CH12变异数分析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第12章 變異數分析 第358頁
12.8
範例12.1 股票投資佔總資產 辨識方法 的比例
虛無假設： H0: µ = µ = µ = µ 1 2 3 4 這些母體平均數之間沒有差異。
對立假設：
H1: 至少兩個平均數不等 下一個步驟是決定檢定統計量。
第12章 變異數分析 第357頁
12.9
檢定統計量
第12章 變異數分析 第359頁
12.14
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
因此，代表處理平方和的處理間變異為：
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
8 4 ( 4 4 .4 0 5 0 .1 8 ) 1 3 1(5 2 .4 7 5 0 .1 8 )
2 2
2
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
在我們的範例中，可求出
M ST SST k 1
SSE n-k
3, 7 3 8 .8 3
1, 2 4 6 .2 7
M SE
1 6 1, 8 7 1.3 362
4 4 7 .1 6
F
M ST M SE
1, 2 4 6 .2 7 4 4 7 .1 6
第12章 變異數分析 第359-360頁
12.12
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
根據：
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
如果： x1 x 2 x 3 x 4 則 SST = 0 ，因此一個小的SST值支持虛無假設。 在這個檢定中（如同在其他所有統計檢定中）要 回答的關鍵問題是，檢定統計量必須多大，我們 才能判定拒絕虛無假設？
L S D t / 2 1 1 M SE n nj i
自由度是 = n k
Fisher 的最小顯著差異法
什麼是關鍵數字 NCritical ？在第11章，我們介紹信賴區間估 計量是：
( x1 x 2 ) t / 2 1 1 sp n1 n2
2
假設區間不包括 0 ，我們可以推斷母體平均數不同。所以 另一個引導雙尾檢定的方式為測定是否
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
假如樣本平均數之間存在著大的差異，至少有一些樣本平均數與總平均數非常的不同， 產生一個大的 SST 數值。則拒絕虛無假設，傾向對立假設是合理的。
第12章 變異數分析 第358頁
12.10
檢定統計量
我們利用在11章討論過的方法，在母體變異數是 相等的情況下，計算兩個母體共同變異數的混合 估計量
必要條件的違背
假如資料不是呈常態分配，我們能夠以等同於一 因子變異數分析的無母數方法取代，它是 Kruskal-Wallis 檢定。 假如母體變異數不相等，我們能夠使用幾種方法 去校正這個問題。 但是，這些校正的測量方法超出本書的程度範圍。
第12章 變異數分析 第365頁
12.25
多重比較
= 所有觀測值的總平均數= n n1 + n2 +…+ nk 且 k 為母體的個數。
x
j 1 i 1
k
n
j
x ij
，其中n =
第12章 變異數分析 第358頁
12.4
一因子變異數分析
我們要測量的單位稱為實驗單位(experiment unit)。 用來區分母體的標準稱為因子(factor)。 每一個母體皆稱為一個因子水準(factor level) 。
sp
2
( n 1 1) s1 ( n 2 1) s 2
2
2
n1 n 2 2
其中
t
( x1 x 2 ) 1 1 sp n1 n2
2
分子測量樣本平均數之間的差異，分母測量樣本 之間的變異。
第12章 變異數分析
12.11
檢定統計量
處理間變異(between-treatments variation) 以SST表示，處 理內變異(within-treatments variation)記為SSE。 誤差平方和(sum of squares for error)：
在範例中，p-值 = P(F > 2.79) 使用Excel P(F > 2.79)=FDIST (2.79,3,362)=.0405。 圖12.2 說明範例12.1 的抽樣分配。
第12章 變異數分析 第362頁
12.19
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例源自文库
第12章 變異數分析 第363頁 圖12.2
因為µ = µ = µ = µ 是我們所感興趣的假設，因 1 2 3 4 此各樣本平均數之間近似程度的測量我們也會感 興趣。
