电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理-y

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Example 2-22(P60)
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3. 两个零等式
3.1 恒等式 I
任何标量场的梯度的旋度恒为零。（V及其一阶导数处处存在）
(V ) 0
恒等式 I 的逆定理也成立： 如果一个矢量的旋度为零，则该矢 量可以表示为一个标量场的梯度。
例如：
E 0
那么
E V
单位面积上的源，涡旋 源的强度
源
旋度场：空间每点处涡旋源的强度，描述涡旋源 的强度在空间的分布
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(5)在正交曲面坐标系下的表达式
ˆ h 1au1 curlA 1 h1h2h3 1 u h 1 Au1
ˆ ax CurlA x Ax ˆ ay y Ay
CurlA A
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亥姆霍兹定理: 假如一矢量场（矢量点函数）的散度和 旋度处处都已给定，则这个矢量场（矢量点函数）就确定 了，最多只差一个附加常矢量。
对于无界区域，我们假定矢量场的散度和旋度在无穷远 处均为零，如果矢量场被限制于由封闭面所包围的一个区 域内，那么只要它在整个区域的散度和旋度以及在封闭面 上的法向分量都已给定，则该矢量场就确定了。这里，我 们假定矢量函数为单值，而且具有有限值及连续的导数。
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(4)物理意义
CurlA A
s 0 s point M
lim
ˆ an
Adl
C
s
max
如果矢量场F每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布 （矢量场)称为矢量F的旋度场
Bdl 0 I
c c内
Adl
C
s
再由两个零等式:
Fi V ; Fs A F V A
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二阶微分算子
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例子： 已知一个矢量函数 :
F=ax(3y-c1z)+ay(c2x-2z)-az(c3y+z) (a) 如果F是无旋的，求解 c1,c2 , c3 ；
(b) 求标量位函数V，它的负梯度等于F
c c内
零
y
y
负最 大
y
x
x
x
(1)在同一点绕不同方向的方向旋度不相同，
(2)有这样一个特殊方向，该方向的方向旋度最大
最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋 度 空间矢场在任一点的旋 Adl ˆ CurlA A lim an C 度矢量的方向是该点取 s 0 s s point M 最大方向旋度的方向， max 它的模是该点取最大方 ？旋度的方向 向旋度的大小。 8 z
A A A A ˆ y z － x az y x ˆ －a z x x y
A＝
Az Ay Ay Ax Az Ax ˆ ˆ ˆ ax － －a y － az z z x y x y Az Ay Az Ax Ay Ax － － x y z x z y x y z Az Ay Az Ax Ay Ax － 0 x y x z y x y z z x z y
h aˆu 3 3 3 u h Au 3 3
h
2
ˆ au2
2 u h
ˆ az z Az
2
Au2
直角坐标系下： ax ay a z x y z
Az Ay ˆ CurlA＝ ax － z y
Ay Ax Az Ax ˆ ˆ － －a y az x z x y
5Байду номын сангаас
2A
2A
5A
10A
3A
3A

c
B 0 I 0 J ds dl
c内
divF F＝ lim
F ds v
v 0 point M
s 0 point M
lim
A dl
c
S
6
绕同一点有无穷多的回路，怎么办？
2
A Ax ex Ay ey Az ez
2 2 2 2
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Example 2-21(P57-58)
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一个旋度为零的矢量场称为无旋场 一个散度为零的矢量场称为无散场
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2. 斯托克斯定理
一矢量场的旋度在一开放表面上的面积分，等于该矢量 沿包围该表面的围线的封闭线积分
V 0
Ax Ay Az divA A= x y z
3. 散度定理

V
divAdV Ad S
S
2
主要内容
1. 矢量场的旋度 2. 斯托克斯定理 3. 两个零等式 4. 亥姆霍兹定理
3
1. 矢量场的旋度
旋涡 旋涡源 环量 旋度
一个无旋（保守）矢量场总可以表示成一个标量场的梯度
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直角坐标系下证明： =0
ˆ ax A x Ax ˆ ay y Ay ˆ az z Az
f f f ˆ ˆ ˆ f ax ay az x y z
ˆ ˆ ˆ = ax ay az x y z ˆ ax = x x ˆ ay y y ˆ ax ˆ az y z z y ˆy a 0 z x z z x ˆ az z x y y x

