一元二次方程的解法全

共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
a≠0
ax2+bx+c=0
3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把 握三点： ①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数 ③：可化为ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的形式
(3) x2 2x 5
上面，我们把方程 x2 2x 5
变形为
( x 1)2 6
它的左边是一个含有未知数的完全平方式， 右边是一个非负常数.这样，就能应用直接 开平方的方法求解.这种解一元二次方程的
方法叫做配方法.
随堂练习
解下列方程：
（1） 4x2 4x 1 0； x 1 2
2
（2）x2 2 5x 5 0. x1 x2 5
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以当b<0时，原方程无解。
知识回顾
大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？
(1)x(x 2)AB0=0A=0x或1 Ｂ0＝, ０x2 2
(2)(x 2)(x 3) 0 x1 2, x2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
拓展练习1：辨析
(1)、x2 x
93m 52 3 0
3m
52
1 3
无论m取何值，3m 52 0;
此方程无解。
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时，方程的根是x
c a
;
2当
c a
0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) x 42 3; (2) 3x 12 3;
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 x)2 9 0
解下列方程：
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
32x 52 12 22x 52 4
2、用直接开方法解方程：
1 2
例 解方程x2 4 0。
解: (直接开平方法):
x 4,
x1 2, x2 2.
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
发现 x2 4 0
可以使用平方 差公式
∴ x1=-2 ,x2=2
x2－4=（x－2）（x＋2）
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
(2)9x2 6x 1 0
解：原方程可变形为
（3x 1）2 0
所以3x 1 0.
所以x1
x2
=-
1 3
.
归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤
1 . 方程右边不为零的化为 零 。 2 . 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 . 至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 . 两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
(3) 配方法
当二次项系数为1的时候，方程两边 同加上一次项系数一半的平方
(4)公式法
当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
一 直接开平方法
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。 2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
知识回顾
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p 的一半的平方。
x2+px+( )2 = -q+( )2
4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2= -q
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx c＝0 4）(m2 1)x2 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m 1)x 4m 2 27mx 5 0
是关于χ的一元二次方程?
合作学习 共同回顾
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得x2 + x=配方，得 x2 + x+(
)2 =- +( )2
即
( x + )2 =
∵4a2＞0
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得x= - ±
即x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。
即 x2 a （a≥0）则x叫做a的平
方根，表示为： x a
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它
的平方根吗?
25 ;
0
;
25 16
; 2 ; - 3 ;3 4
例题解析： 例1 解方程 先移项，得
x2 4 0
x2 4
可见，上面的
x2 4 实际 上就是求4的平 方根。
所以 x 4
x 2
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
(5) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 。 2 .将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 .至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 .两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
(1) x2 8x ___4_2_ (x __4___)2 (2) x2 10x __5_2__ (x __5___)2
(3) x 2（_±__1_0_）__x 25＝ (__x_±_5__)2
参照第（1）题，推想一下第（2） 题及第（3）题的解法
(1) (x 1)2 6
(2) x2 2x 1 6
∴x=
==
x× 3
x1 = x2 =
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
若 b2-4ac≥0，得
求根公式 : x=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
x=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
思考题:
1、用公式法解下列方程：
x2 mx 2m2 （m为已知常数）
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数 解？
第23章 一元二次方程
一元二次方程的解法 习题课
（第5课时）
(1)直接开平方法
ax2=b(a≠0)
(2)因式分解法
提公因式法 公式法：平方差公式，完全平方公式
321.
5 2
.
即x1
3 2
5 ，x1
3 2
5.
拓展练习
解下列方程：
(1) 4x2 8x 4 0
x1 x2 1
想想怎 样解？
(2) 1 x2 x 3 0 2
x 1 7
请归纳配方法解一元二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
例1 解下列方程：
(1) x2 4x 3 (2) x2 3x 1 0
解：配（(方21）)，配移得方项x2，，得4得xxx2 233x41x1.3232
0
1
3 2
2
.
即x2
即4x x
4
3 2
2
1.
所5以.所（以xx23）21. 5
4
22
所以x 2 1或x 2 1.
所以x1所以3或x x2
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 x= (a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : x=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程5xFra Baidu bibliotek-4x-12=0。
解：a= 5 ，b= -4 ，c = -12 .
b2-4ac= (-4)2-4×5×(-12) = 256 .
x= 即 x1= 2 ,
=
(4) 256 =
25
4 16
10 .
x2=
6 5
.
用公式法解下列方程：x2＋4x＝2
解:将方程化为一般式，得x2＋4x－2＝0
∴ x＝ b b2 4ac 2a 4 24 2 6 2
∴原方程的解是 x1＝ 2 6，x2= 2 6
求根公式 : x=
以上解某些一元二次方程的方法叫 做因式分解法。
初试锋芒 解下列方程：
（1）16x2 25 0
（2）4x2 9 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)9x2 6x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
3，得到形如： x = a. 的一元一次方程。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
例题讲解
例1（3x -2）²-49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49 两边开平方，得：3x -2=±7
x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
（4）
2x2
1 2
0;
将方程化成
x2 b
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
例2 解方程:
(1) x 12 4 0
用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程：
x2 +3 = 2 x 解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
（第3课时）
复习练习： 1、选择合理的方法解下列方程
(1) 2x2 4
(2) x 12 6 (3) x 22 1 0
２、请说出完全平方公式
x a2 x2 2ax ___a_2__
x a2 x2 2ax ___a_2__
３、根据完全平方公式填空(格式如题(1))
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 b b 0或 x a 2 b b 0.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2 b b 0或 x a2 b b 0;
拓展练 习
x 用配方法证明：代数式 2 8x 20
的值是正数
小结：
配方法也是一元二次方程常见的解法
ax2 bx c 0(a 0)
1、 a a
1 1
分两类进
2. 配方法的运用
第23章 一元二次方程
（第4课时）
知识回顾
配方法的步骤： 1.化 1 2.移项 3.配方 4.求解 配方的关键是在方程两边同时添加的 常数项等于一次项系数一半的平方。
求根公式: x=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 用公式法解方程 2x2+x-6=0。
解：这里a=2，b=1，c=-6，
所以b2-4ac=12-4×2×(-6)
=49.
所以x b b2 4ac 2a
1 49 1 7
22
4
即
x1=-2，x2=
3 2
用公式法的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写 出a，b，c的值。
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的
数，所得的方程与原方程 同解。
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18 解： 原方程化为
(x 5)(x 2) 3 6 ( )
由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.