第一章 勾股定理(能力提升)(解析版)

第一章勾股定理
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：60分钟试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。

3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。

第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．(本题3分)一个直角三角形的三边分别是6cm、8cm、x cm，则x=（）cm
A．100cm B．10cm C．10cm 或．100cm 或28cm
【答案】C
【解析】
试题分析：当6cm、8cm 两边是直角边时，22
x=+=，当6cm、x cm 两边是直角
6810
边时，22
x=-==，所以x="10cm" 或cm，故选C．
862827
2．(本题3分) 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【答案】B
【解析】
试题分析：观察图形根据勾股定理分别计算出a=2+42=√17、b=2+42=5、c=4，因为a、b、c大于0，所以分别求a2=17、b2=25、c2=16，比较大小即可得c2＜a2＜b2，可
得a 、b 、c 的大小为c ＜a ＜b ．
故选B
3．(本题3分)如图，牧童家在B 处，A 、B 两处相距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和300m,且C 、D 两处的距离为600m ，天黑牧童从A 处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（ ）
A ．800m
B ．1000m
C ．1200m
D ．1500m
【答案】B
【解析】 作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 的长即为AP +BP 的最小值，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，则CE =BD ，CD =BE ，再利用勾股定理求出A ′B 的长即可．
作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 的长即为AP +BP 的最小值，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，
∵CD =600m ，BD =300m ，AC =500m ，
∴A ′C =AC =500m ，CE =BD =300m ，CD =BE =600m ，
∴A ′E =A ′C +CE =500+300=800m ，
在Rt △A ′CE 中，1000A B '==，
故选B.
4．(本题3分)将一根长为17cm 的筷子，置于内半径为3cm 、高为8cm 的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为cm x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．68x ≤≤
B ．79x ≤≤
C ．810x ≤≤
D ．911x ≤≤
【答案】B
【解析】
如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时1789cm x =-=（）；
当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短在Rt △ABD 中，6cm AD =，
8cm BD =，
所以2222226810AB AD BD =+=+=，则10cm AB =，此时17107cm x =-=（），所以x 的取值范围是79x ≤≤．故选B ．
5．(本题3分)已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）
A ．4
B ．2
C ．4
D ．2或【答案】C
【解析】
因为一个直角三角形的两边长分别为3和5，所以当5是此直角三角形的斜边长时，设另一直角边长为x ，则由勾股定理得222253416x =-==，解得4x =；当5是此直角三
角形的直角边长时，设斜边长为x ，则由勾股定理得2225334x =+=，解得x =选C ．
6．(本题3分)如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m 处的A 点折断，树尖B 点触地，经测量BC =3m ，那么树高是 （ ）
A ．4m
B C ．+1）m D ．+3）m
【答案】C
【解析】 由题意知树枝折断部分、竖直部分和折断部分构成了直角三角形，根据题目提供数据分别求出竖直部分和折断部分，二者的和即为本题的答案．
解：由题意知：AC =1，BC =3，
由勾股定理得：AB =
==，
∴树高为：AC +AB =（+1）m ， 7．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，
3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为（ ）
A ．（1，0）
B ．（－1，0）
C ．（－5，0）
D ．（5，0）
【答案】B
【解析】 ∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3），
∴3BO =，4AO =，
∴5AB ==．
∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，
∴541CO =-=，
则点C 的坐标为（－1，0）．
故选B ．
8．(本题3分)如图，在△AB C 中，∠B =40°，EF ∥AB ，∠1=50°，CE =3，EF 比CF 大1，则EF 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
设EF=x，则CF=x-1，
∵EF∥AB，
∴∠CFE=∠B=40°，
又∵∠CEF=∠1=50°，
∴∠C=180°-50°-40°=90°，
∴CE2+CF2=EF2，即32+（x-1）2=x2，解得：x=5，
∴EF=5.
故选A.
9．(本题3分)如图，在Rt△中，∠°，cm，cm，则其斜边上的高为（）
A．6 cm B．8.5 cm C．cm D．cm
【答案】C
【解析】由勾股定理可知cm，再由三角形的面积公式，有
，得.
10．(本题3分)小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是（）
A．48 cm B．4.8 cm C．0.48 cm D．5 cm
【答案】B
【解析】
试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．
：
∵AB2+AC2=62+82=100，BC2=102=100，
∴三角形是直角三角形．
根据面积法求解：
即
解得
故选B.
第II卷（非选择题)
二、填空题(共15分)
11．(本题3分)甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．
【答案】50
【解析】
试题分析：如图所示，甲、乙两船行驶的方向正好构成直角三角形，OA＝15×2＝30海里，OB＝20×2＝40海里，
由勾股定理得AB50海里．
12．(本题3分)下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；，2．其中可以为直角三角形三边长的有__．（把所有你认为正确的序号都写上）
【答案】②③④
【解析】
因为42+52≠82；72+242=252；62+82=102；2222+=，
所以可以为直角三角形三边长的有②③④.
故答案为②③④.
13．(本题3分)一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示，那么漏斗的斜壁AB 的长度为 cm ．
【答案】5
【解析】
解：根据题意知：圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，故圆锥的母线长AB =" 32+42" =5cm ．
14．(本题3分)在△AB C 中，∠C = 90°，
（1）若68a b ==，，则c = ；
（2）若2430,a c ==，则b = ；
（3）若2425b c ==，，则a = .
【答案】（1）10 （2）18 （3）7
【解析】
试题解析：(1)在Rt △AB C 中，∠C = 90°，68a b ==，
∴c 10=
（2）在Rt △AB C 中，∠C = 90°，a 2430c ==，，
∴b 18==
(3) 在Rt △AB C 中，∠C = 90°，2425b c ==，
∴a 7==
15．(本题3分)如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA =50 m,CB =40 m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.
【答案】30米
【解析】
试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得.3040502222m CB CA AB =-=-=
三、解答题(共55分)
16．(本题8分)如图，在△AB D 中，∠D ＝90°，C 是BD 上一点，已知BC ＝9，AB ＝17，AC ＝10，求AD 的长．
【答案】8
【解析】
【分析】
先设CD ＝x ，则BD ＝BC +CD ＝9+x ，再运用勾股定理分别在△ACD 与△AB D 中表示出AD 2，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设CD ＝x ，则BD ＝BC +CD ＝9+x ．
在△AC D 中，∵∠D ＝90°，
∴AD 2＝AC 2﹣CD 2，
在△AB D 中，∵∠D ＝90°，
∴AD 2＝AB 2﹣BD 2，
∴AC 2﹣CD 2＝AB 2﹣BD 2，
即102﹣x 2＝172﹣（9+x ）2，
解得x ＝6，
∴AD 2＝102﹣62＝64，
∴AD＝8．
故AD的长为8．
17．(本题8分)如图，在△AB C中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°,∠C=45°.
(1)求∠BAC的度数。

