数学物理方法17 积分变换法

X (x) A cos x B sin x 对应于每一个μ, A和B都不同
X (x, ) A() cos x B() sin x 参数化的解
对应于固有值 λ＝μ2，关于时间t的常微分方程
T ' (t) a2T (t) 0
T (t, ) C()e(a)2 t
泛定方程的特解族（对应于每一个固有值的解）
卷积的性质 1、交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 2、分配律： f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+ f1(t)*f3(t) 3、结合律： f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
卷积定理
若 F[ f1(t)] F1(), F[ f2 (t)] F2 () 那么
2
2
利用傅里叶变换求解数理方程：引例
原定解问题的解
u(x,t)
[a(
)
cos
x
b(
)
sin
x
]e
(
a
)
2
t
d
考虑到
cos x 1 (eix eix ), sin x 1 (eix eix ),
2
2i
u(x,t)
[
(
)eix
( )e ix
]e(a )2 t d
考察第二项
( )e e d (v)e e dv
2u
t
2
a2
2u x 2
( x ,t 0)
u(x,0) (x),ut (x,0) (x)
关于x取F变换
2U (,
t 2
t)
a 2
2U
(,
t)
U (,0) (),Ut (,0)
0
()
可看成： 一元二阶常 微分方程。 如何求解？
利用傅里叶变换求解数理方程：例1
2U (
t 2
,
t
)
cos
x
பைடு நூலகம்
b(
)
sin
x
]e
(
a
)
2
t
d
原定解问题：ut a2uxx 0 ( x ,t 0) u(x,0) (x)
u(x,0) (x) [a() cos x b() sin x]d
由Fourier积分公式的系数，知
a() 1
( ) cos d
b() 1
( ) sin d
)
a
2
2U
(
,
t
)
0
U (,0) (),Ut (,0) ()
解得：U (,t) () cos at () sin at
a
象函数作逆变换，可得
u(x, t) F 1[U (, t)] F 1[() cos at () sin at] a
2
考察初始条件，可得
u(x,0) (x) __
u(x,t) 1
__
(
)e
(
a
)2
t
e
ix
d
F逆变换
c() ()
2
__
其中 ()
(
x)e
ix
d
F变换
回到原定解问题
ut a2uxx 0 ( x ,t 0)
u(x,0) (x)
关于x作F变换：
dU
(,
dt
t
)
(a
)
2U
(
,
如何从特解族到定解方程的解u(x, t)?
叠加原理：对应于每个固有值的解相加！
只适应于离散固有值的情况， 连续固有值的情况如何处理？
离散量的叠加连续量的积分
_
u(x,t) u(x,t, )d
利用傅里叶变换求解数理方程：引例
_
u(x,t) u(x,t, )d
u(x,t)
[a(
t
)
0
U
(,0)
__
(
)
可看成 一元一阶常 微分方程， 如何求解？
dU
(
dt
,
t
)
(a
)
2U
(,
t
)
0
U
(
,0)
__
(
)
求解此方程，得
U
(,
t)
__
(
)e
(
a
)
2
t
最Fourier逆变换，可得
u( x, t )
F
__
1[
(
)e
(
a
)2
t
]
1
__
(
)e
(
a
)
2
t
eix
d
2
F
__
1[
(
)e
(
_
u(
x,
t,
)
[
A(
)
cos
x
B(
)
sin
x]C
(
)e(a
)2
t
固有值的取值
[a() cos x b() sin x]e(a)2 t
利用傅里叶变换求解数理方程：引例
泛定方程的特解族（对应于每一个固有值）
_
u(
x,
t,
)
[
A(
)
cos
x
B(
)
sin
x]C
(
)e(a
)2
t
固有值的取值
[a() cos x b() sin x]e(a)2 t
数学物理方法17 积分变换法
傅立叶(Fourier)变换
傅立叶变换的定义：实函数f(t)
F () f (t)eitdt
傅立叶逆变换
记为：
f (t) 1 F ()eitd
2
记为：
f(t)为象原函数；F(ω)为象函数。
通常，F变换的象原函数是一元函数； 对于多元函数，是否可以使用F变换？u(x, t)
ix ( a )2 t
v
ivx ( av )2 t
(v)e e
1
ivx ( av )2
t
dv,
(记1 (v)
(v))
记c( )
2
[
()
1 ( )]
那么u(x,t) 1
c(
)e
ix
e
(
a
)
2
t
d
:
1
c(
)eix
e
(
a
)
2
t
d
2
2
利用傅里叶变换求解数理方程：引例
原定解问题的解 u(x, t) 1 c()eixe(a)2 t d
得到两组常微分方程 T ' (t) a2T (t) 0
X '' (x) X (x) 0
增加自然边界条件：
| X () |
X '' (x) X (x) 0
| X () |
利用傅里叶变换求解数理方程：引例
X '' (x) X (x) 0
| X () |
上述固有值问题，只有λ≥0时，有非0解，记 λ＝μ2
F[ f1(t) f2 (t)] F1()F2 () F 1[F1()F2 ()] f1(t) f2 (t)
利用Fourier变换求解数理方程：引例
研究一维无界扩散问题
ut u(
a2uxx 0
x,0) (x)
( x ,t 0)
采用分离变量法，令
u(x,t) X (x)T (t)
a
)
2
t
]
F
__
1[ ()]*
F
[e 1 (a )2 t
]
(x) * F 1[e(a)2 t ] 钟形脉冲函数的F变换
(x) * 1 exp{ x2 }
2a t
4a2t
1
2a t
(
)
exp{
(
x )
4a2t
2
}d
热传导初值问题 的Poisson解
利用傅里叶变换求解数理方程：例1
• 试用傅里叶变换求解下述定解问题
U (,t)
u
(
x,
t
)e
ix
dx
是二元函数u(x,
t)关于自变量x的F变换
U (x,)
u(
x,
t
)e
it
dt
是二元函数u(x,
t)关于自变量t的F变换
傅立叶变换的性质
• 1、线性性质 • 2、位移性质 • 3、微分性质 • 4、积分性质 • 5、卷积与卷积定理
卷积和卷积定理
卷积公式 f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d