《函数模型的应用实例》

由于 x > 0,且520 - 40x > 0,即0 < x < 13
y =(520 - 40x)x - 200 = -40x2 + 520x - 200 = -40(x - 6.5)2 + 1490
∴当x = 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例6. 以下是某地区不同身高的未成年男性的 体重平均值表：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能 获得最大利润？ 分析:①由表中信息可知 销售单价每增加1元，日均销售量
就减少40桶.
②利润怎样产生的？ 利润=收入-成本 收入=售价 销售量
解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利润为y元, 则有日均销售量为:
480 - 40(x -1)= 520 - 40x（桶）
新课引入 常见的数学函数模型:
一次函数模型：y=kx+b (k≠0)
二次函数模型：y=ax2+bx+c (a≠0) 指数函数模型：y=max+n(m≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型：y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型： y=bxa+c (b≠0,a≠1)
分段函数模型：
注意：建立相应函数模型后，求函数解 析式多采用用待定系数法.
y=55196e0.0221
t
55196
56429
57690
58980
60297
61645
63022
64431
65870
67342
应用实例
函数函模数型的的应应用用实实例例
函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比
序号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
思考
1.某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑 步去学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑 了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。
如果用纵轴表示该同学去学校时离开家的距离，
横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符
合此学生走法的是( C )
d d0
d
d
d
d0
d0
d0
0 t0
(A)
t
0
t0
(B)
应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图所示。
v /(km/h )
（1） 求图中阴影部分的面积， 90 并说明所求面积的实际含义； 80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 t/h
函数模型的应用实例
应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图所示。
v /(km/h )
的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程
表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的
图象。
v /(km/h )
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5 t/h
应用实例
函数模型的应用实例
（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前
的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表
80(t-1)+2054 1≤t＜2
2200
S = 90(t-2)+2134 2≤t＜3
2100
75(t-3)+2224 3≤t＜4 2000
0
65(t-4)+2299 4≤t＜5
这个函数的图象如图3.2-8所示
1
2
3
4
图3.2-8
5t
小结
函数模型的应用实例
(1)怎样建模（利用已知函数关系） (2)学会识图，作图和用图； (3)分段函数是刻画现实问题的重要模型。
解：将 y=130000代入 y 55196 e0.0221t ,t N
由计算器可得 t≈38.76
函数函模数型的的应应用用实实例例
应用实例
（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？
解：将 y=130000代入 y 55196 e0.0221t ,t N
由计算器可得 t≈38.76
万人
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一 时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人 口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型， 并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
应用实例
函数模型的应用实例
解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.
由
55196 (1+r1) =56300
20 10
1 2 3 4 5 t/h
应用实例
函数模型的应用实例
（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的
读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读
数s( km)与时间t (h)的函数解析式s ，并作出相应的图象。
解：根据图3.2-7，有
2400
50t+2004 0≤t＜1
2300
60 000
55 000
50 000
12 34 5 6 7 8
9
x
由图可以看出，所得模型与1951～1959年的实际人口数据基 本吻合。
应用实例
函数函模数型的的应应用用实实例例
（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？
函数函模数型的的应应用用实实例例
应用实例
（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？
函数模型的应用实例
y=y0er t
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/ 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
所以，如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年 后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。
函数函模数型的的应应用用实实例例 猜一猜
如果不实行计划生育，我国今天的人口是多少？
函数函模数型的的应应用用实实例例 猜一猜
如果不实行计划生育，我国今天的人口是多少？
20.79亿
解决实际应用问题的一般步骤：
y=55196e0.0221
t
应用实例
函数模型的应用实例
函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比
序号
0
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
5
6
7
8
9
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
t 0 t0
(C)
t
0
t0
(D)
t
2.设计四个杯子的形状,使得在向杯中匀速注水时,
杯中水面的体积V随高度h变化的图象分别与下列
图象相符合.
v
v
v
v
0
Hh 0
Hh 0
H
0
H
应用实例
函数模型的应用实例
例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的 问题。认识人口数量的变化规律，可以为 有效控制人口增长提供依据。早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态 下的人口增长模型：
实际问题 问 题 解 决
实际问题 的解
抽象概括
数学模型
数学化
(设、列)
数
(解)
学 解
答
推 理 演 算
还原说明
符合实际 (答)
数学模型 的解
例5.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，
每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
应用实例
函数模型的应用实例
函数模型的应用实例例4实际数据与计算数据对比
序号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐 标，在直角坐标系中画出散点图
y
0
x
解：⑴将已知数据输入画出图,根据图的总体变化趋势，
可以考虑函数 y a bx进行拟合,反映上述数据之间的
对应关系.
将 x = 70 , y =7.90和x =16 0 , y =47.25 两组数据代入
y a b x 可得 7.90 a b70
可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
同理可得，r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r5≈0.0197
r6≈0.0223 r7≈0.0276 r8≈0.0222 r9≈0.0184
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221
应用实例
函数模型的应用实例
解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.
r6≈0.0223 r7≈0.0276 r8≈0.0222 r9≈0.0184
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为
令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y 55196 e0.0221t ,t N
由于 78 63.98 1.22 1.2 所以这个男生偏胖。
（1）
求图中阴影部分的面积，90 80
并说明所求面积的实际含义； 70
60
解：（1）阴影部分的面积为
50
50×1+80×1+90×1+75×1+
40 30
65×1=360
20
10
1 2 3 4 5 t/h
函数模型的应用实例
应用实例
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时
间的关系如图所示。
v /(km/h )
令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
应用实例
函数模型的应用实例
解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 r1，r2，…，r9.
由
55196 (1+r1) =56300
可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
同理可得，r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r5≈0.0197
读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解：根据图3.2-7，有 50t+2004 0≤t＜1 80(t-1)+2054 1≤t＜2
S = 90(t-2)+2134 2≤t＜3 75(t-3)+2224 3≤t＜4
v /(km/h )
90 80 70 60 50 40 30
65(t-4)+2299 4≤t＜5
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120
体重/Kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92
身高/cm 130 140 150 160 170
体重/Kg 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表中提供的数据，能否从我们已 经学过的函数 y ax b , y alnx b , y a bx中选 择一种函数，使它比较近似地反映出该地区 未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试 求出函数解析式。
由
55196 (1+r1) =56300
可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
同理可得，r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r5≈0.0197
r6≈0.0223 r7≈0.0276 r8≈0.0222 r9≈0.0184
r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221 于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为0.0221
47.25

a

b160
如果保留两位小数可得 a=2，b=1.02
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可 以选为 y 21.02x
例6. （2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生为175cm，体重 为78Kg，他的体重是否正常？
（1）
求图中阴影部分的面积，90 80
并说明所求面积的实际含义； 70
60
解：（1）阴影部分的面积为
50
50×1+80×1+90×1+75×1+
40 30
65×1=360
20
阴影部分的面积表示汽车在这5小时10
内行驶的路程为360km.
1 2 3 4 5 t/h
应用实例
函数模型的应用实例
（2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前
人数/万人
55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
y=55196e0.0221
t
55196
56429 57690 58980 60297 61645 63022 64431 65870 67342
图像检验
y
70 000
65 000