压杆的稳定计算

界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
从以上三种情况的分 析，其截面面积相等、支承 条件也相同,但是，计算得到 的临界力却不一样。可见在 材料用量相同的条件下，选 择L/恰O/G当/O的截面形式可以提高 细长压杆的临界力。
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
【例8-1】试计算图示压杆(截面面积 相同的矩形、正方形和圆形)的临 界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
I max
Iy
hb3 12
45 203 12
3.0 104 mm4
⑵计算临界力
Fcr
2EI (l)2
2 200109 3108
L/O/G/O
(2 2)2
3701N 3.7kN
适用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即
：
cr
2E 2
≤P
≥
E
P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
L/O/G/O
则欧拉公式的适用范围为 ：≥ P
P =
E
P
cr
2E 2
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和 欧拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
L/O/G/O
引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
短木条失效时：
c
6000 30 5
L/O/G/O
(2 2)2
8330N 8.33kN
y z
30mm
30mm
【例8-1】试计算图示压杆(截面面积 相同的矩形、正方形和圆形)的临
正方形 : Fcr 8.33kN
界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
⑷当截面改为面积相等的圆
形时，其惯性矩：
Fcr 7.95kN
D2 b2 D
Iy
临界力计算公式为：Fcr cr A a b A
L/O/G/O
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算
我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b 公式的适用范围：cr a b ≤ s
屈服应力
或： ≥ a s
b
令：s
a s
b
≥ s
当临界应力等于材料的屈 服点应力时压杆的柔度值
L/O/G/O 与λP一样, λS也是一个与材料的性质有
关的常数, 因此, 直线经验公式的适用范围为：
P S
8.2.3 粗短压杆的临界力和临界应力计算
柔度小于λS的压杆称为粗短杆或小柔度 杆。对于柔度小于λS的粗短杆或小柔度杆，其
破坏则是因为材料的抗压强度不足而造成的， 如果将这类杆也按照稳定问题进行处理,则对
杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压
杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F等 于L/O或/G者/O 大于Fcr时,杆件就不能保持稳定的平衡
而失稳。
子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算
⒈ 细长压杆的临界力计算
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l2
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l 2
μ称为长度系数。
L/O/G/O
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
L/O/G/O
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
F
30N
F
6000N
30
1000
轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线
状态的现象，在结构上称为“失稳”。这种情况 对结构安全是极为不利的。也是必须避免的F30N。
截面形状也是轴心受
压直杆稳定性的又一个重要
因素。
F
6000N
1000
30
L/O/G/O
子情境8.1 压杆的概念
Fcr 称为临界荷载
稳定的平衡：
cr
Fcr A
cr
1 A
2EI
l 2
I i2A 或 i2 I A
cr
1 A
2EI
l 2
2Ei2
l 2
2E l 2
令
l
i
,则有：
cr
2E 2
i
L/O/G/O
cr
2E 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算导出的，而应用
此微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的
Iz
4
D4
64
42
2
b4
64
4
b
D
30mm
24 304
64
6.45104 mm4
FLc/rO/G(/O2lE)I2
2 200109 6.45108
(2 2)2
y z
30mm
7950N 7.95kN
【例8-1】试计算图示压杆(截面面积 相同的矩形、正方形和圆形)的临
正方形 : Fcr 8.33kN
能保持原有的
直线平衡状态
的平衡；
不稳定的平衡：
不能保持原有的
直线平衡状态的
L/O/G/O
平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下
，使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这
种丧失稳定的现象也称为屈曲。
子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界
压当力压或杆临所界受力的，轴用向Fcr压表力示F小于临界力Fcr时，
【例8-1】试计算图示压杆(截面面积 相同的矩形、正方形和圆形)的临
正方形 : Fcr 8.33kN
界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
Iy
Iz
hb3 12
303 12
6.75104 mm4
Fcr
2EI (l)2
2 200109 6.75108
40MPa
长木条失效时：
c
30 30 5
0.2MPa
L两/O者/G失/O效原因存在本质区别：
短木条: 强度失效，由强度不足引起
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
F
30N
F
6000N
30
1000
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同 一材料、同一截面尺寸和形状 ，当长度不同时，其能承受的 轴心压力值是不同的。在结构 计算中，构件有一个重要特征 ，就是计算长度的影响。长度 越大，构件的计算长度也越大 ，L/O其/G能/O承受的轴心压力值越小 ，这就是直木承受轴心压力的 一个重要特征。因此，笼统地