第三章 第四讲

2 2
ˆ |2 d ˆ iG | F
ˆ G ˆ F ˆ )2d ˆ )2d i * [F ˆ G ˆ ]d * (G I ( ) 2 * (F
ˆ G ˆ F ˆ] ˆ G ˆ ] [F ˆ，G [F ˆ G] ˆ F ，G [F
ˆ) 0 ˆ ) k ( G I ( ) ( F
2 2 2
对任意实数 均成立 两个不对易 算符均方偏 差关系式
由代数二次式理论可知，该不等式成 立的条件是系数必须满足下列关系：
其中： 均方偏差
k
2 ( k ) ˆ )2 ˆ ) 2 ( G ( F 4 ˆd *k
ˆx, p ˆ y, p ˆz. p
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . H z
例 3：
ˆ H
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
（四）测不准关系
（1）测不准关系的严格推导 （2）坐标和动量的测不准关系 （3）角动量的测不准关系
E 2 1 2 0 2 y 8 y 2
2
解得：
因均方偏差不能小 于零，故取正
2 2 1 E 2 2 2 8 2
y

( x ) 2
1 2
零点能就是测不准关 系所要求的最小能量
（1）测不准关系的严格推导
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若 不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定 值。 问题： 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
不确定度：
（1）测不准关系的严格推导
平均值的平方 为非负数
欲保证不等式成立，必有：
Lx 0 同理：
Ly 0
例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm
下，求测不准关系： 解：
（Lx )2 （Ly )2 ？
2 2
2
二均方偏差不能同时为零， 故 E 最小值也不能是零。
为求 E 的最小值， 取式中等号。
2 （x ) （p x ) 4
2
（p x )
2
2 （ 4 x ) 2
则：
求极值：
1 2 1 2 2 E ( x ) 2 y 8 y 2 8 ( x ) 2 2
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 例 1： 例 2： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
或写成： 简记之：
（x ) 2 （p x ) 2 x p x 2
2
表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小， 另一就越大。
（b）线性谐振子的零点能
振子能量
p2 1 EH 2 x 2 2 2
2 2 2 ( x ) x x 2 2 2 ( p) p p 2 2 2 x ( x ) x 2 2 2 p ( p ) p
§7
算符对易关系；两个力学量同时有确定值 的条件；测不准关系
（一）两个力学量同时有确定值的条件 （二）算符对易关系的物理含义 （三）力学量的完全集合 （四）测不准关系
（一）两力学量同时有确定值的条件
• 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即
n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… )也 都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系 的充要条件是这组算符两两对易。
例 1：
ˆx, p ˆ y, p ˆz 两两对易； 动量算符：p i p r 1 (r ) p e 共同完备本征函数系： 3/ 2 ( 2 ) 同时有确定值： p x , p y , pz .
ˆ ,L ˆ ] 0 [L x z
= 0 的态，Y
m
= Y00
Lx Lz 同时有确定值。
？
所以
ˆF ˆ) 0 ˆ F ˆG (G
但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个， 而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。
I ( )
2
2
2
0 ˆ ] * [F ˆ ]d ˆ iG ˆ iG [F ˆ )*][F ˆ ]d ˆ ) * i ( G ˆ iG [ ( F ˆ )d ˆ ) * ( F ˆ )d i ( F ( F ˆ ) * ( G ˆ ) * ( F ˆ )d ˆ )d ( G i ( G ˆ ) * ( G ˆ )d ˆ ( F ˆ )d i * F ˆ ( G * F ˆ ( F ˆ ( G ˆ )d ˆ )d * G i * G ˆ G ˆ F ˆ ) d ˆ ) d i * [F ˆ G ˆ ]d * (G * (F
例 4：
ˆ2 2 L ˆ ˆ ,L ˆ ,L 两两对易； 空间转子：H z 2I l 0,1,2, Ylm ( , ) 共同完备本征函数系： m 0,1, l l ( l 1) 2 同时有确定值： El , l ( l 1) 2 , m . 2I

被积函数是x 的 奇函数
p
2 2 x ( x ) 2 2 p ( p )
n 为实
p0
于是：
p2 1 ( p ) 2 1 2 2 EH x 2 ( x ) 2 2 2 2 2
பைடு நூலகம்

