412(－x )2＋C 1312(2x )1·C 1413(－x )1＋C 2312(2x )2·C 0414(－x )0， ∴所求系数为C 03·C 24＋C 13·2·C 14(－1)＋C 23·22·C 0414＝6－24＋12＝－6． 答案：－615．某班共46人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后(没人弃权)：若A 得25票，B 得票数占第二位，C 、D 得票同样多，得票最少的E 只得4票，那么B 得票的票数为__________．解析：∵A 得25票，E 只得4票，∴B ，C ，D 共得46－25－4＝17(票)，∵C 、D 得票同样多，要大于4票，∴若C ，D 是5票，则B 是7票，若C ，D 是6票，则B 是5票，不满足条件． 若C ，D 是7票，则B 是3票，不满足条件． 若C ，D 是8票，则B 是1票，不满足条件． 故满足条件的B 是7票． 答案：716．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3，点A ，B 是圆 x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB的最大值为________．解析：由已知可得点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3表示的平面如图所示(包含边界)运动，易知点P 位于圆x 2＋y 2＝2外时，∠APB 最大时，当P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处；此时，圆心到直线x ＋y －4＝0的距离为|OH |＝22，所以在Rt △OAP 中|OP |＝2|OA |，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，此时∠APB ＝π3．答案：π3三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值． 解：(1)由cos 2C ＝2cos 2C －1， 则2cos 2C －1＋22cos C ＋2＝0， ∴(2cos C ＋1)2＝0，cos C ＝－22， 由0＜C ＜π，则C ＝3π4，∴∠C 为3π4；(2)由△ABC 的面积为12ab sin C ＝22sin A sin B ，则12ab ×22＝22sin A sin B ， 整理得：a sin A ×b sin B＝2由正弦定理可知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，(R 为外接圆半径)，则4R 2＝2，解得R ＝22，c ＝2R sin C ＝2×22×22＝1， ∴c 的值为1．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．(1)证明：取AB 的中点D ，连接GD ，CD ， ∵G 是FB 的中点，D 是AB 的中点， ∴GD 綊12AF ，又CE 綊12AF ，∴GD 綊CE ，∴四边形CEGD 是平行四边形，∴EG ∥CD ，又CD ⊂平面ABC ，GE ⊄平面ABC ， ∴EG ∥平面ABC ．(2)解：∵AF ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABC ，平面ACEF ∩平面ABC ＝AC ，AF ⊂平面ACEF ，∴AF ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴AF ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面ABF ，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则B (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,2)， ∴BE →＝(2,0,1)，BF →＝(0,2,2)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0n ·BF →＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1,2，－2)， 又BC ⊥平面ABF ，∴m ＝(1,0,0)是平面ABF 的一个法向量，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×3＝13，∵二面角E -BF -A 为锐二面角， ∴二面角E -BF -A 的余弦值为13．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P (50.5＜Z ＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； ②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X 的分布列．附：210≈14.5若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4． 解：(1)E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，∴μ＝65，δ＝210≈14.5，∴P (50.5＜Z ＜79.5)＝0.682 6，P (36＜Z ＜94)＝0.954 4， ∴P (79.5＜Z ＜94)＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9，∴P (50.5＜Z ＜94)＝P (50.5＜Z ＜79.5)＋P (79.5＜Z ＜94)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5． (2)P (Z ＜μ)＝P (Z ≥μ)＝12，X 的可能取值为{10,20,30,40}，P (X ＝10)＝12×23＝13，P (X ＝20)＝12×13＋12×23×23＝718，P (X ＝30)＝12×23×13＋12×13×23＝29，P (X ＝40)＝12×13×13＝118．∴X 的分布列为：F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．