測量樣本平均數之間彼此近似程度的統計量被稱 為處理間變異(between-treatments variation) ，以 SST表示，其代表處理平方和(sum of squares for treatments)。表示為： 所有觀測值的總平均數 母體的個數
12.20
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
第12章 變異數分析 第364頁
12.21
範例12.1 股票投資佔總資產 詮釋 的比例
p-值為.0405是夠小的，所以我們拒絕虛無假設 (H0: µ = µ = µ = µ ) 偏好對立假設 (H1: 至少兩 1 2 3 4 個母體平均數不同) 。
多重比較
兩個平均數被認為是不同的，假設它們樣本平均 數間的差異是大於一個臨界值。對此，一般的通 式是, 假設 x i - x j N C ritical
然後我們推斷 i 和 j不同。
我們相信較大的樣本平均數差異與一個較大的母 體平均數差異是有關聯的。
第14章 變異數分析
12.27
x1 x 2
大於
t / 2 1 1 sp n2 n1
2
12.28
第14章 變異數分析 第372-373頁
Fisher 的最小顯著差異法
因為MSE 將會是一個比sp2 更佳的估計量。因此，以 MSE 取代前述的檢定統計量和信賴區間估計量公式中的sp2 。因 此我們定義最小顯著差異(least significant difference, LSD) 為一個決定每一對母體平均數間是否存在著差異的簡單辦 法，是將兩樣本平均數間差異的絕對值與LSD 做比較：
第12章 變異數分析 第357頁
12.6
範例12.1 股票投資佔總資產 的比例
年齡的類別為
年輕人(35 歲以下) 中年初期(35 到49 歲) 中年後期(50 到65 歲) 年長者(65 歲以上)
該分析師特別感興趣的是決定股票的擁有是否因 年齡而異。Xm14-01 這些資料是否允許分析師決定股票的擁有比率在 四個年齡群之間存有差異？
意即存在著證據可以推論總資產投資於股票的百 分比至少在兩個年齡類別是不等的。
第12章 變異數分析 第364頁
12.22
變異數分析(ANOVA) 表
變異數分析(ANOVA) 表(analysis of variance) 。
F- 統計量=MST/MSE
第12章 變異數分析 第363頁 表12.2&表12.3
第12章 變異數分析 第357頁
12.7
範例12.1 股票投資佔總資產 專有名詞 的比例
總資產投資於股市的百分比稱為反應變數；實際百 分比稱為反應值。 用來區分母體的標準稱為因子(factor)。 年齡類別是我們感興趣的，這是需要考慮的唯一類 別 (因此， 有“一因子”變異數分析的名稱)。 每一個母體皆稱為一個因子水準。 在本範例中有四個因子水準：年輕人、中年初期、 中年後期與年長者。
SSE
j 1 i 1
k
nj
( x ij x j )
2
SSE
j 1
k
( n j 1)s
2 j
其中sj2 是樣本j 的樣本變異數。因此，SSE 是k 個樣本的 合併或混合變異數。這是我們在13.1 節中一個計算的推 廣，其中我們使用兩個母體共同變異數的混合估計量( 表 示為sp 2) 以檢定和估計介於兩個平均數之間的差異。
第12章 變異數分析 第358頁
12.5
範例12.1 股票投資佔總資產 的比例 Xm14-01
在過去10 年間，證券經紀商做生意的方法已經有 了極大的改變。網路交易已經變得非常普遍，線 上交易的花費最低只需要$7。現在投資於股票市 場比從前更簡單且更便宜。 這些改變產生哪些影響？ 為了協助回答此問題，一位財務分析師隨機抽樣 366 個美國家庭，並且要求每一個家庭報告家中戶 長的年齡以及他們的金融資產投資在股票市場的 比例。
第12章 變異數分析 第360-361頁
12.16
均方
處理的均方： M S T
SST k 1 SSE nk
誤差的均方：M S E
檢定統計量： F
M ST M SE
在反應變數是常態分配的條件下，檢定統計量服 從自由度為 k-1 和 n-k 的F-分配。
第12章 變異數分析 第361頁
12.17
第 12 章
變異數分析
12.1
變異數分析
統計實作人員比較兩個或更多個區間資料的母 體，這個方法稱為變異數分析(analysis of variance)。 變異數分析： 極為有用和普及的程序 決定母體平均數之間是否存在著差異 這個程序的運作是藉由分析樣本的變異數
第12章 變異數分析 第356頁
12.2
一因子變異數分析
下圖說明獨立樣本的抽樣設計：
第12章 變異數分析 第356頁 圖12.1
12.3
一因子變異數分析
變數X 稱為反應變數(response variable)，其數值 稱為反應值(responses)。 xij = 第 j 個樣本的第i 個觀測值 例如：x35 為第5個樣本的第3個觀測值。
2 .7 9
F = 2.79 是否在拒絕域中? p-值是多少?
