电磁场与电磁波答案(第四版)

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e

4y z =-+B e e

52x z =-C e e

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；

（7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1

）23A x y z +-===+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e

（3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由

cos AB θ

=

==A B A B g ，得

1cos AB θ-

=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB

θ

==A B B g （6）⨯=A C 1235

02x y

z

-=-e e e 41310x y z ---e e e

（7）由于⨯=B C 041502x y

z

-=-e e e 8520x y z ++e e e

⨯=A B 123041

x

y

z

-=-e e e 1014x y z ---e e e

所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e

（8）()⨯⨯=A B C 10145

02

x y

z

---=-e e e 2405x y z -+e e e

()⨯⨯=A B C 1

238

5

20

x y z -=e e e 554411x y z --e e e

1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e

则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，

311367x y z =-=---R r r e e e

由此可见

1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e g g

故123PP P ∆为一直角三角形。

（2）三角形的面积

122312231117.1322S =

⨯=⨯==R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，

则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

11cos (

)cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R o g

1

1cos (

)cos 120.47y P P

y P P φ'--'===e R R o g

11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R o g

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的

夹角和A 在B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为

1

1cos (

)cos 131θ--===AB A B A B o g A 在B 上的分量为

3.532B A ===-B A B g

1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求⨯A B 在x y z =-+C e e e 上的分量。

解 ⨯=A B 2

3

464

1

x y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=

C A

B ()14.43⨯==-A B

C C g

1.6 证明：如果A B g =A C g 和⨯=A B ⨯A C ，则=B C ；

解 由⨯=A B ⨯A C ，则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ，即

()()()()-=-A B A A A B A C A A A C g g g g

由于A B g =A C g ，于是得到 ()()=A A B A A C g g 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X g 而=⨯P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=⨯P A X ，有

()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X A A A X g g g

故得 p -⨯=

A A P X A A g

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π

定出，求该点在：（1）

直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-

、4sin(23)y π==3z =

故该点的直角坐标为(2,-。

（2）在球坐标系中

5r ==、1tan (453.1θ-==o 、

23120φπ==o

故该点的球坐标为(5,53.1,120)o o

1.9 用球坐标表示的场225r

r

=E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。

解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故

22512

r

r ==E e

1cos 220

x x rx E θ====-

e E E g