(课件)矩阵论

=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
基(0)：
E 11
=
1 0
0 0 ,
E 12
=
0 0
1 0 ,
E 21
=
0 1
0 0 ,
E 22
=
0 0
0 1
(0)
→
(Ⅰ)：
(
A 1
,
A 2
,
A 3
,
A 4
)
=
(
E 11
,
E 12
,
E
21
,
E
22
)C1
(0)
→
(Ⅱ)：
(
B 1
,
B 2
,
B 3
,
B 4
)
=
(
E 11
,
E 12
中，若子集V 非空，且对V 1
中的线性运算封闭，即
(1)
∀
x,
y
∈
V 1
⇒
x
+
y
∈
V 1
(2)
∀
x
∈
V 1
,
∀
k
∈
K
⇒
kx
∈
V 1
称V 为V 的线性子空间，简称为子空间． 1
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
=
a11
+
aE 12 12
+
aE 21 21
+
aE 22 22
坐标为
α
=
(
a 11
,
a 12
,
a21 ,
a22 )Τ
(2)
取基
B 1
=
1 1
1 1 ,
B 2
=
0 1
1 1 ,
B 3
=
0 1
0 1
,
B 4
=
0 0
0 1
A
=
a 11
(
B 1
−
B 2
)
+
a 12
(
B 2
−
B 3
)
+
a
21
(
B 3
−
B 4
)
+
aB 22 4
数乘封闭，(5)～(8)成立．故 R+ 是 R 上的线性空间． 例 5 集合 R 2 = {α = (ξ1 , ξ 2 ) ξ i ∈ R} ，数域 R ．设 β = (η1 , η2 ), k ∈ R ．
运算方式 1 加法： α + β = (ξ1 + η1 , ξ 2 + η2 ) 数乘： kα = (kξ1 , kξ2 )
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
+
x 2
=θ
+
x 2
=
x 2
+θ
=
x 2
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
4
例 6 在线性空间V 中，下列结论成立．
0x = θ ：1x + 0x = (1 + 0)x = 1x ⇒ 0x = θ
kθ = θ ： kx + kθ = k( x + θ ) = kx ⇒ kθ = θ
(−1)x = (− x) ： (−1)x = (−1)x + [ x + (− x)] = [(−1)x + 1x] + (− x) = (− x)
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
1
第一章 线性空间与线性变换
§1.1 线性空间
一、集合与映射
1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．
列举法：
S
=
{
a 1
,
a
2
,
a 3
,L}
性质法： S = { a a 所具有的性质 }
相等
(
S 1
=
S2 ) ：指下面二式同时成立
∀a
∈
S 1
⇒
a
∈
S2 ,
即S 1
加法： m, n ∈ R + , m ⊕ n = mn
数乘： m ∈ R + , k ∈ R, k ⊗ m = m k
验证 R + 是 R 上的线性空间．
证 加法封闭，且(1)～(2)成立．
(3) m ⊕ θ = m ⇒ mθ = m ⇒ θ = 1 (4) m ⊕ (−m) = θ ⇒ m(−m) = 1 ⇒ (−m) = 1 m
0,
1)Τ
；
A
=
E 11
在上述两个基下的坐标不同．
Th2 线性空间V n 中，元素在给定基下的坐标唯一．
证
设V
n
的基为
x 1
,L,
x
n
，对于
x
∈
V
n
，若
x
=
ξ
1
x 1
+ L+ ξn
xn
=
η1
x 1
+L+ηn xn
则有
(ξ1
−
η1
)
x 1
+L+
(ξ n
−ηn )xn
=θ
因为
x 1
,L,
x
n
线性无关,
所以ξ i
=
1 0
0 − 1 ,
A 3
=
0 1
1 0 ,
A 4
=
0 − 1
1 0
(Ⅱ)
B 1
=
1 1
1 1 ,
B 2
=
1 1
1 0 ,
B 3
=
1 0
1 0 ,
B 4
=
1 0
0 0
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
7
(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵；
(2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．
)C
称上式为基变换公式， C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.
