利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求...

图2
【解】
(1)证明
∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD. 在正方形ABCD中，CD⊥AD，
菜 单
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∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.
(2) 由 (1) 知平面 EAD⊥ 平面 ABCD ，取 AD 中点 O ，连接
EO， ∵EA＝ED，∴EO⊥AD， ∴EO⊥平面ABCD， 建立如图所示的空间直角坐 标系，设AB＝2， 则 A(1，0， 0)，B(1，2，0)，E(0， 0， 1)，设 M(x，y，
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图1
【思路点拨】 (1)利用勾股定理证明AB⊥ AC； (2)构造过 AB1的平面，并证明其平行于平面A1C1C. (3)证明直线 AA1， AC， AB两两垂直，从而以点 A为坐 标原点建立空间直角坐标系，求出平面A1C1C的法向量，用 向量法求解．
菜 单
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【规范解答】 (1)因为 AB＝AC，BC＝ 2AB， 所以 AB2＋ AC2＝ BC2，所以AB⊥ AC， 又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥ AA1， 又因为 AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面AA1C. 易知 AB∥ A1B1， 所以 A1B1⊥平面 AA1C. (2)取BC的中点 D，连接 AD，B1D， C1D. 1 因为 B1C1綊 BC， 2 所以 B1C1DB是平行四边形， 故 C1D綊 B1B，
解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意 计算上不要失误． 2 ． 角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思 想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．
菜 单
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(2013· 珠海模拟)如图 2，正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所 在平面相交于 AD，AE⊥平面 CDE. (1)求证：AB⊥平面 ADE； (2)在线段 BE 上存在点 M，使得 直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值 6 为 ，试确定点 M 的位置． 3
大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择
适当的方法解题．
菜 单
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(2013· 济佛山拟)如图 3，在 四棱锥 S—ABCD 中，平面 SAD⊥平 面 ABCD.底面 ABCD 为矩形，AD＝ 2a，AB＝ 3a，SA＝SD＝a. (1)求证：CD⊥SA； (2)求二面角 C—SA—D 的大小．
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2 2 a)， A( a， 0， 0)， 2 2 2 2 B( a， 3a， 0)， C(－ a， 3a， 0)， 2 2 2 D(－ a， 0， 0)． 2 2 2 → → (1)易知CD＝(0，－ 3a， 0)，SA＝( a， 0，－ a)， 2 2 → ·SA → ＝ 0， 因为CD 所以 CD⊥ SA. (2)设 n＝ (x， y， z)为平面CSA的法向量， → ＝0 SA n· 则有 ， → ＝0 CA n· 则 S(0， 0，
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(2013·深圳模拟)如图5，
棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有
棱长都等于2，∠ABC和 ∠A1AC均为60°，平面 AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)求二面角D—AA1—C的余弦值； (3) 在直线 CC1 上是否存在点 P ，使 BP∥平面 DA1C1 ，若 存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵ AB⊥AD ， ∴ AB⊥ 平 面 SAD ， 又 DE⊂ 平 面 SAD ，
∴DE⊥AB.
菜 单
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∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB，
∵DE⊂平面BED， ∴平面BED⊥平面SAB. (2)由题意知SD，AD，DC两两 垂直，以DA、DC、DS所在的 直线分别为x轴、y轴、z轴建立 如图所示的空间直角坐标系 D—xyz，不妨设AD＝2，则
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利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转 化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的 角．
菜
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z)，
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→ ＝ (x－ 1， y－ 2， z)，BE → ＝ (－ 1，－ 2， 1)， ∴BM ∵ B， M， E三点共线， → ＝ λBE → ， ∴ M(1－ λ， 2－ 2λ， λ)， ∴BM → ＝ (－ λ， 2－2λ， λ)． ∴AM 设 AM与平面 AED所成的角为 θ， ∵平面 AED的法向量 n＝(0， 1， 0)， |2－ 2λ| 6 → ∴ sin θ＝|cos〈 AM， n〉 |＝ ＝ ， 2 6λ － 8λ＋ 4 3 1 解得 λ＝ . 2 即 M为 BE的中点 .
