研究性学习案例

研究性学习案例

关于“研究性课题”——分期付款、复利计算 将“研究性学习”纳入必修课程，在初中增设“探究性活动”、高中增设“研究性课题”，是普通中学课程改革的重大举措之一。这一改革不只是教学内容的简单增加，而是涉及到学生的学习方法的改变、教师的教学观念和教学方法的更新，乃至对教学目标的重新审视。

一、什么是研究性学习

“研究性学习”作为一种新的课程形态，与学科课程相比较，它在教学过程中以问题为载体，创设一种与科学研究类似的情景和途径，让学生参与研究探索，获得体验，从而激活他们内在的创造潜能，培养敢于质疑的创新意识，勤于探索的创新精神，提高他们的创新能力。

课程改革，势在必行，特别是“研究性学习”更具挑战性。作为指导“研究性学习”的教师，责无旁贷。所以，对教师而言也是一种挑战，并且所扮的“角色”还要相应地变化。“研究性学习”具有开放性、探索性、实践性的特点，是师生共同探索知新、教学性相长的过程。在这个过程中，教师既是组织者、指导者，也是参与者。

“研究性课题”与本套教科书中的另一专题性栏目“实习作业”有一定的共同之处，但“研究性课题”突出了探究性，而“实习作业”则实践性更强。

在研究性课题的教学中，要以学生的探究为主，教师的点拨为辅；要以探究过程为主，得出结论为辅。

二、怎样开展研究性学习

为了逐步深入，我们选定了前两种方案。第一方案，是以教材为蓝本，以分期付款为线索进行探究，课内与课外相结合，先课内、后课外，课内由教师启发诱导学生，弄清分期付款的有关概念及建模方法，为后阶段作准备。课外，以小组为单位，走向社会，按调查、取材、分析、建模、总结等程序进行。第二种方案，是围绕分期付款问题，直接走向社会、自由分组，从实践到实践，也就是，在实践中去找分期付款的有关问题，又通过实践，在实践中解决问题，最后总结。 关于“研究性课题”的教学，我仅提供几个素材，供大家教学时参考。

三、一组素材

素材1：某银行给个人的长期贷款（15—20年）的年利率为12%（即0.12），因而月利率为0.01（即0.12/12=0.01，银行都是这样简单地计算的），银行接受存款是按单利计算的，即如果你存10000元，月利率也是0.01，那么一年后利息为12×0.01×10000=1200元，但是如果银行借钱给你，那就要按复利计算。如果你借10000元，月利率也是0.01，那么一个月后你欠银行的钱是多少？ 10000（1+0.01）=10000×1.01=10100（元）

两个月后你欠银行的钱是多少？

100002)01.01( =10000×1.012=10201（元）

12个月后你欠银行的钱是多少？

1000012)01.01(+=10000×1012682503=11268.25（元）

一般地

假设一开始我们向银行借了0A 元，月利率为r ，n 个月后欠银行多少钱呢？ 这里共有三个变量0A ，r ，n ，记第k 个月时欠银行的钱为k A ，则数学模型为

,,,2,1),1(1n k r A A k k Λ=+=- （其中0A ，r ，n 已知）

如果借期为25年（300个月），则

20000078846626.1910000)01.1(10000300300≈⨯≈=A （元）

20倍！如果平时不注意节约的话，很可能就还不起这么多钱呢。怎么办呢？办法之一就是每个月还一定量的钱，不要等到最后算总帐。也就是要“分期付款”。 这个素材给学生一个复利计算和分期付款是必要的这样一个认识。

素材2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款1—20年分期付款“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：

我们以贷款期限为20年为例，借款额0A =10000元，贷款期限n 年，年利率=10.206%，因而月利率r =10.206/12=0.8505%=0.008505，“月均还款额”表示每月还款额是相同的，记为x ，记还款总额为S ，记利息负担总和为L .（是否都用到，以后再看）

一开始借款0A =10000，一个月后欠银行本利为)1(0r A +，但是为了减少欠款，还了x 元，因而，x r A A -+=)1(01，第k 个月的情况也是这样，即x r A A k k -+=-)1(1，n k Λ,2,1=。注意，n 的意思是到了第n 个月还了x 元后就不欠银行的钱了，即n A =0。因此我们得到以下的数学模型

,0,,,2,1,)1(1==-+=-n k k A n k x r A A Λ（其中n r A ,,0已知）

可用归纳猜想，并用数学归纳法证明

])1()1()1(1[)1(120-+++++++-+=k k k r r r x r A A Λ，

n k r r

x r A k k ,,2,1],1)1[()1(0Λ=-+-+= 再由n A =0，得

]

1)1[()1(0-++=n n

r r r A x . 把已知量代入，就得到表中的x . 从而 10000,240-=⨯=S L x S .

这个素材让学生去解决如何计算分期付款中的还款额.

素材3：某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。小叶夫妇买房还缺6万元，正在考虑到银行去借6万元，试问他们的月均还款额为多少？（由于0A =60000，r =0.12/12=0.01，n =300月，用以上建立的数学模型可以算得，6329344583.631≈=x 元）。

正在这时小叶夫妇看到一个贷款公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以帮助你们提前三年还清贷款，但是有两个条件：

⑴每半个月还一次款为 632/2=316（元）；

⑵由于每半个月就要开一张收据等文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款

316⨯6=1896（元）

小叶夫妇很为这则广告吸引，因为提前三年可节省

632⨯12⨯3=22752（元），

而预付三个月的还款只不过1896元，省了20000多元，多合算！但他们还是有点疑惑，难道这家贷款公司是个慈善机构，他们不想赚钱了？通过设问激发学生自己去解决。

事实上，利用以上数学模型可得

]

1)1[()1(0-++=n n

r r r A x ⇒)1ln(/)ln(0r r A x x n +-= 把具体数据代入得到598≈n .12半个月，即最多只能提前一个月还请，决不可能提前三年还清。这个问题的关键是第二个“但是”，我们注意到，实际上没有借六万元，而只是借了-600001896=58104（元）。于是算得505827606.504≈≈n 半个月，大约提前四年就可以还清了。所以，该借贷公司至少可以坐收一年的还款额7584元。

这个例子说明在现代的金融和商业活动中“算计”是多么重要。同时也说明货币的价值随着时间的变化是会变化的。

要使我们的学生从中体会出更多的道理来。