最新动态法测量杨氏模量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动态法测量杨氏模量
南昌大学物理实验报告
课程名称：普通物理实验（2）
实验名称：动态法测量杨氏模量
学院：理学院专业班级：应用物理学152班学生姓名：学号：
实验地点： B510 座位号： 22
实验时间：第二周星期五下午 4点开始
一、实验目的：
1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方
法。
4、培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
二、实验仪器：
信号发生器，动态弹性模量测定仪，铜棒，示波器。
三、实验原理：
1、杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结
构、化学成分和加工制造方法等因素有关。测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。此实验中所采用动态法，既可测量金属的杨氏模量，也可以测量玻璃、陶瓷材料的杨氏模量，测量准确度也较高。
2、如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动
力学方程（横振动方程）为
2
2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂
t
EJ
y
S
x
yρ（1）
其中，棒的轴线沿x方向， y为棒上距左端x处截面的y方向位
移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面
积；J为某一截面的转动惯量，⎰⎰
=
s
ds
y
J2。横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)(
)
(
)
,
(t
T
x
X
t
x
y=，则有
2
2
4
41
1
dt
T
d
T
EJ
S
dx
X
d
X
•
-
=
ρ（2）由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假
设此常数为K4，则可得到下列两个方程
y
x
O
图1 细长棒的弯曲振
x
L
4
4
4
=
-X
K
dx
X
d（3）
4
2
2
=
+T
S
EJ
K
dt
T
d
ρ
（4）如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
⎩
⎨
⎧
+
=
+
+
+
=
)
cos(
)(
sin
cos
)
(4
3
2
1
ϕ
ωt
b
t
T
Kx
a
Kx
a
shKx
a
chKx
a
x
X
（5）于是可以得出
)
cos(
)
sin
cos
(
),
(4
3
2
1
ϕ
ω+
•
+
+
+
=t
b
Kx
a
Kx
a
shKx
a
chKx
a
t
x
y（6）式中
2
1
4
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
S
EJ
K
ρ
ω（7）式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到
1
cos=
•chKL
KL (8) 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
K n L=0，4.730，7.853，10.996，14.137， (9)
其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为
2
3
2
2
4
310
8870
.7
10
9978
.1f
J
m
L
J
S
L
E-
-⨯
=
⨯
=ω
ρ（10）
如果试样为圆棒(d< 64 4 d J π =，所以式（10）可改写为 2 4 3 6067 .1f d m L E=（11）同样，对于矩形棒试样则有 2 3 3 9464 .6f bh m L E= 矩 （12） (a) n=1 (b) n=2 图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形