2 （ x ) （ p x ) 4
n
因为 (x) 是任意函数
cn (Gn Fn FnGn ) n
n
n
n
0
所以
ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 F
逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。
证： 设
仅考虑非简并情况
ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 F
n
即：
考察：
为
ˆ F
的任一本征函数, 本征值为Fn .
ˆ F ˆ G
是特定函数， 非任意函数也！
ˆ ˆF ˆ G ˆ G G ˆ ˆ ˆ ˆ FG F F
例如：
ˆF ˆ ˆ F ˆG G ˆF ˆ ) 0 ˆ F ˆG (G
I.
证：
ˆ 为厄密算符，则偏差 ˆ F ˆ F仍为厄密算符。 证明：若F F
ˆ） ˆ F ) F ˆ F* F ˆ F F ˆ （F （F
II
测不准关系的严格推导
设二厄密算符对易关系为：
ˆ G ˆF ˆ ˆG ˆ ik F
是算符或 普通数
ˆ ˆ 、G 为求二量不确定度 F 引入实参量 的辅助积分：
（c）角动量的测不准关系
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ Lx，Ly ] iLz （Lx ) （Ly ) Lz 4 ˆ 本征态时， 当体系处于L z
2 1 （Lx ) 2 （ L y ) 2 ( m )2 m 2 4 4 4
例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，
最后有：
ˆ ] [F ˆ ] [ F ，G ˆ ] [F ˆ ] ik ˆ ˆ F，G ˆ F，G ] [ F ˆ ，G ˆ ，G [F
ˆ] ˆ )2d ˆ )2d i * [ik I ( ) 2 * ( F d * ( G
ˆ F
如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值， 则 必也是 G 的一个本征态，即
结论：
ˆ G
当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值， 那么 必是 二力学量共同本征函数。
（二）两算符对易的物理含义
考察前面二式：
ˆ G ˆ F
〈 L x〉 = 〈 Ly〉 = 0 证：
2 2 2 2 （Ly ) （Lz ) Lx 4
ˆ ，L ˆ ] iL ˆ [ L y z x
由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有 确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即
（Lz ) 2 0
则测不准关系：
2 2 2 2 （Ly ) 0 Lx 0 Lx 4 4 2
ˆ F F n n n ˆ ) F (G ˆ ) ˆ (G F n n n
与 n 只差 一常数 Gn
ˆ G ˆG ˆF ˆ ˆ F G F n n n n
ˆ ) 也是 F ˆ 的一个本征函数， 即 (G n 与 n一样，本征值亦为 Fn
ˆ G G n n n n
例 2：
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ 氢原子中：H 两两对易； z nlm ( r ) Rnl ( r )Ylm ( , ) 共同完备本征函数系： 2 同时有确定值： E , l ( l 1 ) , m. n
例 3：
ˆ 2 L ˆ z ,L ˆ H 相互对易； 定轴转子： z 2I 1 共同完备本征函数系： ( ) e im m 2 m 2 2 Em , m , ( m 0,1, ). 同时有确定值： 2I
x
p



n * x ndx N n
2




xe
2 x 2
H n (x )dx
2
0



ˆ n dx i n * p
n

n *
n
dx x
处 n =0
i n * | i

* dx x n * dx i n * dx x x i
证：
ˆ F F n n n 已知： ˆ G n Gn n n 1,2,3,
由于 n 组成完备系，所 以任意态函数 (x) 可以 按其展开： 则
( x ) cn n ( x )
n
ˆ G ˆF ˆ G ˆF ˆG ˆ ) ( x ) ( F ˆG ˆ) (F cn n ˆ G ˆF ˆ F ) ˆG ˆ ) ˆG G cn ( F cn ( F n n n n
测不准关系
ˆ )2 ( F ˆ F )2 F ˆ 2 2F ˆF F 2 ( F
2 2 ˆ F 2FF F F 2 2F F F 2
F F
2
2
（2）坐标和动量的测不准关系
（a）测不准关系
2 ( k ) ˆ ] ik ˆ ˆ ，G ˆ )2 ˆ ) 2 ( G [F ( F 4 2 ˆ x ] i [ x，p （x ) 2 （p x )2 4