S
(Curl A) dS ( A) dS A dl
S C
降维：二维 —— 一维
斯托克斯定理将一矢量的旋度的面积分变换为该矢量的 线积分，或者作相反的变换。凡是可应用斯托克斯定理 的场总是意味着有一个带有环形边界的开放表面存在。 最简单的开放表面是二维的平面或者带有圆周边界的圆 盘，注意：dl和ds的方向关系服从右手定则。
例如：载流导体中的稳定磁场 3). 无旋的但有散（非管形）的，如果
F=0 and F 0 F 0 and F 0
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例如：在有源区域中的静电场
4).即有散又有旋的，如果
例如：有电荷又有时变磁场的煤质中的电场
现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励 源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 最普遍的矢量场是同时具有非零的散度和非零的旋 度的，而且可以看作是一无散场和一无旋场之和。
（2）三维空间矢量场方向旋度的概念
研究在同一点绕各个不同方向的旋涡强度（无穷多的绕行方向），沿每一 个回路都有一个旋度，称为方向旋度，其方向为回路包围面积的法线方向
ˆ 方向旋度：当面积趋于零时，垂直于 au 方向上的单位面积 上的环量
CurlA ˆ lim
au
Adl
ˆ ax F 0 x Fx ˆ ay y Fy ˆ az ˆ ax ˆ ay y (c2 x-2z) ˆ az z -(c3 y+z) z x Fz (3y-c1z)
Q1
l1
l
P
Q
l2
Q2
静电场：有始有终 矢量场散度场描述散度源强度在空间分布 静磁场：无始无终闭合线 矢量场旋度场描述旋涡源强度在空间分布
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（1）基本概念：矢量A沿闭合回路l的环量
A dl
l
环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关， 还取决于该曲线相对于矢量A的取向。若环量 不等于 零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场 或有旋场，若环量 等于零，则为无旋场。可见，环量 可以用来描述矢量场的旋涡特性。
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柱坐标系
ˆ ar 1 A r r Ar
ˆ aR A 1 R 2 sin R AR
ˆ ra rA
ˆ Ra RA
ˆ az z Az
ˆ R sin a R sin A
球坐标系
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( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( ) 0 A ( A) A 2 2 2 2 2 2 2 x y z
ˆ a
（3）方向旋度
ˆ A au A lim
u
1 A dl su 0 s u Cu
我们看到：掌握了某一点的旋度，可以知道绕什么方向的方向 旋度最强，并算出方向旋度的最大值；如果矢量场F每一点的旋 度都有定义，则形成一个矢量场的分布称为矢量F的旋度场。总 而言之，旋度场是源于矢场的另一矢场，它全面地刻画了矢场 的涡旋特征（空间变化特征）。
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4. 亥姆霍兹定理
在前面几节我们得出：散度为零的场是无散场（管形 场），而旋度为零的场是无旋场，我们可以根据场是无散 的或无旋的，将矢量场进行分类，一矢量场F是：
1).无散的（管形）和无旋的，如果 F=0 and F=0 例如: 无源区的静电场 2). 无散的（管形）但非无旋的，如果 0 and F 0 F
Field and Wave Electromagnetic
电磁场与电磁波
回顾：
1. 标量场的梯度
dV GradV V an dn
V V V ˆ ˆ ˆ V ax ay az x y z
2. 矢量场的散度
div A lim

S
AdS v
ˆ as
s 0
s aˆ
u
dl ds
ds
dl
ˆ as
P
回路（回路的绕行方向）与回 路包围面（面法线方向）这两 个方向之间的关系：右手规则
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注意：在每一点P处都有无穷多的方向旋度
z
J
x
z
正最大
y
z
z
次之
y
零
y
x
z
x
z
Bdl 0 I 0 J ds
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直角坐标系下证明： A 0 ＝
ˆ ax CurlA x Ax ˆ ay y Ay ˆ az z Az
Ax Ay Az divA A= x y z
A A ˆx z － y CurlA＝ a z y
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矢量场的散度是流量源强度的度量，而矢量场的旋度是旋 涡源强度的度量。当流量源强度和旋涡源强度均给定时， 可知该矢量场将被确定。由此，任何一个一般矢量场F可 以分解为无旋部分 Fi 和无散部分 Fs
if F g and F G; then F Fi Fs Fi 0 and Fi g ; Fs 0 and Fs G F Fi g and F Fs G
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3.2 恒等式 II
任何矢量场的旋度的梯度恒为零
( A) 0
恒等式 II 的逆定理：如果一矢量场的散度为零，它就 可表示为另一矢量场的旋度。
例如： B 0
那么
B A
无散场又成为管形场。管形场是没有流量源和汇的。管 形场穿过任何封闭面的净流出通量为零，通量线自身呈 闭合形状。