相似三角形的模型及辅助线

原三角形相似，则AN的长为
16 或3 3
.
高分必备
熟悉相似的基本模型； 在运动变化中分析角与边的对应关系。
如图，双曲线 y k 经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足 AO 2
x
AB 3
与BC交于点D，S△BOD=21，则k= 8 ．
如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，
答案：12
如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，
D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（B ）
A． 3 2
B．2 3
C．1 2
D．3 4
A
60°
D
BP
C
三角形△ABC为边长为1的等边三角形,如图翻折,使点A落在BC边上D 2
点处,EF为折痕，且AE=AF=5：4,则BD的长为 3 ．
(2)如图，D为第三象限内抛物线上的一个动点，当m取何值时，以A、 D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
解：∵ y m x 3 x 1 m x 12 4m
∴点D的坐标为(-1，-4m)
∴ AC2 xA xC 2 yA yC 2 3 02 0 3m2 9 9m2 AD2 xA xD 2 yA yD 2 3 12 0 4m2 4 16m2 CD2 xC xD 2 yC yD 2 0 12 3m 4m2 1 m2
∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则 的值是(
)
A． 2 1 B． 2 2 C． 2 1
D． 2
解析：易得AC平分∠DAB, ∠AEB=67.5°, 由三角形内角平分线性质定理得BF AB
EF AE 故tan AEB AB tan 67.5 2 1
AE
如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G， CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
OM OC 又∠O是公共角， ∴△OCM∽△OPC ∴ ∠OPC＝∠OCM
已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， 与y轴相交于点C(0,-3m)(m>0)，顶点为点D。 ⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， 与y轴相交于点C(0,-3m)(m>0)，顶点为点D。 ⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； 解：∵该二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， ∴设该二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1) ∵该二次函数的图象与y轴相交于点C(0,-3m)， ∴a·3·(-1)=-3a，故a=m ∴该二次函数的解析式为 y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m
2 13
若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 3 。
如图，在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°, AC⊥BC，AC=BC，
∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则 的值是(
)
A． 2 1 B． 2 2 C． 2 1
D． 2
如图，在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°, AC⊥BC，AC=BC，
2

AC 2 CD2
18 3, CO 3 3 2 OB 1
∴ AC CO 3 CD OB
∵∠ACD=∠COB=90°且 AC CO 3 CD OB
∴△ACD与△OBC相似，符合题意；
②若在△ACD中，∠ADC=90°，则AD2+CD2=AC2
即 (4+16m2)+(1+m2)= 9+9m2化简整理得：m2 1
如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交 于点M，C为 AB 上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。
如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交 于点M，C为 AB 上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。
证明：连结OA，OA2=OM·OP=OC2， ∴ OC OP
∴综上所述，
只有当m=1时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似。
相似三角形
1. 熟悉相似三角形证明的基本图形； 2. 注意分类讨论； 3. 综合运用勾股定理、等腰三角形等知识解决问题.
∵ △OBC是直角三角形，
∴欲使以 A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似，必有Rt△ACD
①若在△ACD中， ∠ACD=90° ，则 AC2+CD2=AD2
即 (9+9m2)+(1+m2)=4+16m2 化简整理得：m2=1
∵m>0，∴m=1（舍去负值）
此时 AC CD
AC CD
2
∵m>0，∴ m 2 （舍去负值）
此时 AD CD
2

AD
2

CD

AD2 CD2
12 3

3 8 2 2, CO 2
23
OB 1 2
2
2
∴ AD CO
CD OB
虽然∠ACD=∠COB=90°，但是
AD CD

CO OB
∴△ACD与△OBC不相似，应舍去；
相似三角形的模型及辅助线
高级教师 萧老师
核心考点
三角形及 相似
考纲要求
了解相似三角形 的性质定理与判 定定理；能利用 相似三角形的性 质定理与判定定 理解决有关简单 的问题。
考试题型
选择题 填空题 解答题
中考分值 考查频率
B=12,AC=16.在AC上作一点N,使△AMN与