函数概念产生和发展的几个阶段

第2卷 第3期山西教育学院学报Vol 2 No 3 1999年9月Journal of ShanXi Educational College Sep1999 函数概念产生和发展的几个阶段

王爱兰 雷玲香

摘 要:本文通过对函数的研究,介绍了函数产生、发展、成熟的三个阶段

关键词:函数 产生 发展

自十七世纪近代数学产生以来,函数概念一直处于数学思想的核心位置,它不仅是近代数学的主要研究对象,而且自然科学的绝大部分都受到了函数关系的支配。从而使科学之母 数学注入了新鲜血液。因此,了解函数概念产生与发展的历史,掌握现代数学的思想方法,对于指导我们当前的工作是十分有益的。

一、函数概念的产生阶段

进入十七世纪,经过文艺复兴革命的欧洲冲破了中世纪的黑暗的束缚,科学技术得到前所未有的发展。与以前不同的是,科学技术的发展愈来愈依赖于数学思想和方法。正如牛顿(英)所说:古代人在自然事物的研究中把力学科学推崇到极端重要的地位,而近代人则排除物体的形式和玄妙的质,努力把自然现象放在数学的控制之下!。在当时,扩展数学领域,改进数学方法的要求更加迫切。顺应历史潮流,费尔玛(法)、笛卡尔(法)等人打破传统数学思想,首先用代数方法研究几何问题,由点对应到数形统一,创立了解析几何这门新的数学学科。尢为重要的是变量进入数学,辩证法进入了数学,数学发生了飞跃。函数概念正是在这种沃土中发芽生长的。

函数概念的产生经历了一个较长的历史时期。函数一词是1673年莱布尼茨(德)创造的。函数的思想最初是在处理不定方程时,引入代数中的。如果要表达一个量,它是不定的,除非预先给其它的量认一个确定的值,这些数值是数目不定的上述其它的量,在同一问题中可以取得的,那么就用函数一词来表达这种依赖关系。当时,人们对这种依赖关系的认识还相当模糊。但感觉到它的作用,后来随着科学技术和生产实践的需要,对各种运动的研究更加深入,进而使函数作为描述变量之间的相互依赖关系的思想,逐渐被更多的人接受和应用。伽利略(意)多次用文字和比例的语言来表述这一思想。人们已经认识到现实世界中,量与量之间存在在某种依赖关系。但还未弄清楚这种依赖关系和此种依赖关系之间的共同属性,还不可能抽象出描述变量之间依赖关系的一般定义。不少科学家从研究曲线着手,发现曲线与曲线间存在着许多质的差别,由此认识了函数与函数之间的区别。笛卡尔通过区分几何曲线与机械曲线,首先认识代数函数与超越函数的区别,莱布尼茨证明了sinx不可能表为x的代数函数。逐渐人们认识到代数函数和超越函数质的区别。促使人们加深了

∀

∀

93

对函数概念的理解。

二、函数概念的发展阶段

量变引起质变。函数,作为微积分学研究的主要对象,伴随微积分学发展而发展。它与微积分的产生与发展密切相关。众所周知,所有在微积分的创立与发展期的数学家们,都同样对函数概念的产生和发展作出了应有的贡献。牛顿从1665年以力学研究微积分开始,用流量!一词来表示变量之间的关系。莱布尼茨(德)在1673年用function(功能)一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量,曲线则由一个方程给出,他同时还引进了常量!、变量!和参变量!等术语,并且用X1、X3##来表示不同的函数。继两位科学家之后,约翰∀贝(瑞士)努力采用X和 表示一般的X的函数!,后必用X(x)。欧拉(瑞士)在1735年首先采用f(X)表示X的函数!,抽象表示变量间的依赖关系,并且一直延用至今。

十八世纪初期,是微积分学发展的黄金时期,随着微积分的研究领域不断拓广,函数概念也得到进一步深化,其主要标志之一打破了函数局限于代数的僵局,拓宽了函数的领域。许多数学家对一些熟悉的函数作了进一步的研究,欧拉重新定义了指数函数e x=Lim(1+x n)n和对数函数Lnx=Lim(x1 n-1)n。牛顿和莱布尼茨,付里叶(法)等人给出了三角函数的幂级数展开式等。

欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形式的解析表达式!,他概括了多项式、幂级数、对数表达式和三角表达式。他认为,函数的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同。拉格朗日(法)认为函数是一个变量之间的解格表达式,但他允许在不同区域,函数可以有不同的表达式。高斯(德)在早期著作中认为函数是一个有限的解析表达式。总之,那个时期大家都基本同意,函数是变量与变量之间可以用解析式来表达的依赖关系。但善未充分认识到y是x的函数与y是由x表示的函数之间的区别。

从十八世纪开始,为了澄清微积分的基础上混乱和不严密的问题,建立微积分和数学分析的严密性。函数概念在这一进程中得到彻底的完善。由于函数是微积分研究的主要对象,其概念的模糊性和局限性引起人们的注意。著名数学家付里叶指出:函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每个都是任意的,我们不假定这些坐标服从同一规律,它们以任何方式一个接着一个!。这一观点动摇了长期以来人们形成的一种信念,从而迫使人们重新考虑函数,函数的连续性,可微性和可积性质的具体意义。

三、函数概念的成熟阶段

1821年柯西从定义变量开始给出了函数的定义:当变量之间这样联系起来的时候,即给定了这些变量中的一个值,就可以决定所有其它变量的值的时候,人们通常想象这些量是用其中一个量表达的,这时,这个量就称为自变量,而由自变量表示的其它量就叫做这个自变量的函数!。同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式。这是一个重要的思想,一个重大的突破,它离函数的现代表述只有一步之遥,走完这最后一步的是狄里克莱(德)。

函数概念产生与发展的历史,一定程度上反映了高等数学产生与发展的历史。同时我们应清醒地看到一个数学概念的产生,总是有其深刻的历史背景。总是与人类文明的进程休戚相关的。一个新的概念只要它反映人类对客观世界的正确认识,揭示事物发展的客观规律,就一定能够在实践中得到发展和完善,显示出认识世界,改造世界的力量。

(作者单位:山西省太原电力学校)∀

∀

94