大学应用数学第六章

6.4.3矩阵可逆的判断
6.4.4用行初等变换求矩阵的逆矩阵
用行初等变换求逆矩阵的方法是：将方阵A 与同阶单位阵Ｅ一起写成长方矩阵 然后对此矩阵施行行初等变换，当虚线左边 化为单位矩阵时，虚线右边所化成的新矩阵 就是所求的A－１.
第六章 线性代数初步
线性代数初步
• 矩阵、行列式、线性方程组是线性代数的主要内容之一，也
是处理很多实际问题（如网络设计、电路分析、数据处理与 分析等）的重要工具，矩阵的理论及方法在经济规划与管理 中越来越得到广泛的应用. • 本章将学习矩阵、行列式的基本知识以及利用矩阵求解线性 方程组.
目录
6.1矩阵的概念与运算
例题
6.1.2矩阵的运算
即矩阵 C的第i 行第j列的元素是矩阵 A的第i 行元素与矩阵 B第j列的对应 元素乘积之和,且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵 B的列 数.称矩阵C为矩阵A与矩阵B的积.
例题
一般地我们有： 矩阵的乘法设矩阵A＝（aij)m×k,矩阵B=(bij)k×n,则由元素 cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)构成的m行n列矩阵C ＝(cij)m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作A·B(或AB），即有C＝AB （读作A左乘B）. 必须注意的是：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，才能作A左
6.3.2矩阵的秩
6.2.2行列式的性质
练习 6-3
1.1. 判断下列命题的正确性 .. 判断下列命题的正确性 (1)() 若矩阵 A的秩为 k,k, 则 A的所有 k阶子式不为零 . . (1)() 若矩阵 A的秩为 则 A的所有 k阶子式不为零 (2)() 若矩阵 A的秩为 k,k, 则 A的所有 k+1 阶子式全为零 . . (2)() 若矩阵 A的秩为 则 A的所有 k+1 阶子式全为零 (3)() 初等变换不改变矩阵的秩 . . (3)() 初等变换不改变矩阵的秩 (4)() 行简化阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的行数 . . (4)() 行简化阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的行数
性质6-2交换行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号.
6.2.2行列式的性质
性质6-３行列式等于任意一行（列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和.简言之，行列式可以按任意一行（列） 展开.
6.2.2行列式的性质
性质 6- ４行列式的任意一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
其中k为常数，A、B、C为矩阵，且上述各等式满足 矩阵乘法运算的条件.
6.1.2矩阵的运算
6.1.3应用举例
例6-9某投资者在甲、乙、丙三家公司都有股份，其股份数依次为100、200、300股，前年和去年 各家公司每股的红利（单位：元）如表6-2所示.
试用矩阵计算该投资者前年和去年从各公司获红利的总额.
6.1.2矩阵的运算
例
6.1.2矩阵的运算
例
6.1.2矩阵的运算
4.矩阵的乘法
例 例6 5设有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个工厂，生产甲、乙两种产品，矩阵A表 示一年中各工厂生产两种产品的数量，矩阵B表示两种产品的单位 价格与单位利润.求各工厂一年的总收入与总利润的矩阵表示.
例题
6.1.2矩阵的运算
解
例 由于Ⅰ工厂年总收入为50×100+60×450=32 000, 总利润为50×200+60×800=58 000. Ⅱ工厂年总收入为70×100+80×450=43 000, 总利润为70×200+80×800=78 000. Ⅲ工厂年总收入为80×100+90×450=48 500, 总利润为80×200+90×800=88 000. 所以三个工厂年总收入与总利润用矩阵表示为
例 例6-2设两种货物从甲、乙、丙三个产地运往A、B、C、D四个销地， 调运方案可分别由矩阵A和B给定，
例题
6.1.2矩阵的运算
一般地我们有： 矩阵的加（减）法两个m行n列矩阵A＝(aij)和B ＝(bij)中对应元素相加（减）得到的m行n列矩 阵，称为矩阵A与B的和（差），记作A±B，即 A±B＝(aij)m×n±(bij)m×n=(aij±bij)m×n 我们把行数相同、列数也相同的矩阵称为同型 矩阵 .
6.2.2行列式的性质
6.2.2行列式的性质
性质6-5把行列式的任意一行（列）的各元素同乘以数k,等于 该行列式乘以数 k. 性质6-６用数k乘行列式某一行（列）的各元素，然后再加到 另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.