解：(1)由题意，|MF 1|＋|MF 2|＝6－2＝4＞2＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1(－1,0)和F 2(1,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点)，a ＝2，c ＝1， ∴b ＝3，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由题意，设直线MN 的方程为x ＝my －1， 代入椭圆方程，整理可得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|＝6 m 2＋1(3m 2＋4)2，令t ＝3m 2＋4≥4，则S ＝6 t －13t 2， ∴t ＝4，S 的最大值为32．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．解：(1)当a ＝－1，b ＝1时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1，定义域为{x |x ＜1}，当x ≤0时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1＞0，所以函数f (x )在(－∞，0]内无零点；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1x －1＋e x －1，因为1x －1＜－1，e x －1＜1，所以f ′(x )＝1x －1＋e x －1＜0，说明函数f (x )在(0,1)上单调递减，又f (0)＝e －1＞0，当x ＝1－1e 时，f (x )＝e －1e －1＜e 0－1＝0，所以函数f (x )在(0,1)内有且只有一个零点； 综上，函数f (x )的零点个数是1；(2)若ln (ax ＋b )＋e x －1≤e x －1＋x ＋1，即ln(ax ＋b )≤x ＋1，设g (x )＝ln (ax ＋b )－x －1，若a ＜0，则当x →－∞时，显然g (x )＞0，故不符合题意，所以a ＞0． g ′(x )＝aax ＋b －1＝－ax ＋a －b ax ＋b(ax ＋b ＞0)，当－b a ＜x ＜1－ba 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，1－b a 上单调递增； 当x ＞1－ba 时，g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1－b a ，＋∞上单调递减； 从而g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba－2， 由题意可知g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba －2≤0，所以b ≤2a －a ln a ， 此时ab ≤2a 2－a 2ln a ，令h (a )＝2a 2－a 2ln a ，h ′(a )＝3a －2a ln a ，可知h (a )在⎝⎛⎭⎫0，e 32上单调增，在⎝⎛⎭⎫e 32，＋∞上单调减，所以h (a )max ＝12e 3，故ab 的最大值为12e 3．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ．(1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝12y 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2cos θy 1＝2sin θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)； ∴x 24＋y 2＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＋2y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．化为极坐标方程得：4ρcos θ－2ρsin θ－3＝0，即 ρ＝34cos θ－2sin θ． [选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|． (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ＜03，0≤x ≤32x －3，x ＞3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜03－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x －3≥x ＋5， 解之得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3，由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )，且m≥3，n≥3，所以m－2＞0,2－n＜0，即(m－2)(2－n)＜0，所以2(m＋n)＜mn＋4．。
2019年全国III卷高考数学(理科)试题(带答案)
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
6.已知曲线y=ae'+xlnx在点{l,ae)处的切线方程为y=2x+b,则
A. a=e, b＝一1
B. a=e, b=I
c. a =e_, ， b = l
D. a =e一I . b＝一1
二 7.函数y-
—— 2x—3 一 2··+2 寸
在(--6,6)的图像大致为
立 （2)山（I)得l,i线AB的方程为y
=
y=1x+ IX＋了 I 山［
I
－2可 , 得贮2tx-1=0
y= 2
丁是 ．,,十Y2 =21, x,．`2 ＝一I , y1 + y2 =/(x1 十．,,)+1= 212+1,
豆 IABI=,肛丙｀． ．，一 x,1=
xjc;,心－心，:;,=2(12 +1).
3 27
右• －— a ＋b=-1, b=I ,则a=3近 ， 与0<a<3矛rt.
27
✓3 若－— (J ＋b=-1, 2-a+b=I,则a=3 或a=－3打或a=O,与0<a<3矛盾． 27
n 综上，当 仅当a=O, b＝一1或a=4, b=I时， f(x)在［0, I)的垃小值为－I,朵大值为I.
