导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)

导数大题的常用找点技巧和常见模型

湖南邵阳杨歆琪

【引子】（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x

x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析：（1）()()()()

2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+- 若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减； 若0a >，令()'0f x =，得11

,ln x e x a a

=

=. 当1

ln

x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭上递减；

当1ln

x a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln

a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增.

（2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln 1ln 0f x f a a a

⎛

⎫==--< ⎪⎝

⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1

'10g x

x

=--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫

-

-<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭

. 下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >. 事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1

'1h x x

=-

，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()222

22

110a ea e a a f e e e ++---=+

+=>， ()2

333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

其中11ln

a -<，31

ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭

上各有一个零点.

故a 的取值范围是()0,1.

注意：取点过程用到了常用放缩技巧。

一方面：()()2233202030ln 1x

x x x x x x a ae

a e x ae a e e ae a e x a a -⎛⎫

+-->⇐+--≥⇐+-≥⇐≥

⇐≥- ⎪⎝⎭

； 另一方面：0x <时，()()220201x

x x ae

a e x a e x x +-->⇐--≥⇐=-（目测的）

常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）

第一组：对数放缩

（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ ，ln x

x e

≤. （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<

-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭

， )

ln 1x x

<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2

ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤-

-<<，()()21

ln 102

x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1

ln 1x x ≥-

，()()21ln 011

x x x x -<<<+ ，()()2ln 102x x x x +<

<+ ()ln 11x x x +≥

+，()()21ln 11

x x x x ->>+，()()2ln 102x

x x x +>>+ 第二组：指数放缩

（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x

e ex ≥，

（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()1

0x e x x

<-<， （放缩成二次函数）2

x e x >，()21102

x e x x x ≥++>，

第三组：指对放缩

()()ln 112x e x x x -≥+--=

第四组：三角函数放缩

()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22

x x x -≤≤-.

第五组：以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1

1y x

=-

，ln y x x =.

常用的找点技巧

方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.

【示例】证明：当1

0a e

<<时，()ln f x x ax =-有两个零点. 分析：极值点为1

x a

=

（大于e ），11ln 10f a a ⎛⎫

=-> ⎪⎝⎭

，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.

因为ln 1x x ≤-，要使得ln 0x ax -<，只需要10x ax --≤，即11x a ≤-，考虑到1

0a e

<<，所以11,11e a e ⎛⎫∈ ⎪--⎝⎭，所以左侧可取：

()10f a =-<，

111ln 1011111a a f a a a a a ⎛⎫

=-<--= ⎪

-----⎝⎭

；

另一方面：因为)ln 1x x <>或)ln 1x x

≤->，要使得ln 0x ax -<0ax ≤，即2

1

x a ≥

，所以右侧可取：

2211111

ln 0f a a a a a a a

⎛⎫⎛⎫=-≤--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.

方法二：目测法。成功关键：数感与大胆.

【示例】证明：当a e >时，()x

f x e ax =-有两个零点.

分析：极值点为ln x a =（大于1），()()

l n 1l n 0f a a a =-<，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.

左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：

1

110a

f e a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭

，()010f =>，()110f a e -=+>.

右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：

()()2ln 2ln 2ln 2ln 0a f a e a a a a a =-=->，()20a f a e a =->.

方法三：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.

【示例】证明：当0a >时，()()()2

21x

f x x e a x =-+-有两个零点.

分析：极值点为1x =，()10f e =-<，()20f a =>，难点是在1的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小越容易成功，要使得()()2210x x e a x -+->，即()()2

12x a x x e ->-，只需要满足

()2

12x

a e

x x

⎧>⎪⎨->-⎪⎩，

即取b 满足b <

且ln b a <即可使得()0f b >.