（2）若AC=2,求AD的长。

【答案】(1)∠BAC=75°
(2)AD.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC的度数；
（2）由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度．
（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=2，
18．(本题9分)如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？
【答案】150m/s
【解析】如图，
由题意得，AC =4000米，∠C =90°，AB =5000米，由勾股定理得BC
3000= (米)， 所以飞机飞行的速度为3540203600
= (千米/小时)
19．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =4，BC =6，CD =5，AD =3. 求：四边形ABCD 的面积.
【答案】18.
【解析】解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,
∴DE=AB =4，BE=AD =3.
∵BC =6,∴EC=EB =3.
∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,
∴△DEC 为直角三角形.
又∵EC=EB =3,
∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC =5.
在△BD A 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,
∴△BDA 是直角三角形.
它们的面积分别为S △BDA =12×3×4=6;S △DBC =12
×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.
20．(本题10分)如图，在等腰三角形AB C 中，∠ABC =90°，D 为AC 边上中点，过D
点
作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE =4，FC =3，求EF 长．
【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，得BF =4，BE =3，再运用勾股定理求得EF
=5
【解析】
解：连接BD ，
∵等腰直角三角形AB C 中，D 为AC 边上中点，
∴BD ⊥AC （三线合一），BD =CD =AD ，∠ABD =45°，
∴∠C =45°，
∴∠ABD =∠C ，
又∵DE 丄DF ，
∴∠FDC +∠BDF =∠EDB +∠BDF ，
∴∠FDC =∠EDB ，
在△EDB 与△FD C 中，
∵{EBD C
BD CD EDB FDC
∠=∠=∠=∠，
∴△EDB ≌△FDC （ASA ），
∴BE =FC =3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．
21．(本题10分)如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为 3、4、5，求∠AEB的度数．
【答案】150°
【解析】
连接FC，
则△AEB≌△AFC（SAS）．
在△EF C中，EF=3，FC=4，EC=5，
所以是直角三角形，则∠EFC=90°，
∠AEB=∠AFC=90°+60°=150°。