若a>O,则芍xe(--<X>,O)U(�，如）时，/'(x)>O：节xe(O,�)时，/'(x)<O故f(x)在(--<X>,0) , (�．如）
3
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若a=O, f(x)在(-，伈）单调递增：
2019年高考理科数学-全国卷Ⅲ试题及解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C解答：7.0100608090=+-4.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 答案： A解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C 解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. 已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D解析：令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7.函数3222x xxy-=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22x xxy f x-==+，∴332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，∴()f x为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f-⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142x y-=的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||PO PF=则PFO∆的面积为（）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程2242x y-=可得一条渐近线方程为2y x=；在PFO∆中||||PO PF=过点P做PH垂直OF因为tan POF=2∠得到PO=所以12S PFO∆==故选A11.若()f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2) 4f f f-->>B.2332 31(log)(2)(2) 4f f f-->>C.233231 (2)(2)(log)4 f f f-->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案： C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题13.已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r，若2c a =r r ，则cos ,a c =r r.答案：23解析：∵()22222459c a a b b ==+-⋅=r r r r r ，∴3c =r，∵()2222a c a a a b ⋅=⋅=-⋅=r r r r r r ，∴22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅r rr r r r . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d ++⨯====++.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.16.学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。
2019年高考数学(理)终极押题卷(新课标Ⅲ卷)(解析版)
秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅲ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z -的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1 D【答案】:D【解析】：复数1z i =+，∴111111,,--1222i z z i z i z +==-∴-=-，虚部，实部虚部,故选D.2.如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{A x y =，30{|}x B y y x >＝＝，，则A B ⊗为()A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．1{|0}2x x x ≤≤≥或D ．1{|0}2x x x ≤≤>或【答案】:D 【解析】：{}{}{}{}02,1,0,12,()A B A x x B y y AB x x AB x x A B CAB =≤≤=>∴=≥=<≤∴⊗=={}012x x x ≤≤>或，故选D.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D.【答案】B【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B ．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．4. 已知向量(1,3),(6,)a b m =-=错误！未找到引用源。
2019届高三理科数学测试卷(三)附答案
第1页（共8页） 第2页（共8页）2019届高三理科数学测试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|3A x x =≤，集合(){|lg B x y a x ==-，且}x ∈N ，若集合{}0,1,2A B =，则实数a的取值范围是（ ） A ．[]2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,32．已知i 是虚数单位，复数z 是z 的共轭复数，复数1i3i 1iz -=+-，则下面说法正确的是（ ）A ．z 在复平面内对应的点落在第四象限B ．22i z =+C ．2+z z的虚部为1 D ．22zz =+ 3．已知双曲线()22106x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．14222=-y x B ．18422=-y x C ．1822=-y x D ．18222=-y x 4．据统计一次性饮酒4．8两诱发脑血管病的概率为0．04，一次性饮酒7．2两诱发脑血管病的概率为0．16．已知某公司职员一次性饮酒4．8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2．4两不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．87B ．65 C ．43 D ．2120 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A ．552 B ．25 C ．38 D ．23 6．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1502n n n a S S n -+=≥，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为n S n 5=B ．数列{}n a 的通项公式为()151n a n n =+，115a =C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列D ．数列{}n a 是递增数列7．古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物．算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36．”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（ ）A ．32B ．29C ．27D ．218．若(),M x y 为⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≥+-0202302y x y x y x 区域内任意一点，则()22216z x y λλλ=++-的最大值为（ ）A ．2B ．28λ-C ．262+λD ．242--λ此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共8页） 第4页（共8页）9．