6.2.2行列式的性质
6.2.2行列式的性质
6.2.2行列式的性质
例
6.1.1矩阵的概念
主对角线上的元素全为数a的对角矩阵称为数量矩阵. 主对角线上的元素全为1的n阶数量矩阵称为n阶单位矩阵，
记作E.
若把矩阵A＝（aij)m×n中各元素变号，则得到矩阵A的负矩阵 －A，即－A＝（－aij）m×n.
6.1.2矩阵的运算
矩阵虽然是由一些数构成的数表，但可以对它 施行一些具有理论意义和实际意义的运算，从 而使它成为解决实际问题的有力工具.
6.1.1矩阵的概念
当n=1时，矩阵称为列矩阵，即A＝
所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作O.
6.1.1矩阵的概念
从矩阵左上角到右下角的对角线，称为矩阵的主对角线；从 矩阵左下角到右上角的对角线，称为矩阵的次对角线；关于 主对角线对称的元素都相等的方阵称为对称矩阵. 主对角线以外的元素全为零的n阶方阵称为对角矩阵.
6.3.1矩阵的初等变换
• 定理6-１任意一个矩阵Am×n都可以通过一系列的行初
6.3.1矩阵的初等变换
等变换化为与其等价的阶梯形矩阵. • 推论6-2任意一个阶梯形矩阵都可以用一系列的行初等
变换化为行简化阶梯形矩阵.
6.3.1矩阵的初等变换
例
6.3.2矩阵的秩
6.3.2矩阵的秩
• 定理6-2矩阵A的秩r(A)=k的充分必要条 件是矩阵A中有一个k阶子式不为零，而 其所有k+1阶子式全为零. • 定理6-3阶梯形矩阵的秩等于它的非零行 数.初等变换不改变矩阵的秩.
阵,其解是否也可以写成Ｘ＝A－１Ｂ呢？如果可
以，A－１的含义又是什么呢？ 逆矩阵设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵Ｃ，使
得AC=CA=E,则称A是可逆矩阵，且Ｃ为A的逆
矩阵，记作A-1，即Ｃ＝A-1.
6.4.1逆矩阵的概念
6.4.2逆矩阵的性质
如果矩阵A、Ｂ是n阶可逆方阵，则有如下性质： （１）A－１是唯一的. （２）A－１也可逆，且（A－１）－１＝A. （３）AＴ也可逆，且（AＴ）－１＝（A－１）T. （４） （５） （６）AB、ＢA均可逆，且有（AＢ）－１＝Ｂ－１A－１， （ＢA）－１＝A－１Ｂ－１.
6.1.3应用举例
6.1.3应用举例
例6-10某公司用三种方法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ生产甲、乙、丙、丁四种产 品，各种方法生产每种产品的数量如下列矩阵所示：
例
例题
若甲、乙、丙、丁四种产品的单位成本分别为 10 、 12 、 8 、 15 （万元），销售单价分别为15、16、14、17（万元）.试用矩阵 运算求出何种方法获利最大？
1.矩阵的相等与转置
如果A＝(aij)与B=(bij)都是m×n矩阵，并且它 们对应的元素相等，即 aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称矩阵A与矩阵 B相等，记作A＝B. 把矩阵A的行与列互换后得到的新矩阵，称为 原矩阵A的转置矩阵，记作AT或A′.
6.1.2矩阵的运算
2.矩阵的加（减）法
例
6.2.2行列式的性质
称行与列互换后得到的行列式
6.2.2行列式的性质
为原行列式Ｄ的转置行列式，记作ＤT （或D′).
6.2.2行列式的性质
性质6-１把行列式的行与列互换，行列式的值不变.即Ｄ＝DT. 对列也同样成立，反之亦然.
由此可知，行列式中行与列的地位是对称的，凡对行成立的性质，
6.2.2行列式的性质
6.2行列式
6.3矩阵的初等变换与矩阵的秩
6.4逆矩阵 6.5线性方程组
§6.1矩阵的概念与运算
6.1.1矩阵的概念
1.矩阵的概念
6.1.1矩阵的概念
所谓矩阵，其实就是一个数表，它是实际生活中与数字 有关的表格的一种简单表示形式.
6.1.1矩阵的概念
2.常用的特殊矩阵
当m=n时，矩阵称为n阶方阵，简称方阵，记作An或(aji)n. 当m=1时，矩阵称为行矩阵，即A＝（a11a12…a1n).