第12章 變異數分析 第362頁
12.18
範例12.1 股票投資佔總資產 詮釋 的比例
計算 F-統計量(F-statistic)的目的是決定SST的值 是否夠大去拒絕虛無假設。假如SST是大的，F 將會很大。 p-值 = P(F > Fstat)
第12章 變異數分析 第359頁
12.13
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
我們計算樣本平均數與總平均數為：
x 1 4 4 .4 0 x 2 5 2 .4 7 x 3 5 1 .1 4 x 4 5 1 .8 4 x 5 0 .1 8
n1 8 4 n2 131 n3 9 3 n4 58
我們從一因子變異數分析得到結論：至少有兩個 處理平均數不同，我們經常需要知道哪幾個處理 平均數造成這些差異性。 我們將會提出三種方法來決定哪些母體平均數是 不同的： Fisher的最小顯著差異法 Bonferroni 校正 Tukey的多重比較方法
第12章 變異數分析 第370頁
12.26
s1 386 . 55 , s 2 469 . 44 , s 3 4 7 1 . 82 , s 4 444 . 79
2 2 2 2
因此，誤差平方和為：
S S E ( n1 1) s1 ( n 2 1) s 2 ( n 3 1) s 3 ( n 4 1) s 4
12.23
檢查必要的條件
變異數分析的F- 檢定要求隨機變數是具有相等 變異數的常態分配。只要對每一個樣本繪製直方 圖，就可以容易地用圖形檢查常態性的條件。 變異數的同質性可由列印樣本標準差或變異數檢 視之。樣本變異數的相似性讓我們能夠假設母體 變異數是相等的。
第12章 變異數分析 第365頁
12.24
9 3 (5 1 .1 4 5 0 .1 8 ) 5 8 (5 1 .8 4 5 0 .1 8 ) 3, 7 3 8 .8
2
SST = 3,738.8這個值是不是夠大去指出母體平均數 不同？
第12章 變異數分析 第359頁
12.15
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
我們計算樣本變異數如下：
2 2 2 2
(8 4 1)(3 8 6 .5 5 ) (1 3 1 1)( 4 6 9 .4 4 ) (9 3 1) ( 4 7 1 .8 2 ) (5 8 1)( 4 4 4 .7 9 ) 1 6 1, 8 7 1 .3
我們需要檢定統計量來證明SST和SSE的相關性。
12.8
範例12.1 股票投資佔總資產 辨識方法 的比例
虛無假設： H0: µ = µ = µ = µ 1 2 3 4 這些母體平均數之間沒有差異。
對立假設：
H1: 至少兩個平均數不等 下一個步驟是決定檢定統計量。
第12章 變異數分析 第357頁
12.9
檢定統計量
第12章 變異數分析 第359頁
12.14
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
因此，代表處理平方和的處理間變異為：
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
8 4 ( 4 4 .4 0 5 0 .1 8 ) 1 3 1(5 2 .4 7 5 0 .1 8 )
2 2
2
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
在我們的範例中，可求出
M ST SST k 1
SSE n-k
3, 7 3 8 .8 3
1, 2 4 6 .2 7
M SE
1 6 1, 8 7 1.3 362
4 4 7 .1 6
F
M ST M SE
1, 2 4 6 .2 7 4 4 7 .1 6
第12章 變異數分析 第359-360頁
12.12
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
根據：
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
如果： x1 x 2 x 3 x 4 則 SST = 0 ，因此一個小的SST值支持虛無假設。 在這個檢定中（如同在其他所有統計檢定中）要 回答的關鍵問題是，檢定統計量必須多大，我們 才能判定拒絕虛無假設？
L S D t / 2 1 1 M SE n nj i
自由度是 = n k
Fisher 的最小顯著差異法
什麼是關鍵數字 NCritical ？在第11章，我們介紹信賴區間估 計量是：
( x1 x 2 ) t / 2 1 1 sp n1 n2
2
假設區間不包括 0 ，我們可以推斷母體平均數不同。所以 另一個引導雙尾檢定的方式為測定是否
SST
j 1
k
n j(x j x )
2