已知实数a ，b ，c ，a a2log 2-=，121log 2b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2312c c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>10．将函数()22cos ()16g x x π=+-的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴 11．已知函数()2e 3,0241,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有4个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),4223e,-∞--+∞B ．()e 3,422--C ．()(),422422,-∞-++∞D ．()3e,422-+12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且FB AF 3=，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，l AA ⊥1于点1A ，且四边形CF AA 1的面积为36，过()1,0K -的直线'l 交抛物线于M ，N 两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，则点G 的横坐标0x 的取值范围为（ ） A ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为 ．14．二项式()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为 ．15．已知数列{}n a 满足31=a ，且对任意的m ，*n ∈N ，都有n mmn a a a =+，若数列{}n b 满足()23log 1n n b a =+，则数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的取值范围是 ．16．已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC △沿对角线AC 折起，使平面⊥ABC 平面ACD ，得到如图所示的三棱锥ACD B -，若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且CM BN =，设x BN =，则三棱锥AMC N -的体积取得最大值时，三棱锥ADC N -的内切球的半径为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22sin 12sin 32A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求B 的大小；（2）若B C A 2sin sin sin =，求ca的值．第5页（共8页） 第6页（共8页）18．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，四边形CA C A 11为菱形，111160B A A C A A ∠=∠=︒，4AC =，2AB =，平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，Q 在线段AC 上移动，P 为棱1AA 的中点．（1）若Q 为线段AC 的中点，H 为BQ 中点，延长AH 交BC 于D ，求证：AD ∥平面PQ B 1； （2）若二面角11C PQ B --的平面角的余弦值为1313，求点P 到平面1BQB 的距离．19．（12分）2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”．评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为22，已知过y 轴上一点()0,M m 作一条直线l ：()0y kx m m =+≠，交椭圆于A ，B 两点，且1ABF △的周长最大值为8． （1）求椭圆方程；（2）以点N 为圆心，半径为ON 的圆的方程为()222x y m m ++=．过AB 的中点C 作圆的切线CE ，E 为切点，连接NC ，证明：当NC NE取最大值时，点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）．第7页（共8页） 第8页（共8页）21．（12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001'''f x g x g x f x +<-成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y tx （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且90AOB ∠=︒． （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M ，N 两点，证明：22C M C N ⋅（2C 为圆心）为定值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}2|30B x x x =-<，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案 第1页（共6页） 答案 第2页（共6页）高三理科数学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】2-14．【答案】22- 15．【答案】12,2115⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．【答案】3622-三、解答题．17．【答案】（1）3B π=或56B π=；（2）1=ca ．【解析】（1）∵22sin 12sin 3cos22A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin 12sin 3cos 202A C B B +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即02cos 3cos sin 2=+B B B ，∴02cos 32sin =+B B ，∴sin 203B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()23B k k π+=π∈Z ，又()0,B ∈π，∴3B π=或56B π=． （2）∵B C A 2sin sin sin =，∴2b ac =，又由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，∴()2212cos a c ac B +=+，当3B π=时，则0222=-+ac c a ，∴c a =，∴1=ca ， 当56B π=时，则()22310a c ac ++-=，∴()23110a ac c⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，()2314230∆=--=-<，此方程无解．综上所述，当且仅当3B π=时，可得1=ca ． 18．【答案】（1）见解析；（2）26． 【解析】（1）证明：如图，取1BB 中点E ，连接AE ，EH ， ∵H 为BQ 中点，∴1EH B Q ∥，在平行四边形B B AA 11中，P ，E 分别为1AA ，1BB 的中点，∴1AE PB ∥， 又E AE EH = ，111B Q B PB = ，∴平面EHA ∥平面QP B 1． ∵⊂AD 平面EHA ，∴AD ∥平面PQ B 1．（2）连接1PC ，1AC ，∵四边形CA C A 11为菱形，∴4111===C A AC AA ， 又1160C A A ∠=︒，∴11AC A △为正三角形． ∵P 为1AA 的中点，∴11AA PC ⊥，∵平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，平面 11A ACC 平面111AA A ABB =，⊂1PC 平面11A ACC ， ∴⊥1PC 平面11A ABB ，在平面11A ABB 内过点P 作1AA PR ⊥交1BB 于点R ， 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则答案 第3页（共6页） 答案 第4页（共6页）()0,0,0P ，()10,2,0A ，()0,2,0A -，()10,0,23C ，()0,4,23C -，设()0,2,23AQ AC λλ==-，[]0,1λ∈，∴()()0,21,23Q λλ-+，∴()()0,21,23PQ λλ=-+， ∵211==AB B A ，1160B A A ∠=︒，∴()13,1,0B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,x y z =m ，则100PQ PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得()2123030y z x y λλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令1=x ，则3y =-，1z λλ+=-，∴平面1PQB 的一个法向量为11,3,λλ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ，设平面C C AA 11的法向量为()1,0,0=n ，二面角11C PQ B --的平面角为θ，则2113cos 13113θλλ⋅==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭m nm n， ∴21=λ或41-=λ（舍），∴AC AQ 21=，∴()0,3,3Q -．