清华大学—电路原理完全版17

Im[
2Ie jt ]
Im[
d dt
(
2Ie jt )]
Im[ 2(j I) e jt ]
u d t 2 U sin( t ) d t
2 U cos( t )
2U
sin(
t
) 2
U Ue j
j
e 2 j
Im[ Im[
2U
e ] j( t / 2 )
2 U e j t ] j
i2 I sit n ) ( A ( t)2 Ij( e t )
A(t)还可以写成 A(t) 2Iejejt 旋转向量
复常数
IIejI i 2Isint()
相量
称
•
I IΨ
为正弦量 i(t) 对应的相量。
相量包含了正弦量的二个要素 I m ,
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u (t)2U siω n tθ () U U θ
相量图 (Phasor Diagram )
•
U
•
q
I
i(t)2 I sω itn ) ( I I
u ( t)2 U sω it n θ ) (U U θ
• 不同频率的相量不能画在一张相量图上。
二、相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
取虚部
u1(t)Ums1 inωt(Ψ1)Im2(U •1ejωt)
相量 正弦量
例1. 已知
i14.41sin3(1t430o)A 试用相量表示i, u . u311.11si4nt6(30o)V
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例2. 已知 I• 5 015A,f 50H . z 试写出电流的瞬时值表达式。
解： i502si3 n1 (t4 15 )A
e jt 模为1幅角为t, 旋转向量
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正弦量的相量表示
一、正弦量的相量(Phasor)表示
造一个复指数函数 A(t) 2Iej(ωtΨ )
2Icoω st (Ψ)j 2Is iω nt (Ψ) 若对A(t)取虚部：
Im A (t)[ ] 2siω n (tΨ )是一个正弦量，
Imaginary(取虚部) 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
注意：
i(t)Im [2I ejt]
取虚部
旋转向量与正弦时间函数对应关系的几何意义
2Iejt 2Iejejt 2Ije (t)是模 2I,初 为始角
为 的旋转相量。
正弦时间函数 i I m sitn ) ( 2 I sitn ) (
是旋转向量 2Iej(t) 在虚轴上的投影。
取虚部
i(t)Im [ 2Iejt]
例． + u -
I1I2I3
+ u1
+
u1(t)3 2si3n1t4V u2(t)4 2sin3(1t 49o 0)V 求u。
u2 -
u (t)u 1(t)u 2(t)52 si3 nt1 (5 4.1 3 o)V
U 130oV
U 2490V
U U 1 U 2 5 5.1 o 3 V
例． + u -
•
U
I
RjL
UΨu R2ω2L2tg1L
i(t)
R
小结
① 正弦量
相量
时域
频域
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为 自变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频 率为自变量分析电路。
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的线性电路。
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三、相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)
例 i(t) R u (t) U m si tn u ) (
一阶常系数
+
u(t)R(it)Ldi(t) 线性微分方程
u(t)
L
dt
-
特解：Imsin( t+ i)
用相量法求：
u(t)R(it)Ldi(t) dt
•
•
•
U RIjLI
•
u2(t)Ums2 inωt(Ψ2)Im2(U •2ejωt)
u 1 (t) u 2(t)Im 2 U • 1 (ej t) Im 2 U • 2 (ej t)
Im(
•
2U1
ejt
•
2U2
ejt
)
Im(
2(U• 1U• 2)ejt
)
Im 2U ejt
•
•
•
UU1U2
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 i1 i2 = i3
(3) 旋转因子：
复数 ejq =1∠q
A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。
jA j Ae 2 -A O
Im A• ejq
qA
Re
欧拉公式
ej2cosjsin j ej2co2sjsi2nj
22
ej c os jsin 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
+ u1
-
U 130oV U 2490V
+
u2
-
同பைடு நூலகம்正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
Im
•
U2
••
U1U2
U U 1 U 2 5 5.1 o 3 V
u52si3 n1 t(5 4.1 3 o)V
•
U1
Re
2. 正弦量的微分，积分运算 iI
dijI
dt
证明
u U
udtj1 U
di dt
d dt