菜
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利用空间向量法求二面角的方法：
(1) 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后
通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意 结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． (2) 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足 出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的
菜 单
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2 2 ax－ az＝ 0 2 即 2 ，取n＝ ( 3， 2， 3)． 2ax－ 3ay＝ 0 → 为平面SAD的一个法向 显然，EP⊥ 平面 SAD，所以 PE 量， 所以 m＝ (0， 1， 0)为平面SAD的一个法向量． 2 1 所以 cos〈n， m〉＝ ＝ ， 2 2 2 π 所以二面角C—SA—D的大小为 . 3
菜
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可知 AA1， AC， AB两两互相垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝ 2，则A(0， 0， 0)， B(0， 2， 0)， A1(0， 0， 2)， C(2， 0， 0)， C1(1， 1， 2)， → 所以A→ 1C1＝ (1， 1， 0)，A1C＝ (2， 0，－ 2)． 设平面 A1C1C的一个法向量为m → A 1C1· m＝ 0 ＝ (x，y， 1)，由 ， → m＝ 0 A 1C· → ＝ (－2， 2， 0)， 得 m＝ (1，－ 1， 1)，又CB
(2013· 潮州模拟)如图 1，在 多面体 ABC—A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，AB＝AC，BC＝ 2AB， 1 B1C1 綊 BC，二面角 A1—AB—C 是直二面角． 2 (1)求证：A1B1⊥平面 AA1C； (2)求证：AB1∥平面 A1C1C； (3)求 BC 与平面 A1C1C 所成角的正弦值．
菜 单
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D(0， 0， 0)， A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0)， S(0， 0， 2)， E(1， 0，1)． → ＝ (2， 2 ， 0)， DE → ＝ (1， 0， 1)， CB → ＝ (2， 0， ∴ DB → ＝ (0，－ 2， 2)． 0)，CS 设 m＝ (x1， y1， z1)是平面BED的法向量， 2x ＋ 2y ＝ 0， → ＝ 0， DB 1 m· 1 则 即 令x1＝－1，即 y1＝ → ＝ 0， x1＋ z1＝ 0， DE m· 2， z1＝ 1， ∴ m＝ (－ 1， 2，1)是平面 BED的一个法向量． 设 n＝ (x2， y2， z2)是平面SBC的法向量，则
在 △ SAD 中 ， SA ＝ SD ＝ a ， P 为 AD 的 中 点 ， 所 以
SP⊥AD. 又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD ＝AD， 所以，SP⊥平面ABCD.显然有PE⊥AD. 如图，以P为坐标原点，PA 为x轴，PE为y轴，PS为z轴建
立空间直角坐标系，
菜 单
【思路点拨】 取 BC的中点 E， AD的中点P，连接 PE， SP，证明直线PE， PS， AD两两垂直，从而以点P为坐 标原点建立空间直角坐标系． → ·SA → ＝ 0； (1)证明CD (2)求两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解．
菜
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【规范解答】
取BC的中点E，AD的中点P，连接PE.
菜
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【反思启迪】
1.当空间直角坐标系容易建立时，用向
量法较为简洁明快．
2 ． 用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向 量的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以 根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面 角一般是比较明显的．
菜
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菜
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又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四边
形，
所以A1C1∥ AD，所以AD∥平面A1C1C， 同理，B1D∥平面A1C1C； 又因为B1D∩AD＝D，所以平面ADB1∥平面A1C1C， 所以AB1∥平面A1C1C. (3)由(1)知AB⊥平面AA1C，又二面角A1—AB—C是直二 面角，
菜
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以 OB， OC， OA1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－ 1， 0)， B( 3， 0， 0)， C(0， 1， 0)， D(－ 3， 0， 0)， A1(0， 0， 3)， C1(0， 2， 3)． → ＝(－ 2 3， 0， 0)，AA →1＝(0， 1， 3)， (1)由于BD →1·BD → ＝ 0× (－ 2 3)＋ 1× 0＋ 3× 0＝ 0， AA ∴ BD⊥ AA1. (2)由于 OB⊥平面 AA1C1C， ∴平面 AA1C1C的一个法向量为 n1＝(1， 0， 0)． →1 ， n2⊥AA 设 n2⊥平面 AA1D，则 →， n2⊥ AD
菜
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利用空间向量解决探索性问题的一般方法是先设出该 点，再设法求出该点的坐标． (1)若点在坐标轴上，可直接设点的坐标． → (2)若点在某条线段上，例如点P在线段CC1上，可设 CP →1 ，从而点P的坐标可用λ表示出来，再根据已知条件 ＝λ CC 求λ值即可．
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→ ＝ 0， CB 2x2＝ 0， n· 即 解得 x2＝ 0，令 y2＝ → ＝ 0， － 2y2＋ 2z2＝ 0， CS n· 2，则 z2＝ 1， ∴ n＝ (0， 2，1)是平面SBC的一个法向量． m· n 3 3 ∵ cos〈 m， n〉＝ ＝ ＝ ， |m|· |n| 2 3 2 ∴平面 BED与平面SBC所成锐二面角的大小为 30° .
菜 单
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【思路点拨】 设 BD与 AC交于点 O，连接 A1O，证明 OB， OC， OA1两两垂直，从而以点 O为坐标原点建立直角 坐标系． →1·BD → ＝ 0； (1)证明AA (2)根据两个平面的法向量夹角余弦值求二面角的余弦 值； ( 3)设在直线 CC1上存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1，利用 → ＝ λ CC →1 ，求出点 P坐标，再根据 BP → 与平面 DA1C1的法向 CP 量垂直求 λ值．
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【规范解答】
设 BD 与 AC 交于 O ，则 BD⊥AC ，连接
A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， ∴AO2＋A1O2＝AA， ∴A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， ∴A1O⊥平面ABCD.
如图 4，在四棱锥 S—ABCD 中，SD⊥底面 ABCD， 底面 ABCD 是矩形，且 SD＝AD＝ 2AB，E 是 SA 的中点． (1)求证：平面 BED⊥平面 SAB； (2)求平面 BED 与平面 SBC 所成二面 角(锐角)的大小．
【解】
(1)证明
∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD，
菜
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→ m · CB 6 → 所以cos〈m，CB〉＝ ＝－ ， 3 →| |m|· |CB 6 故BC与平面A1C1C所成角的正弦值为 . 3
【反思启迪】
1.求直线和平面所成的角也有传统法和
向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找
出线面角 ；向量法 则可建立 坐标系 ， 利用向量的运算求