又()3,3,0B-，∴()3,0,3QB =-，∴336QB =+=，连接BP ，设点P 到平面1BQB 的距离为h ，则h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯6421313342131，∴26=h ，即点P 到平面1BQB 的距离为26． 19．【答案】（1）121140；（2）见解析，()0.75E X =．【解析】（1）设i A 表示所抽取3个中有i 所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41164=， 由题知X 的可能取值为0，1，2，3．()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3313464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()27911230.75646464E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）12422=+y x ；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得11122148AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++==， ∴2=a ∵22=a c ，∴2=c ，∴2=b ， ∴所求椭圆方程为12422=+y x ． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立⎩⎨⎧=++=4222y x m kx y 得()222214240k x kmx m +++-=，由0>∆得2422+<k m ，且124221+-=+k km x x ，∴122221my y k +=+， ∴222,2121kmm C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵以点N 为圆心，ON 为半径的圆的方程为()222x y m m ++=，∴()0,N m -，∴2222222121km m NC m k k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()22422241321m k k NC k ++=+， ∵NE m =，∴()()()2422222224138312121k k NC k NEkk+++==+++．令()2833t k t =+≥，∴41122+=+t k ，∴()222161611112NC t t NE t t=+=++++， 令()13y t t t =+≥，则011'2>-=t y ， ∴tt y 1+=在[)3,+∞上单调递增，∴3101≥+t t ，当且仅当3=t 时等号成立，答案 第5页（共6页） 答案 第6页（共6页）此时NC NE取得最大值，且0=k ，∴22422=+<k m ，∴22<<-m 且0≠m ，∴点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）． 21．【答案】（1）2-=a ；（2）[)1,+∞；（3）()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 【解析】（1）()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，'ay x x=-， 由题意得322=-a，解得2-=a ， （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，令21x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，则问题等价于()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数，()'2a F x x x=+-，则问题转化为()'0F x ≥在()0,+∞上恒成立，即22x x a -≥在()0,+∞上恒成立， 所以()2max21a x x ≥-=，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．（3）不等式()()()()00001'''f x g x g x f x +<-等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数()1ln am x x a x x +=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <， ()()()()22221111'1x ax a x a x a a m x x x x x --+--++=--==，因为0>x ，所以01>+x ，令()'0m x =，得a x +=1．①当11≤+a ，即0≤a 时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2-<a ； ②当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，()m x 在a x +=1处取得最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<，即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1a a a++<+ 令1+=a t ，则1e t <≤，不等式()11ln 1a a a ++<+可化为t t t ln 11<-+， 因为1e t <≤，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立． ③当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0eam a +=-+<， 解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2=b ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，()2224x y ++=， ∵90AOB ∠=︒，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，∴2=b ． （2）证明：曲线1C 的普通方程为()20x ay a =>，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty tx 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 04212>+=∆a a 恒成立，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则821=t t ， ∴228C M C N =， ∴22C M C N 为定值8．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）由()9f x ≤可得2419x x -++≤，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x ，解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式()9f x ≤的解集为[]2,4-．（2）易知()0,3B =，由题意可得2412x x x a -++<+在()0,3上恒成立，⇒241x x a -<+-在()0,3上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在()0,3上恒成立， 3->⇒x a 且5a x >-+在()0,3上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5a a 5≥⇒a ．。
