大学物理 电势计算

电势，电势迭加

一、填空题

1. 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷1Q ，外球面半径为2R 、带有电荷2Q ．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为 。

2. 如图所示，电荷均为q 的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝_________ ．

3. 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷Q ．若设该球面上电势为零，则球面内各点电势U ＝____________________________．

4. 如图所示，一等边三角形边长为a ，三个顶点上分别放置着电荷均为q 的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O 处的电势U ＝________________________．

二、计算题

1、图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为()a x -=0λλ，0λ为一常量．取无穷

远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．

2、一半径为R 的均匀带电圆盘，带电量为Q ．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O 点电势．

3、图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

4、若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为1r 和2r 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为U ，试求两球面的电荷面密度σ的值．

参考答案： 一、填空题

Q 2 Q 1 O P r R 2 R 1

q

q

O

O

q

a

a

O d r R

O R 1 R 2

O

a l

x

1、

2

02

10144R Q R Q εεπ+π

2、

()

12280

+πR

q

ε

3、0

4、()

()a q 04/33επ

二.计算题

1、解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷 dx a x dq )(0-=λ

它在O 点产生的电势

()x

x

a x U 004d d ελπ-=

O 点总电势

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π==⎰⎰⎰++l a a l a a x x a x dU U d d 400ελ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+-π=a l a a l ln 400ελ

2、解：在圆盘上取一半径为r →r ＋d r 范围的同心圆环．其面积为

rdr dS π2=

其上电荷为 rdr dq πσ2= 它在O 点产生的电势为

002d 4d d εσεr

r q U =π=

总电势 R

Q

R r U U R

S

000

22d 2d πεεσεσ

==

=

=⎰

⎰

3、解: 由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均

为U. 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为

dr r dq 24πρ=

该薄层电荷在球心处产生的电势为

()00/d 4/d d ερεr r r q U =π= 整个带电球层在球心处产生的电势为

()2

1

2200002d d 21R R r r U U R R -===⎰⎰ερερ 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U 为 ()212

20

02R R U U -==ερ

若根据电势定义⎰⋅=l E U ϖ

ϖd 计算同样给分.

4、解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=

22110

41

r q r q U ε⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛π+ππ=2221210

4441r

r r r σσε()210r r +=εσ

故得 2

10r r U

+=εσ