假如樣本平均數之間存在著大的差異，至少有一些樣本平均數與總平均數非常的不同， 產生一個大的 SST 數值。則拒絕虛無假設，傾向對立假設是合理的。
第12章 變異數分析 第358頁
12.10
檢定統計量
我們利用在11章討論過的方法，在母體變異數是 相等的情況下，計算兩個母體共同變異數的混合 估計量
必要條件的違背
假如資料不是呈常態分配，我們能夠以等同於一 因子變異數分析的無母數方法取代，它是 Kruskal-Wallis 檢定。 假如母體變異數不相等，我們能夠使用幾種方法 去校正這個問題。 但是，這些校正的測量方法超出本書的程度範圍。
第12章 變異數分析 第365頁
12.25
多重比較
= 所有觀測值的總平均數= n n1 + n2 +…+ nk 且 k 為母體的個數。
x
j 1 i 1
k
n
j
x ij
，其中n =
第12章 變異數分析 第358頁
12.4
一因子變異數分析
我們要測量的單位稱為實驗單位(experiment unit)。 用來區分母體的標準稱為因子(factor)。 每一個母體皆稱為一個因子水準(factor level) 。
sp
2
( n 1 1) s1 ( n 2 1) s 2
2
2
n1 n 2 2
其中
t
( x1 x 2 ) 1 1 sp n1 n2
2
分子測量樣本平均數之間的差異，分母測量樣本 之間的變異。
第12章 變異數分析
12.11
檢定統計量
處理間變異(between-treatments variation) 以SST表示，處 理內變異(within-treatments variation)記為SSE。 誤差平方和(sum of squares for error)：
在範例中，p-值 = P(F > 2.79) 使用Excel P(F > 2.79)=FDIST (2.79,3,362)=.0405。 圖12.2 說明範例12.1 的抽樣分配。
第12章 變異數分析 第362頁
12.19
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例源自文库
第12章 變異數分析 第363頁 圖12.2
因為µ = µ = µ = µ 是我們所感興趣的假設，因 1 2 3 4 此各樣本平均數之間近似程度的測量我們也會感 興趣。
測量樣本平均數之間彼此近似程度的統計量被稱 為處理間變異(between-treatments variation) ，以 SST表示，其代表處理平方和(sum of squares for treatments)。表示為： 所有觀測值的總平均數 母體的個數
12.20
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
第12章 變異數分析 第364頁
12.21
範例12.1 股票投資佔總資產 詮釋 的比例
p-值為.0405是夠小的，所以我們拒絕虛無假設 (H0: µ = µ = µ = µ ) 偏好對立假設 (H1: 至少兩 1 2 3 4 個母體平均數不同) 。
多重比較
兩個平均數被認為是不同的，假設它們樣本平均 數間的差異是大於一個臨界值。對此，一般的通 式是, 假設 x i - x j N C ritical
然後我們推斷 i 和 j不同。
我們相信較大的樣本平均數差異與一個較大的母 體平均數差異是有關聯的。
第14章 變異數分析
12.27
x1 x 2
大於
t / 2 1 1 sp n2 n1
2
12.28
第14章 變異數分析 第372-373頁
Fisher 的最小顯著差異法
因為MSE 將會是一個比sp2 更佳的估計量。因此，以 MSE 取代前述的檢定統計量和信賴區間估計量公式中的sp2 。因 此我們定義最小顯著差異(least significant difference, LSD) 為一個決定每一對母體平均數間是否存在著差異的簡單辦 法，是將兩樣本平均數間差異的絕對值與LSD 做比較：
第12章 變異數分析 第357頁
12.6
範例12.1 股票投資佔總資產 的比例
年齡的類別為
年輕人(35 歲以下) 中年初期(35 到49 歲) 中年後期(50 到65 歲) 年長者(65 歲以上)
該分析師特別感興趣的是決定股票的擁有是否因 年齡而異。Xm14-01 這些資料是否允許分析師決定股票的擁有比率在 四個年齡群之間存有差異？
意即存在著證據可以推論總資產投資於股票的百 分比至少在兩個年齡類別是不等的。
第12章 變異數分析 第364頁
12.22
變異數分析(ANOVA) 表
變異數分析(ANOVA) 表(analysis of variance) 。
F- 統計量=MST/MSE
第12章 變異數分析 第363頁 表12.2&表12.3
第12章 變異數分析 第357頁
12.7
範例12.1 股票投資佔總資產 專有名詞 的比例