2019年高考理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解)(2021年整理精品文档)
2019年高考理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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绝密★启用前 6月7日15：00—17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ)数学（理工农医类)总分：150分 考试时间:120分钟★祝考试顺利★注意事项:1、本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2、选择题的作答:选出每小题答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后,将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019全国卷Ⅲ·理）已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|1}B x x =≤,则A B =（)A 。
{1,0,1}-B 。
{0,1}C.{1,1}-D.{0,1,2}【解析】因为2{|1}{|11}B x x x x =≤=-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，所以A B ={1,0,1}-.故选A. 【答案】A2.(2019全国卷Ⅲ·理)若(1i)2i z +=,则z =(）A.1i --B.1i -+C 。
2019届湖南省高考冲刺卷(理)(三)数学卷【含答案及解析】
2019届湖南省高考冲刺卷（理）（三）数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数满足，则（）A．______________________________ B．____________________________ C．______________________________D．2. 集合，则（）A．______________ B．______________________________C．____________________________ D．3. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．___________________________________ D．4. 设是等比数列的前项和，若，则（）A． B． C．___________________________________ D．或5. 有四个关于三角函数的命题：或；_________ ；；________.其中真命题是（）A．______________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．6. 若实数满足不等式组 ,且的最小值等于 ,则实数的值等于（）A． B． C．D．7. 如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（）A．___________________________________ B．___________________________________ C． D．8. 若 ,则 ,则的值为（）A．___________________________________ B． C．D．9. 如图, 有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线经过原点向右平行移动, 在移动过程中扫过平面图形的面积为 (图中阴影部分), 若函数的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可能是（）10. 在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点, 是曲线在点处的切线, 且交坐标轴于两点, 则以下结论正确的是（）A．的面积为定值 B．的面积有最小值为C．的面积有最大值为______________________________________D．的面积的取值范围是11. 已知分别是双曲线的左、右焦点, 点在双曲线右支上, 且为坐标原点), 若 ,则该双曲线的离心率为（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．______________________________ D．12. 设函数是定义在上的偶函数, 对任意 ,都有,且当时, , 若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根, 则的取值范围是（）A．___________________________________ B．___________________________________ C．___________________________________ D．二、填空题13. _________ ．14. 已知 ,则_________ ．15. 某校高一开设门选修课, 有名同学, 每人只选一门, 恰有门课程没有同学选修, 共有 _________ 种不同的选课方案．(用数字作答)16. 如图, 在中, , 点在线段上, 且 ,则 _________ ．三、解答题17. 已知数列中, .（1）求证：是等比数列, 并求的通项公式；（2）数列满足 ,数列的前项和为 ,若不等式对一切恒成立, 求的取值范围.18. 交通指数是指交通拥堵指数简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通：基本畅通：轻度拥堵：中度拥堵：严重拥堵. 在晚高峰时段 ,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：（1）在这个路段中, 轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这个路段中随机抽出个路段, 用表示抽取的中度拥堵的路段的个数, 求的分布列及数学期望.19. 如图, 平面平面为等边三角形, , 过作平面交分别于点 ,设 .（1）求证：平面；（2）求的值, 使得平面与平面所成的锐二面角的大小为 .20. 已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率 ,虚轴长为 .（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点 ,求证：直线过定点, 并求出定点的坐标.21. 设函数 .（1）若关于的不等式在为自然对数的底数) 上有实数解, 求实数的取值范围；（2）设 ,若关于的方程至少有一个解, 求的最小值；(3) 证明不等式： .22. 选修4-1：几何证明选讲已知是的外角的平分线, 交的延长线于点 ,延长交的外接圆于点 ,连接 .（1）求证：；（2）若是外接圆的直径, , 求的长.23. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数), 曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点, 与轴交于点 . （1）求曲线的直角坐标方程；（2）求的值.24. 选修4-5：不等式选讲设 .（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
河北省2019-2020届高三下学期冲刺考试数学理试题含答案