[注]
过渡矩阵 C 一定可逆.
否则 C 的 n 个列向量线性相关,
从而
y 1
,L,
yn
线性相关（例 9）．矛盾！由此可得
(
x 1
,L ,
xn
)
=
(
y 1
,L,
yn
)C
−1
称 C −1 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．
2．坐标变换：设 x ∈V n 在两个基下的坐标分别为α 和 β ,则有
=
S 2
时，称映射σ
为
S 上的变换． 1
例 2 S = { A = (ai j )n×n ai j ∈ R} (n ≥ 2) ．
映射σ 1 ：σ 1 ( A) = detA
(S → R)
变换σ 2 ：σ 2 ( A) = (detA) In (S → S )
二、线性空间及其性质
1．线性空间：集合V 非空，给定数域 K ，若在V 中
三、基与坐标
1．基与维数：线性空间V
中，若元素组
x 1
,L ,
xn
满足
(1)
x 1
,L,
x
n
线性无关；
(2)
∀
x
∈V
都可由
x 1
,L,
xn
线性表示．
称
x 1
,L,
xn
为V
的一个基,
n 为V 的维数,
记作 dimV = n ，或者V n .
例 7 矩阵空间 R m×n 中, 易见
(1) Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 线性无关；
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
,
E 21
,
E 22
)C 2
1 1 0 0
1 1 1 1
C 1
=
0 0
0 0
1 1
−
1 1
，C 2
=
1 1
1 1
1 0
0 0
1
−1
0
0
1 0 0 0
(Ⅰ)
→
(Ⅱ)：
(
B 1
,
B 2
,
B 3
,
B 4
)
=
(
A 1
,
A 2
,
A 3
,
A 4
)C1−1C 2
1 0 0 1
2 1 1 1
C
=
C −1C 12
=
+L+ cm xm
=θ
，则称
x 1
,L,
x
m
线性相关．
5．线性无关：仅当
c 1
,L,
cm
全为零时，才有
c 1
x 1
+L+ cm xm
=θ
，则称
x 1
,L,
x
m
线性无关．
[注] 在 R 2 (⊕ o) 中, α1 = (1,1) , α 2 = (2, 2) 线性无关；
α1 = (1,1) , α 2 = (2, 3) 线性相关．（自证）
(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即
∀ x, y ∈V , 对应唯一 元素( x + y) ∈V , 且满足 (1) 结合律： x + ( y + z) = ( x + y) + z (∀z ∈V ) (2) 交换律： x + y = y + x
(3) 有零元： ∃θ ∈V , 使得 x + θ = x (∀x ∈V ) (4) 有负元： ∀x ∈V , ∃ (− x)∈V , 使得 x + (− x) = θ .
−ηi
= 0,
即ξi
= ηi
(i = 1, 2,L, n) .
故 x 的坐标唯一．
例9
设线性空间V
n
的基为
x 1
,L,
xn
,
元素 y j 在该基下的坐标为
αj
(j
= 1,2,L, m) ,
则元素组
y 1
,L,
ym
线性相关（线性无关）
⇔
向量组α1 ,L,α m 线性相关（线性无关）．
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
+
ξ
2 1
)
．
Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．
证
设θ 与θ 都是V
1
2
的零元素,
则θ1
= θ1
+θ2
= θ2
+ θ1
= θ2
设
x 1
与
x
2
都是
x
的负元素,
则由 x +
x 1
=θ及x+
x 2
=θ
可得
x 1
=
x 1
+θ
=
x 1
+
(x
+
x2 )
=
(
x 1
+
x) +
x 2
=
(x +
x 1
)
+
cx 21 2
+L+
cn1 xn
y 2
=
cx 12 1
+
c 22
x 2
+
L+
LLL
cn2 xn
yn
=
c1n
x 1
+
c2n x2
+L+
cnn xn
c 11