總資產投資於股市的百分比稱為反應變數；實際百 分比稱為反應值。 用來區分母體的標準稱為因子(factor)。 年齡類別是我們感興趣的，這是需要考慮的唯一類 別 (因此， 有“一因子”變異數分析的名稱)。 每一個母體皆稱為一個因子水準。 在本範例中有四個因子水準：年輕人、中年初期、 中年後期與年長者。
SSE
j 1 i 1
k
nj
( x ij x j )
2
SSE
j 1
k
( n j 1)s
2 j
其中sj2 是樣本j 的樣本變異數。因此，SSE 是k 個樣本的 合併或混合變異數。這是我們在13.1 節中一個計算的推 廣，其中我們使用兩個母體共同變異數的混合估計量( 表 示為sp 2) 以檢定和估計介於兩個平均數之間的差異。
第12章 變異數分析 第358頁
12.5
範例12.1 股票投資佔總資產 的比例 Xm14-01
在過去10 年間，證券經紀商做生意的方法已經有 了極大的改變。網路交易已經變得非常普遍，線 上交易的花費最低只需要$7。現在投資於股票市 場比從前更簡單且更便宜。 這些改變產生哪些影響？ 為了協助回答此問題，一位財務分析師隨機抽樣 366 個美國家庭，並且要求每一個家庭報告家中戶 長的年齡以及他們的金融資產投資在股票市場的 比例。
第12章 變異數分析 第360-361頁
12.16
均方
處理的均方： M S T
SST k 1 SSE nk
誤差的均方：M S E
檢定統計量： F
M ST M SE
在反應變數是常態分配的條件下，檢定統計量服 從自由度為 k-1 和 n-k 的F-分配。
第12章 變異數分析 第361頁
12.17
第 12 章
變異數分析
12.1
變異數分析
統計實作人員比較兩個或更多個區間資料的母 體，這個方法稱為變異數分析(analysis of variance)。 變異數分析： 極為有用和普及的程序 決定母體平均數之間是否存在著差異 這個程序的運作是藉由分析樣本的變異數
第12章 變異數分析 第356頁
12.2
一因子變異數分析
下圖說明獨立樣本的抽樣設計：
第12章 變異數分析 第356頁 圖12.1
12.3
一因子變異數分析
變數X 稱為反應變數(response variable)，其數值 稱為反應值(responses)。 xij = 第 j 個樣本的第i 個觀測值 例如：x35 為第5個樣本的第3個觀測值。
2 .7 9
F = 2.79 是否在拒絕域中? p-值是多少?
第12章 變異數分析 第362頁
12.18
範例12.1 股票投資佔總資產 詮釋 的比例
計算 F-統計量(F-statistic)的目的是決定SST的值 是否夠大去拒絕虛無假設。假如SST是大的，F 將會很大。 p-值 = P(F > Fstat)
第12章 變異數分析 第359頁
12.13
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
我們計算樣本平均數與總平均數為：
x 1 4 4 .4 0 x 2 5 2 .4 7 x 3 5 1 .1 4 x 4 5 1 .8 4 x 5 0 .1 8
n1 8 4 n2 131 n3 9 3 n4 58
我們從一因子變異數分析得到結論：至少有兩個 處理平均數不同，我們經常需要知道哪幾個處理 平均數造成這些差異性。 我們將會提出三種方法來決定哪些母體平均數是 不同的： Fisher的最小顯著差異法 Bonferroni 校正 Tukey的多重比較方法
第12章 變異數分析 第370頁
12.26
s1 386 . 55 , s 2 469 . 44 , s 3 4 7 1 . 82 , s 4 444 . 79
2 2 2 2
因此，誤差平方和為：
S S E ( n1 1) s1 ( n 2 1) s 2 ( n 3 1) s 3 ( n 4 1) s 4
12.23
檢查必要的條件
變異數分析的F- 檢定要求隨機變數是具有相等 變異數的常態分配。只要對每一個樣本繪製直方 圖，就可以容易地用圖形檢查常態性的條件。 變異數的同質性可由列印樣本標準差或變異數檢 視之。樣本變異數的相似性讓我們能夠假設母體 變異數是相等的。
第12章 變異數分析 第365頁
12.24
9 3 (5 1 .1 4 5 0 .1 8 ) 5 8 (5 1 .8 4 5 0 .1 8 ) 3, 7 3 8 .8
2
SST = 3,738.8這個值是不是夠大去指出母體平均數 不同？
第12章 變異數分析 第359頁
12.15
範例12.1 股票投資佔總資產 計算 的比例
我們計算樣本變異數如下：
2 2 2 2
(8 4 1)(3 8 6 .5 5 ) (1 3 1 1)( 4 6 9 .4 4 ) (9 3 1) ( 4 7 1 .8 2 ) (5 8 1)( 4 4 4 .7 9 ) 1 6 1, 8 7 1 .3
我們需要檢定統計量來證明SST和SSE的相關性。