高三数学理科试卷注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合2{|210}A x x x =-+>，212B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．1[,)2+∞B ．(1,+∞)C ．1[,1)2D ．1[,1)(1,)2+∞2. 已知10<<<a b ，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A 、a bB 、a aC 、b aD 、b b3. 设复数21(1)1iz i i-=+++，则9(1)z +的二项展开式的第7项是 （ ） A ．－84 B ．84i - C ．36 D ．36i - 4. 设x 为区间[]2,2-]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的概率为（ ）A.34B.58 C.12 D.385.在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201820152017a a a a --的值为（ ）A. 3或 1-B. 9或 1C. 3D. 96. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种7.过点(1,1)P --且不垂直于y 轴的直线l 与圆22:230M x y x +--=交于,A B 两点，点C 在圆M 上，若ABC ∆是正三角形，则直线l 的斜率是（ ） A.34 B. 32 C. 23 D. 438.已知等边三角形ABC 中，D 是线段AC 的中点，DE AB ⊥，垂足为E ,F 是线段BD 的中点，则DE =（ ） A. 3584BD FC -+B. 3584BD FC -C. 1384BD FC -D. 1384BD FC -+ 9.设函数()()f x x R ∈满足()()si n f x f x x π+=+， 当0x π≤<时，()0f x =，则23()6f π=（ ） A.12 B. 32 C. 0 D. 12-10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点）,则E 的离心率为（ ） A.5 B. 2 C. 3 D. 211.三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ==∠=,三棱锥S ABC -的体积为12，则球O 的表面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π12.锐角ABC ∆中，,,a b c 为角,,A B C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为（ ）A. 4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.46,53⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 16,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于32a ，将这个结论推广到空间是：棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 _________ 14.220(4)x x dx -+⎰的值等于_______________15. 已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为4，则=++acb a _________ 16.已知过抛物线2:4C y x =的焦点F 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，动直线:(0)l x ty n n =+≠与抛物线C 相交于,M N 两点，若OM OBOA ONk k k k =,则直线l 与圆22(2)(2)9x y -++=相交所得最短弦的长度为_______________ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 17. 已知数列{}n a 满足114a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈，0n a ≠． （1）证明数列11()n n N a *⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前n 项和为n T ,求证:对任意n N *∈，23n T <. 18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2,4,120AB AC BAC ==∠=，D 为BC 的中点．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若二面角A PB C --的大小为45，求三棱锥P ABC -的体积．19. 某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组)80,75[，第2组)85,80[，第3组)90,85[，第4组)95,90[，第5组]100,95[得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试， ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分．（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）20.已知椭圆22:12x C y +=，12,F F 为椭圆的左、右焦点，点P 在直线:2l x y += 上且不在x 轴上，直线12,PF PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，O 为坐标原点. （1）设直线12,PF PF 的斜率为12,k k ，证明：12132k k -=； （2）问直线l 上是否存在点P ，使得直线,,,OA OB OC OD 的斜率0,,,OA B OC OD k k k k 满足00OA B OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.已知函数2()ln (2)1()f x x ax a x a R =++++∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设a Z ∈，若对任意的0,()0x f x >≤恒成立，求整数a 的最大值； （3）求证：当0x >时，32ln 210x e x x x x x -+-+->.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α是参数），直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 和直线l 交于,A B 两点，若23OA OB +=,求k 的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数m x x x f +--+=22)( ).(R m ∈ （1）若1m =，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若函数x x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围．高三数学理科答案一、选择题DCACC BDCAB DB二、填空题13、63a 14. π＋2 15. 2- 16. 4 三、解答题17. 解析：（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=有1121111,12(1)n n n n a a a a ---=∴-=- ∴数列1{1}n a -是首项为1113a -=，公比为2的等比数列. 1111132,.321n n n n a a --∴-=⋅∴=⨯+ -----6分 （2） 11321n n a -=⨯+212111111111313213323213213232n n n T --∴=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅++⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯(9分) 1211111[1()()]3222n -=+++⋅⋅⋅+ 1112122(1).1333212n n -=⋅=-<- 12分 18．解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝27.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.(2分)因为2211(),()24AD AB AC AD AD AB =+=+则所以AD ＝ 3.(4分)因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分)在Rt △DAE 中，由已知，∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.(9分) 在Rt △PAB 中，设PA ＝a ，则PB ＝AB 2＋PA 2＝4＋a 2.(10分)因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △AB C ×PA ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以＝(－2，3，0)，＝(－2，0，a )．(8分) 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，23a .(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面PAB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3.(11分) 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)19. 解析：（1）第3组的频率为 3.0506.0=⨯ ；第4组的频率为 2.0504.0=⨯； 第5组的频率为 1.0502.0=⨯ -----------4分 （2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。