1.判断下列命题的正确性. (1)()若矩阵A的秩为k,则A的所有k阶子式不为零. (2)()若矩阵A的秩为k,则A的所有k+1阶子式全为零. (3)()初等变换不改变矩阵的秩. (4)()行简化阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的行数.
练习6-3
§6.4逆矩阵
6.4.1逆矩阵的概念
在代数方程ax=b中，若a≠０，其解为x=a-1b. 那么在矩阵方程AＸ＝Ｂ中，若矩阵A不是零矩
乘B的乘法运算，且积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B
的列数. 可以验证，任意n阶方阵与n阶单位矩阵的积仍为n阶方阵本身.
6.1.2矩阵的运算
பைடு நூலகம்
例
6.1.2矩阵的运算
由此可知，矩阵的乘法不满足交换律，但可以证明矩 阵的乘法满足结合律与分配律，即： • （1）（AB）C＝A（BC），k(AB)=(kA)B=A(kB); • (2) A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.
6.1.2矩阵的运算
3.矩阵的数乘
例 例6-3在例6-1中，货物从三个产地运往四个销地的调运计划表可以 用矩阵
例题
6.1.2矩阵的运算
一般地我们有：
矩阵的数乘数k与矩阵A＝（aij)m×n的每一个元 素相乘得到的矩阵，称为k与A的数乘矩阵，记 作kA,即kA＝（kaij)m×n. 容易验证，矩阵的数乘运算满足下列运算律： 设A、B都是m×n阶矩阵，k1、k2、k都是常数， 则有 （1）k(A+B)=kA+kB,(k1+k2)A=k1A+k2A. （2） k1(k2A)=(k1k2)A.
元／支）如表6 3所示.
现要在每个车间生产铅笔、圆珠笔、钢笔各１０ ０００支，问哪个车间的 总成本最低？
§6.2行列式
6.2.1行列式的概念
6.2.1行列式的概念
6.2.1行列式的概念
引入三阶行列式的概念：
6.2.1行列式的概念
必须注意的是： （１）行列式一般用大写字母表示；
（２）行列式的元素可以是数，也可以是函数；
（３）用一个常数乘某个方程后加到另一个方程上去. 这三种变换称为线性方程组的初等变换.由于线性方程组施行 了上述三种变换后得到的新方程组与原方程组是同解的，因 此初等变换不改变线性方程组的解.
6.1.2矩阵的运算
矩阵的行（列）初等变换对矩阵的行（列）作以下三 种变换，称为矩阵的行（列）初等变换： （１）交换矩阵的任意两行（列）. （２）用一个非零数乘矩阵的某一行（列）. （３）用一个常数乘矩阵的某一行（列）后加到另一 行（列）上去. 矩阵的等价矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵Ｂ， 则称矩阵A与矩阵Ｂ等价，记作A～B. 阶梯形矩阵具有下列两个特点的矩阵称为阶梯形矩阵. （１）元素全为零的行在矩阵的最下方（如果有零行 的话）. （２）非零行的第一个非零元素之前的零元素个数随 行数增加而增多.
例题
6.2.2行列式的性质
例
例题
练习6-2
练习6-2
§6.3矩阵的初等变换与 矩阵的秩
6.3.1矩阵的初等变换
矩阵概念来源之一是解线性方程组，线性方程组的主要解法
是消元法.在用消元法求解线性方程组的过程中，运用了以下
三种变换方法： （１）交换两个方程的位置.
6.3.1矩阵的初等变换
（２）用一个非零数乘某个方程.
6.1.3应用举例
解设单位成本矩阵Ｃ＝（１０12815)T,销售单价矩阵P=(15161417)T,则有单位利润 矩阵Ｂ＝P-C=(5462)T,从而各方法利润矩阵为
由上可知，用第二种方法，获利最大.
练习6-1
练习6-1
4.设矩阵Ｘ满足Ｘ－２A＝Ｂ－Ｘ，其中
练习6-1
5. 某制笔厂四个车间都生产铅笔、圆珠笔、钢笔，它们的单位成本（单位：
（３）矩阵与行列式是两个完全不同的概念.二 者除了记法不同外，最本质的区别是：行列式 是一个代数式，它最终表示的是一个数或函数， 元素不同的两个行列式，其值可能相等；而矩 阵则仅是一个数表而已，两个矩阵相等，当且 仅当它们的行数与列数都相等，且对应元素也 分别相同时，才能称它们是相等的.
6.2.1行列式的概念