集合与常用逻辑用语

探究一 集合的含义与表示、集合的运算
例 1(1)若 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m ＋1}，A∩B＝B，则实数 m 的取值范围是________．
【解析】[－1，＋∞) ∵A∩B＝B，∴B⊆A. 当 B＝ 时，由 2m－1＞m＋1，解得 m>2； 当 B≠ 时，则22mm－－11≤≥m－＋31，，解得－1≤m≤2.
(2)设 0<x<π2 ，则“cos x<x2”是“cos x<x”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选 A.
由 x2＝x 得 x＝0 或 x＝1，作出函数 y＝cos x
和 y＝x2，以及 y＝x 的图象，如图所示，则由图象
可知当
cos
x<x2
主要是结
充要条件
合一元二次不
集合的交集运算、一元二次 等式，求解集与
不等式的解法
已知集合的交
集合的补集运算、一元二次 (并、补)；还可
不等式的解法
以在考查其他
集合的表示与元素的个数 内容时，兼顾逻
集合的交集运算、简单不等 辑用语的使用
式的求解
(读懂)，以及简
集合的运算及简单不等式 单逻辑关系的
的求解
m＋1≤4， 综上，可知，m∈[－1，＋∞)．
【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑
到空集的可能性，若 A⊆ B，则有 A＝ 和 A≠ 两种可能， 此时应分类讨论．
(2)函数 f(x)的定义域为 D，对给定的正数 k，若存 在闭区间a，b D，使得函数 f(x)满足：①f(x)在a，b 内是单调函数；②f(x)在a，b上的值域为ka，kb，则称 区间a，b为 y＝f(x)的 k 级“理想区间”．下列结论错误 的是( )
判断.
集合的交集及一元二次方
程的根
集合的概念及运算
从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选 择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现，所以在复 习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就 可以了．
要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考 查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关 系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四 种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的 运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题， 重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题 的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化．要体 会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题 的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想 等数学思想在解题中的运用．
A．函数 f(x)＝x2(x∈R)存在 1 级“理想区间” B．函数 f(x)＝exx∈R不存在 2 级“理想区间” C．函数 f(x)＝x24＋x 1x≥0存在 3 级“理想区间”
D．函数 f(x)＝tan x，x∈－π2 ，π2 不存在 4 级“理
想区间”
【解析】选 D.
易知0，1是 f(x)＝x2 的 1 级“理想区间”，A 正确； 设 g(x)＝ex－2x，g′(x)＝ex－2，当 x<ln 2 时，
专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复 数、不等式、算法、推理与证明、计数原理
第1讲 集合与常用逻辑用语
年份 卷别 Ⅰ
2019 Ⅱ
Ⅲ Ⅰ 2018 Ⅱ Ⅲ Ⅰ 2017 Ⅱ Ⅲ
题号 1
1 7 1
2 2 1
1
2 1
考查内容
命题规律
集合的交集运算、一元二次
不等式的解法ຫໍສະໝຸດ Baidu
集合的交集运算、一元二次
不等式的解法
【解析】选 D. 由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题得，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式 是“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2”．
(2)已知命题 p：在△ABC 中，若 sin A＝sin B，则 A ＝B；命题 q：∀x∈(0，π)，sin x＋si1n x>2，则下列命
题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∨(┐q)
C．(┐p)∧(┐q)
D．(┐p)∨q
【解析】选 B.
命题 p：在△ABC 中，∵A＋B<π，若 sin A＝sin B， 则 A＝B，故为真命题；命题 q：∀x∈(0，π)，当 x＝π2 时， sin x＋si1n x>2 不成立，故为假命题．故选 B.
π
时，xB<x< 2 ，当
cos
x<x
时，
π
xA<x< 2 ，因为
xA<xB，所以“cos
x<x2”是“cos
x<x”
的充分不必要条件，故选 A.
1．解答集合问题的策略： (1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利 解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属 性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互 异性要注意检验； (2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的 作用； (3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到 空集的可能性． 2．命题真假的判定方法： (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关知识辨别；
g′(x)<0，当 x>ln 2 时，g′(x)>0，因此 g(x)min＝gln 2 ＝2－2ln 2>0，即 g(x)＝0 无零点，因此 f(x)＝ex 不存
在 2 级“理想区间”，B 正确；
由
h(x)＝x24＋x 1－3x＝0，得
x＝0
或
x＝
33，则0，
3
3
是 f(x)＝x24＋x 1的一个 3 级“理想区间”，C 正确；
探究三 充要条件 例 3 (1)已知命题 p：|x＋1|>2，命题 q：x>a，且┐p 是
┐q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是____________．
【解析】a≥1 ∵p：|x＋1|>2，∴p＝{x|x>1 或 x<－3}，若┐p 是 ┐q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件，则 q⊆p，∴a≥1，故答案为 a≥1.
借助正切函数图象知 y＝tan x 与 y＝4x 在－π2 ，π2 内有三个交点，因此 f(x)＝tan xx∈－π2 ，π2 有 4 级
“理想区间”，D 错误．
故选 D.
探究二 常用逻辑用语
例 2 (1)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得∃n≥x2”的否定
形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2