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2019届高三下学期冲刺高考“回头看”（三）
理科数学 第I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．集合{}2320A x x x =-+>，A =R ð（ ）
A ．{2x x >或}1x <
B ．{}12x x <<
C ．{2x x ≥或}1x ≤
D ．{}12x x ≤≤ 2．已知复数43i
1i
z +=
+，则z =（ ）
A B ．52
C
D ．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ）
A ．243或127
B ．81或181
C ．243
D ．
127
4．已知P 为椭圆C ：2
219
x y +=上一点，Q （0，4），则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）
A ．3
B ．5
C ．
D ．
5．从某小区抽取100户居民进行月用电置调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（）
A．150
B．177.8
C．183.3
D．200
6．已知[x]表示不超过x的最大整数．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4．则输出z的值为（）
A．1.2
B．0.6
C．0.4
D．-0.4
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．13
B ．1
C ．3
D ．
32
8．已知偶函数f （x ）满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-．若函数()()0y f x kx k =->有六个零点，则（ ）
A ．1
5
k =
B ．11,75k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C ．11,53k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
D ．17
k =
9．已知双曲线C ：2
2
13
y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为()0k k >的直线l 与双曲线C 的左
右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）
A
B C ．58
D ．35
10．函数()sin 21f x x x =+的图象向右平移
π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程()g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ）
A ．6π
B ．8π
C ．10π
D ．12π
11．在四面体A -BCD
中，AC BC AD BD ====，
AB CD x ==，则四面体A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．1
2 B ．
23
C ．13
D ．
34
12．函数()()2231f x ax a x a =--++与()1
1
g x x =
-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()18,0- B ．1415,27⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．1418,27⎛
⎫- ⎪⎝⎭
D ．()1418,00,27⎛⎫
- ⎪⎝⎭
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，第小题5分）
13．已知向量a =（2，3），b =（1，-2），若()()()m m +⊥-∈R a b a b ，则m________． 14．5
32x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中3x 项的系数为________（用数字作答）．
15．已知变量x ，y 满足约束条件10,
220,240,
x y x y x y --⎧⎪
+-⎨⎪-+⎩
≤≥≥则目标函数1y z x =+的最大值为________．
16．如图，ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()cos 2cos cos b c A a B C +=--，b=c ，设()0πAOB θθ∠=<<，OA=2OB=4，则四边形OACB 面积的最大值为________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n
n n
a b =
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，AB=3．AA1=4，AB⊥AC．
（I）证明：A1C⊥平面ABC1；
(Ⅱ)在线段A1B1上是否存在点D，使得平面DBC与平面AA1C1C所成的锐二面角为45°，若存在．求出线段A1D的长度；若不存在，说明理由
19．（本小题满分12分）
新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A车型进行产品更新换代，为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：
（I）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关？
（II）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A型车外观设计的概率；
（III）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A型车外观设计的人数为X．求X的数学期望和方差．
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
已知动点Q 在x 轴上方，且到定点F(0.1)的距离比到x 轴的距离大1． （I ）求动点Q 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ)过点P(1，1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上． 21．（本小题满分12分） 已知函数()()()ln 11
ax
f x x a x =+-
∈+R ． （I ）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （II ）比较20172019与20182018的大小．
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分：多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分． 22．（本小题满分10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l
的参数方程2112
x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．
（I ）求曲线C 的直角坐标方程；
（II ）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，M （2，-1），求11
AM BM
+
的值． 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()32f x x x a =-++-，a ∈R ． （I ）当3a =时，解不等式()0f x <；
（II ）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围．。