中考数学四边形压轴题

四边形压轴题

1．如图（1），在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．容易证得：CE=CF；

（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE、BE、GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．

（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：

①如图（2），在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD 边上的动点．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，试探索当α和β满足什么关系时，图（1）中GE、BE、GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．

②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x

上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图（3））．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

2．如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t．

（1）当t=2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上；

②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′，再将A，B，C′，D′为顶点的四边形沿C′F′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标．

OA=t

，

OB=2

，即

t=

t=

BE CE=（﹣t+ BE CE=（t t﹣

上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF 与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G，如图①．

（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）当点G刚好落在线段BC上时，如图②，若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止．设平移时间为t（秒），在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

答：

CD=AH=

∴∠GEC=60°

∵△CEG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD 得

∴x=；

当时，

y=S△EGF=S△EDF===＞

∴当

x=

EC=NE=2

=

，对称轴为直线∴当∴当

=

综合两种情形：由于＜∴当的最大值为．4. 如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）．

（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动

时间t 的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；

（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是

否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由． 图1

思路点拨

1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F 画对应的等边三角形EFG ，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．

2．用t 表示OE 、AE 、EF 、AH 的长，都和点E 折返前后相关，分两种情况．

3．探求等腰三角形AOH ，先按顶点分三种情况，再按点E 折返前后分两种情况．

4．本题运算量很大，多用到1∶2

满分解答

（1）在Rt △ABC 中，tan

BC BAC AB ∠=

==

所以∠BAC ＝30°．

如图2，当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，

在Rt △BCF 中，∠BFC ＝60°，BC =

所以BF ＝2．因此PF ＝3－2＝1，运动时间t ＝

1． 图2

（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，S =+

②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，2

S =++ ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+ ④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t -．

图3 图4 图5

（3）等腰△AOH 分三种情况：①AO ＝AH ，②OA ＝OH ，③HA ＝HO ． 在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．

△AEH 的形状保持不变，AH 3．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．

图6 图7 图8

①当AO ＝AH 3(3)3t -=，得33t =（如图7）；

3)3t -=，得3t =（如图8）．

②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．

③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO ＝3AE ． 解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．